Propiedad de multiplicación de la desigualdad – Explicación y ejemplos

La propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, resultará una desigualdad equivalente.

Por ejemplo, si $x funciona de la misma manera si $x > y$, el resultado en este caso será $xm > ym$ y $dfrac{x}{m} > dfrac{y}{m}$, respectivamente.

Propiedad de multiplicación de la definición de desigualdad

La propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que si un lado de la desigualdad se multiplica o divide por un número positivo, entonces podemos multiplicar y dividir el otro lado de la desigualdad por el mismo número sin cambiar o perturbar el signo de dirección de la desigualdad.

Esta propiedad se utiliza para resolver ecuaciones lineales. Resolver desigualdades, especialmente desigualdades lineales, se puede hacer más fácil usando las propiedades de multiplicación de la desigualdad. La propiedad de multiplicación de la desigualdad es la misma que la propiedad de división de la desigualdad; por ejemplo, si queremos dividir “$6$” entre “$2$”, podemos multiplicarlo por $dfrac{1}{2}$. También se puede usar con la propiedad de la suma para resolver la ecuación lineal.

En escenarios prácticos, las desigualdades se utilizan para determinar la ganancia máxima disponible de la producción de un artículo. Estos también pueden determinar la mejor combinación de medicamentos para curar una enfermedad, etc. Este tema te ayudará a comprender el concepto de la propiedad de multiplicación de la desigualdad, y puedes usar este método para resolver problemas de desigualdad más adelante.

Considere tres números variables $x$, $y$ y $z$, tales que $z neq 0$. Entonces, de acuerdo con la propiedad multiplicativa de la desigualdad, podemos tener cuatro casos.

Si $z > 0$ y $x > y$, entonces $xz > yz$

Por ejemplo, si $x = 2$ y $y =1$ y multiplicamos la ecuación de desigualdad $x>y$ por “z” que es igual a $4$, entonces el valor de “x” y “y” será “4” y “1” respectivamente.

Múltiple

Si $z > 0$ y $x

Por ejemplo, si $y = 2$ y $x =1$ y lo multiplicamos por “$4$”, entonces xz (4) siempre será menor que yz (8).

Si $z y$, entonces $xz

Por ejemplo, si $x = 2$ y $y =1$ y lo multiplicamos por “$-3$”, entonces (yz) se vuelve mayor que (xz)

Múltiple

Si $z yz$

Por ejemplo, simplemente intercambie los valores del ejemplo discutido en el caso 3. Si $x = 1$ y $y = 2$ y lo multiplicamos por $z = -3$, entonces (xz) se vuelve mayor que (yz )

Podemos ver en los casos anteriores si multiplicamos una expresión de desigualdad con un número positivo no cambia el signo de desigualdad pero si multiplicamos la expresión con un número negativo en ambos lados cambiará invertir la dirección del signo de desigualdad.

Cómo resolver desigualdades usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad

Esta propiedad se puede utilizar para resolver desigualdades normales y fraccionarias. Si nos dan una ecuación fraccionaria con un denominador común, podemos eliminar fácilmente el denominador multiplicando ambos lados de la desigualdad por el denominador. Por ejemplo, podemos simplemente $dfrac{x}{2} > dfrac{3}{2}$ multiplicando ambos lados por “$2$”.

De manera similar, muchos problemas de desigualdad del mundo real requieren el uso de la propiedad de la multiplicación. Hablemos de eso varios digitales y problemas verbales relacionados con la desigualdad.

Los problemas de desigualdad se pueden resolver combinando las tres propiedades:

  1. multiplicación
  2. propiedad de la suma de la desigualdad
  3. propiedad de resta de la desigualdad

Estudiemos ahora la propiedad de multiplicación de los ejemplos de desigualdad.

Ejemplo 1:

Resuelva el “$x$” para las expresiones de desigualdad dadas

1) $dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

2) $dfrac{3}{5}x > {9}$

3) $-4x +2

4) $3 > $9

5) $dfrac{3}{2}x

Solución:

Los términos dados están en forma de fracción, y resolverlos usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad también se conoce como propiedad del inverso multiplicativo de la desigualdad. No olvides que las desigualdades también pueden incluir números negativospero el signo de la desigualdad solo cambiará si dividimos o multiplicamos la desigualdad por un número negativo.

1)

$dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

Multiplica ambos lados por “$7$”

$6 > $3

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

Alternativamente, podemos resolver esta pregunta más rápido porque nuestro objetivo principal debería ser la eliminación del coeficiente con “$x$”. Podemos multiplica ambos lados con “$dfrac{7}{6}$”, luego resuelve el resto de la ecuación.

$dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

$dfrac{6}{7} times dfrac{7}{6}x > dfrac{3}{7} times dfrac{7}{6}$

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

2)

$dfrac{3}{5}x > 9$

Multiplica ambos lados por “$5$”

$(dfrac{3}{5}x) times 5 > 9 times 5$

$3 > $45

$x > dfrac{45}{3}$

$x > $15

Alternativamente, podemos resolver esta pregunta más rápido aislando la variable “$x$” del coeficiente y podemos hacer esto por multiplica ambos lados por “$dfrac{5}{3}$”. Si multiplicamos ambos lados por “$dfrac{5}{3}$”, podemos escribir la ecuación como

$(dfrac{3}{5}x) times dfrac{5}{3} > 9 times dfrac{5}{3}$

$x > 3 veces $5

$x > $15.

$dfrac{6}{7} times dfrac{7}{6}x > dfrac{3}{7} times dfrac{7}{6}$

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

3)

$-4x + 2

Primero, combinemos los términos con la variable “$x$” por un lado y los valores constantes por el otro.

$-4x -2x

$-6x

Necesitamos aislar “$x$” de su coeficiente, así que multiplicaremos ambos lados por “$-dfrac{1}{6}$”. Como puedes ver, estamos multiplicando con un número negativo; así que tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

$-6x veces (-dfrac{1}{6}) > 2 veces (-dfrac{1}{6})$

$x > -dfrac{1}{3}$

4)

$3 > $9

Multiplica ambos lados por “$dfrac{1}{3}$”

$(3x) times dfrac{1}{3} > 9 dfrac{1}{3}$

$x > 3$

5)

$-dfrac{3}{2}x

Necesitamos aislar “$x$” de su coeficiente, así que multiplicaremos ambos lados por “$-dfrac{2}{3}$”. Como puedes ver, estamos multiplicando con un número negativo, entonces necesitamos cambiar el signo de la desigualdad.

$(-dfrac{3}{2}x) times (-dfrac{2}{3})

$x > – 1$

Ejemplo 2:

Escribe las siguientes ecuaciones después de multiplicarlas por “$2$” y “$-2$”.

1) $2x > dfrac{1}{2}$

2) $dfrac{1}{4}x > 8$

3) $3 x

4) $2 x > $5

Solución:

1)

$2x > dfrac{1}{2}$

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$2x times 2 > (dfrac{1}{2}) times 2$

$4 > $1

$x > dfrac{1}{4}$

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$2x veces (-2)

$-4x

$x

2)

$dfrac{1}{4}x > 8$

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$(dfrac{1}{4}x) times 2 > 8 times 2$

$dfrac{1}{2}x > 16$

$x > $32

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$(dfrac{1}{4}x) veces (-2)

$-dfrac{1}{2}x

$x

3)

$3x

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$3x veces 2

$6 x

$x

$x

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$3x veces 2

$6 x

$x

$x

4)

$2 > $5

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$2x veces 2 > 5 veces 2$

$4 > $10

$x > dfrac{10}{4}$

$x > dfrac{5}{2}$

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$2x veces (-2)

$-4x

$x

$x

resolver problemas de palabras

Hemos discutido cuestiones numéricas relacionadas con la desigualdad, ahora vea algunas problemas verbales y resolverlos.

Ejemplo 3:

Suponga que un tanque de agua tiene una capacidad máxima de $50 galones. Si el tanque de agua se llena con $2$ galones de agua en un minuto, entonces usando la propiedad de la multiplicación de desigualdades, calcule el tiempo que se tarda en llenar el tanque (la capacidad debe ser inferior a $50$ galones porque no queremos desbordar el tanque). tanque).

Solución:

Digamos que “$n$” es el número de veces en minutos podemos llenar el tanque a su máxima capacidad, por lo tanto, podemos escribir la ecuación de desigualdad en la forma:

$2n leq $50

Ahora si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $dfrac{1}{2}$ nos dará el tiempo necesario para llenar el tanque a su máxima capacidad.

$(dfrac{2}{2}) n leq dfrac{50}{2}$

$n leq 25$

Por lo tanto, el tanque se puede llenar Menos que o igual a $25$ minutos.

Ejemplo 4:

Allice tiene varias tarjetas de regalo para una tienda minorista en línea y puede comprar cosas por menos de $$100. Alice quiere comprar platos de vidrio con las tarjetas de regalo y un plato cuesta $5.5. Determina cuántos platos puede comprar Alicia usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad.

Solución:

Digamos que “$n$” es el número total de platos, entonces podemos escribir la ecuación de desigualdad en la forma:

$5.5 n

ahora si nosotros multiplicar ambos lados de la ecuación por $dfrac{1}{5.5}$, esto nos dará el número esperado de platos que podemos comprar:

$(dfrac{5.5}{5.5}) n

$n

Entonces Alicia puede comprar $18$ placas en total entre las tarjetas de regalo disponibles.

Preguntas prácticas:

1. Un granjero instala una cerca rectangular en el campo de trigo para mantener alejados a los animales callejeros. El límite exterior total es menor o igual a $50$ft. Escribe la ecuación de desigualdad para expresar el largo y el ancho de la cerca. Si el ancho de la cerca es de 10 pies, ¿cuánto medirá la cerca?

2. William tiene una cantidad total de $$400 y planea gastar $$200 o menos para comprar camisetas en una gala de ventas en un centro comercial cercano. Si el precio de una camisa es de 40$$, determine el número de camisas que William podrá comprar durante esta venta de gala.

3. Tania organiza una fiesta de cumpleaños para sus amigos. Ella quiere comprar cajas de chocolates y dulces para sus amigos. El precio de una caja de bombones es $$10 y el precio de una caja de dulces es $$5. Tania tiene un total de $$500, pero quiere gastar $$300 o menos; Si compra cajas de chocolate por $18, ¿cuántas cajas de dulces puede comprar?

clave de respuesta:

1.

El límite exterior de la cerca es esencialmente el perímetro de valla rectangular, entonces podemos escribir la ecuación para los datos dados de la siguiente manera:

$2 (l+w) leq 50$

$2 (l + 10) leq 50$

$2l +20 leq $50

$2l leq $30

Multiplica ambos lados por $dfrac{1}{2}$

$ l leq 15$

2.

Sea “$n$” el numero de camisas, entonces podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$40n leq $200

$n leq dfrac{200}{40}$

$n leq 5$

3.

Deja que el “$c$” cajas de bombones y “b” ser cajas de dulces, entonces podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$5b + 10c theq $300

Tania compra cajas de chocolate a $12, $c = $18

$5b + 10 (18) theq $300

$5b + 180 lleq $300

$5 mil millones leq $120

Multiplica ambos lados por $dfrac{1}{5}$

$b leq 25$