La propiedad de la resta de la igualdad establece que si se resta un valor común de dos cantidades iguales, entonces las diferencias son iguales.
Este hecho básico es importante para muchas ramas de las matemáticas, incluidas la aritmética y el álgebra.
Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar el tema general de las propiedades de igualdad.
Esta sección cubre:
- ¿Cuál es la propiedad de resta de la igualdad?
- Propiedad de resta de igualdad Definición
- Propiedad de resta de igualdad y propiedad de suma de igualdad
- Ejemplo de una propiedad de resta de igualdad
¿Cuál es la propiedad de resta de la igualdad?
La propiedad de resta de la igualdad declara que la equivalencia es válida al restar un valor común de dos o más cantidades iguales.
En aritmética, este hecho es útil para encontrar valores equivalentes. En álgebra, este es un paso importante que se usa para aislar una variable y encontrar su valor. También juega un papel crucial en ciertas pruebas geométricas.
Como otras propiedades de igualdad, la propiedad de resta de igualdad puede parecer obvia. Sin embargo, es necesario definirlo porque garantiza que todas las etapas de una prueba son lógicamente válidas y sólidas.
Los matemáticos de la antigüedad conocían y reconocían la propiedad de la resta de la igualdad. De hecho, Euclides lo hizo tanto referencia que le dio un nombre, noción común 3, en su Elementos, que fue escrito en el siglo III a. C. Lo vio como axiomático, o algo que no necesitaba ser probado.
Más tarde, en el siglo XIX, cuando el énfasis estaba en el rigor matemático, Giuseppe Peano elaboró su propia lista de axiomas para los números naturales. No incluyó directamente la propiedad de resta de igualdad. En cambio, la suma y, por extensión, la resta, generalmente aumenta sus axiomas.
La propiedad es verdadera más allá de los números naturales; esto es cierto para todos los números reales.
Propiedad de resta de igualdad Definición
Euclides definió la propiedad de la resta de igualdad como una noción común 2 en su Elementos: “Si los iguales se restan de los iguales, entonces las diferencias son iguales”.
En otras palabras, si dos cantidades son iguales y se resta un valor común de cada una, las diferencias son siempre iguales.
Aritméticamente, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales, es:
Si $ a = b $, entonces $ ac = bc $.
La propiedad de la resta de igualdad es verdadera para todos los números reales.
Propiedad de resta de igualdad y propiedad de suma de igualdad
La propiedad de resta de igualdad y la propiedad de suma de igualdad están estrechamente relacionadas.
Recuerda que la propiedad de la igualdad de la suma y la propiedad de la igualdad de la resta son ambas verdaderas para todos los números reales. En particular, son válidos para números positivos y negativos.
Restar es sumar un negativo, lo que significa que es posible deducir la propiedad de igualdad de la resta de la propiedad de igualdad de la suma.
Asimismo, restar un negativo es equivalente a sumar. Por tanto, la propiedad de suma de igualdad se puede deducir de la propiedad de resta de igualdad.
Entonces, ¿por qué la mayoría de las listas de axiomas (listas de cosas que no necesitan ser probadas y que se puede asumir que son verdaderas) incluyen ambos?
Hay algunas razones para esto. En primer lugar, las listas históricas, como las nociones comunes de Euclides y los axiomas de Peano, incluían a ambos. Esto significa que la evidencia histórica se basó en axiomas separados de suma y resta.
En segundo lugar, tener un axioma de resta separado ayuda en circunstancias en las que los valores negativos no tienen sentido. Un ejemplo son las pruebas geométricas y otro son las pruebas que involucran números naturales.
Aunque la propiedad de igualdad es válida para todos los números reales, a veces incluir todos los números reales simplemente no tiene sentido en el contexto.
La prueba de ejemplo a continuación es uno de esos casos. Además, el ejemplo 3 incluye una deducción formal de la propiedad de igualdad de la suma de la propiedad de la resta.
Ejemplo de una propiedad de resta de igualdad
Un ejemplo de la propiedad de resta de igualdad proviene de la prueba para construir una línea copiada, que se muestra aquí.
La prueba muestra que en la construcción dada, la línea construida AF tiene la misma longitud que la línea BC dada. Es decir, AF = BC.
Para ello, primero observa que las líneas DE y DF son radios del círculo con centro D y radio DE. Entonces DE = DF.
Entonces, como ABD es un triángulo equilátero, notamos que AD = BD. Esto se debe a que todos los catetos de una figura equilátera tienen la misma longitud.
Luego, la demostración invoca la propiedad de la resta de igualdad al afirmar que, dado que DE = DF y AD = BD, DE-BD = DF-AD.
DE-BD abandona la línea BE y DF-AD abandona la línea AF.
La prueba termina con la propiedad transitiva. Dado que AE y BC son radios del mismo círculo, tienen la misma longitud. Si AE = AF y AE = BC, la propiedad transitiva indica que BC = AF. Este fue el propósito original de la prueba.
Ejemplos de
Esta sección cubre problemas comunes que utilizan la propiedad de resta de igualdad y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Si $ a = b $ y $ c $ y $ d $ son números reales, ¿cuáles de los siguientes números son iguales?
- $ ac $ y $ bc $
- $ ad $ y $ bd $
- $ ac $ y $ bd $
Solución
Los dos primeros son iguales mediante una aplicación directa de la propiedad de resta de igualdad. Dado que $ c $ es igual a sí mismo y $ a = b $, $ ac = bc $.
Asimismo, dado que $ d $ es igual a sí mismo, $ ad = bd $.
El tercero no es necesariamente igual porque $ c $ y $ d $ no son necesariamente iguales. Un contraejemplo es $ a = $ 4, $ b = $ 4, $ c = $ 2 y $ d = $ 3. En este caso, $ a = b $, pero $ ac = 4-2 = $ 2 y $ bd = 4-3 = $ 1. $ 2 neq1 $, entonces $ ac neq bd $.
Ejemplo 2
Dos bolsas de harina tienen el mismo peso. Si se extraen 8 onzas de harina de cada bolsa, ¿cómo se comparan los pesos de las nuevas bolsas entre sí?
Solución
Las bolsas siempre tienen el mismo peso.
Sea $ a $ el peso de la primera bolsa en onzas y $ b $ el peso de la segunda bolsa en onzas. Sabemos que $ a = b $.
Ahora se han quitado 8 onzas de harina de cada bolsa. El peso restante de la primera bolsa es $ a-8 $ y el peso restante de la segunda bolsa es $ b-8 $.
Dado que tienen el mismo peso eliminado, la propiedad sustractiva de igualdad nos dice que $ a-8 = b-8 $. Es decir, las bolsas siempre tienen el mismo peso.
Ejemplo 3
Sea $ x $ un número real tal que $ x + 5 = $ 17. Utilice la propiedad de resta de igualdad para encontrar el valor de $ x $.
Solución
La propiedad de resta de igualdad establece que es posible restar un término común de ambos lados de una ecuación.
Para resolver $ x $, es necesario aislar la variable. En este caso, bastará con restar 5 del lado izquierdo de la ecuación.
Reste 5 de ambos lados de la ecuación para obtener:
$ x + 5-5 = $ 17-5
Luego simplifica.
$ x = $ 12
Por lo tanto, $ x = $ 12.
La propiedad de sustitución verifica esta solución.
$ 12 + 5 = $ 17
Ejemplo 4
Demuestre que la propiedad de igualdad de la resta se puede usar para deducir la propiedad de la igualdad de la suma.
Solución
La propiedad de la resta de igualdad establece que si $ a, b, $ y $ c $ son números reales tales que $ a = b $, entonces $ ac = bc $. Es necesario mostrar que esto también significa $ a + c = b + c $.
Tenga en cuenta que, dado que $ c $ es un número real, $ -c $ también es un número real.
Por lo tanto, si $ a = b $, entonces $ a – (- c) = b – (- c) $.
Restar un negativo es lo mismo que sumar un positivo, por lo que se simplifica a $ a + c = b + c $.
Por lo tanto, para cualquier número real $ a, b, $ y $ c $ tal que $ a = b $, $ a + c = b + c $. Ésta es la propiedad de suma de la igualdad, según sea necesario. CQFD.
Ejemplo 5
Sean $ a, b, $ y $ c $ números reales tales que $ a = b $ y $ b = 2 + c $.
Utilice la propiedad de resta de igualdad y la propiedad transitiva de igualdad para mostrar que $ ac = $ 2.
Solución
Dado que $ a = b $ y $ b = 2 + c $, la propiedad transitiva de la igualdad establece que $ a = 2 + c $.
Ahora, de acuerdo con la propiedad de resta de igualdad, es posible restar $ c $ de ambos lados manteniendo la igualdad. Es decir
$ ac = 2 + cc $
Dado que $ cc = 0 $, esto se simplifica a
$ ac = 2 + $ 0
Esto se simplifica aún más mediante:
$ ac = $ 2
Entonces, $ ac $ también es igual a $ 2 $, según sea necesario. CQFD.
Problemas de práctica
- Sean $ w, x, y, $ y $ z $ números reales tales que $ w = x $. ¿Cuáles de los siguientes son equivalentes?
A. $ wx $ y 0 $
B. $ wy $ y $ xy $
C. $ wz $ y $ xy $ - Dos cajas de libros tienen el mismo peso. De cada caja se saca un libro de media libra. ¿Cómo se comparan los pesos de las cajas después de quitar las libras?
- Utilice la propiedad de la resta de igualdad para demostrar que $ x = $ 5 si $ x + 5 = $ 10.
- Use la propiedad de resta de igualdad para encontrar el valor de $ y $ si $ y + 2 = $ 24.
- Sea $ x + 8 = $ 15 y $ y + 3 = $ 10. Utilice la propiedad de resta de igualdad y la propiedad transitiva de igualdad para mostrar que $ xy = $ 0.
Clave de respuesta
- A y B son equivalentes. C no es equivalente porque no se sabe que $ y $ sea igual a $ z $.
- Las cajas tenían originalmente el mismo peso y los libros publicados tenían el mismo peso. Por lo tanto, la propiedad de resta de igualdad indica que las cajas siempre tendrán el mismo peso.
- Si $ x + 5 = $ 10, la propiedad de resta de igualdad indica que $ x + 5-5 = $ 10-5. Esto se simplifica a $ x = $ 5.
- $ y = $ 22.
- $ x + 8-8 = $ 15-8. Entonces $ x = $ 7. Del mismo modo, $ y + 3-3 = 10-3 $, lo que significa $ y = 7 $. Por tanto, la propiedad transitiva dice que $ x = y $. Usando la propiedad de la resta nuevamente, $ xy = yy $. Entonces, $ xy = $ 0.
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
