Propiedades de la igualdad: explicación y ejemplos

Propiedades de la igualdad: explicación y ejemplos

Las propiedades de igualdad son verdades que se aplican a todas las cantidades limitadas por un signo igual.

Es decir, las propiedades de igualdad son hechos sobre números o términos iguales. Estas nueve propiedades son fundamentales para todas las demostraciones en todas las ramas de las matemáticas y la lógica.

Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar las propiedades básicas de la aritmética. Este artículo simplemente ofrece una descripción general de cada propiedad de igualdad. También contiene enlaces a artículos que brindan una imagen más completa de cada una de las propiedades.

Esta sección cubre:

  • ¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?
  • ¿Cómo se utilizan las propiedades de igualdad?
  • Ejemplos de propiedades de igualdad

¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?

Las propiedades de igualdad son hechos sobre dos o más cantidades unidas por un signo igual.

Muchos de estos hechos pueden parecer tan obvios que no es necesario contarlos. Sin embargo, al contrario, son fundamentales para todas las ramas de las matemáticas. Si no se definieran explícitamente, no habría suficiente rigor para dar sentido a todas las ramas de las matemáticas.

La mayoría de estos hechos se conocen desde hace cientos de años y se han utilizado en una gran cantidad de evidencia.

Por ejemplo, Euclides definió las propiedades transitivas, aditivas, sustractivas y reflexivas de la igualdad en Elementos como nociones comunes. Es decir, usó tanto estos hechos que los hizo más fáciles de referenciar.

Muchas propiedades de la igualdad también están relacionadas con la lógica digital y no digital. Esto les da usos en materias tan diversas como el derecho y la informática.

Propiedad de suma de igualdad

La propiedad de suma de la igualdad dice que agregar un valor común a dos cantidades iguales mantiene la igualdad.

En otras palabras, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales y $ a = b $, entonces:

$ a + c = b + c $.

addition property picture

Propiedad transitiva de la igualdad

La propiedad transitiva de la igualdad establece que las cosas que son iguales a un término común son iguales entre sí.

Aritméticamente, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales y $ a = b $ y $ b = c $, entonces:

$ a = c $.

transitive property picture

Propiedad de resta de igualdad

La propiedad de la resta de igualdad dice que la igualdad es verdadera cuando se resta un término común de dos términos iguales.

En otras palabras, si $ a, b, c $ son números reales y $ a = b $, entonces:

$ ac = bc $.

subtraction property picture

Propiedad de multiplicación de la igualdad

La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que multiplicar cantidades iguales por un término común no cambia la igualdad.

Aritméticamente, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales y $ a = b $, entonces:

$ ac = bc $.

multiplication property

Propiedad de división de igualdad

La propiedad de división de la igualdad es como las propiedades de la suma, resta y multiplicación. Dice que dividir términos iguales por un valor común mantiene la igualdad siempre que el divisor no sea cero.

En otras palabras, si $ a $ y $ b $ son números reales, $ c $ es un número real distinto de cero y $ a = b $, entonces:

$ frac {a} {c} = frac {b} {c} $.

division property

Propiedad simétrica de la igualdad

La propiedad simétrica de la igualdad establece que no importa si un término está a la izquierda oa la derecha de un signo igual.

Aritméticamente, si $ a $ y $ b $ son números reales y $ a = b $, entonces:

$ b = a $.

symmetric property

Propiedad reflectante de la igualdad

La propiedad reflexiva de la igualdad dice que todas las cosas son iguales a sí mismas.

En otras palabras, para cualquier número real $ a $:

$ a = a $.

reflexive property

Propiedad sustitutiva de la igualdad

La propiedad de sustitución de la igualdad permite que cantidades iguales se reemplacen entre sí en cualquier momento en cualquier oración matemática.

No existe una forma aritmética concisa de escribir la propiedad de sustitución de la igualdad. Sin embargo, hay infinidad de ilustraciones. Por ejemplo, si $ a, b $ y $ c $ son números reales, $ a-4 = c $ y $ a = b $ entonces:

$ b-4 = c $.

Propiedad distributiva de la igualdad

La propiedad distributiva de la igualdad establece que la igualdad se verifica después de la distribución con multiplicación.

Si bien la propiedad distributiva es verdadera para cualquier número de términos, la formulación aritmética más común usa dos términos.

Por ejemplo, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales, entonces:

$ a (b + c) = ab + ac $.

Distributive property

¿Cómo se utilizan las propiedades de igualdad?

Las propiedades de igualdad son útiles en una variedad de contextos matemáticos.

En aritmética, las propiedades de igualdad juegan un papel clave para determinar si las expresiones son equivalentes o no.

En álgebra, las propiedades de igualdad son útiles para aislar y resolver una variable desconocida.

Las propiedades de la igualdad también son fundamentales para el estudio de la lógica y la programación informática. Garantizan la coherencia interna y proporcionan pasos clave para las pruebas.

Ejemplos de

Esta sección cubre problemas comunes que utilizan propiedades de igualdad y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Sea $ a = b $ y sea $ c $ un número real. Identifica la propiedad de igualdad que justifica cada una de las ecuaciones.

A. $ a = a $

B. $ b = a $

C. $ a + c = b + c $

Solución

La propiedad reflexiva de la igualdad justifica el enunciado A porque declara que todas las cosas son iguales a sí mismas. Esto significa que $ a $ es igual a $ a $.

La propiedad simétrica de la igualdad justifica el enunciado B. Se da el hecho de que $ a = b $. La propiedad simétrica de igualdad extenderá esto a $ b = a $.

Finalmente, la propiedad de suma de igualdad justifica la declaración de C. Esto se debe a que se agrega un valor común tanto a $ a $ como a $ b $, manteniendo la igualdad.

Ejemplo 2

Sea $ j = k $, $ k = l $ y $ l = m $.

Dados estos hechos, use la propiedad transitiva de la igualdad para encontrar al menos dos enunciados equivalentes.

Solución

La propiedad transitiva de la igualdad establece que si $ a = b $ y $ b = c $, entonces $ a = c $.

Para usar la propiedad transitiva de la igualdad, primero encuentre dos ecuaciones con lados idénticos. En este caso, $ j = k $ y $ k = l $.

Entonces, $ j = l $ por la propiedad transitiva.

Asimismo, dado que $ k = l $ y $ l = m $, $ k = m $ por la propiedad transitiva.

Además, como $ j = k $ y $ k = m $, usando la propiedad transitiva una vez más, $ j = m $ también.

Ejemplo 3

Dos impresoras tienen capacidad para 500 hojas de papel cada una. Helen imprime un archivo de 5 páginas usando la primera impresora y Bob imprime un archivo de 5 páginas usando la segunda impresora.

¿Qué propiedad de igualdad indica que las dos impresoras siempre tendrán la misma cantidad de hojas de papel adentro?

Solución

En este caso, primero es necesario convertir el problema en ecuaciones y expresiones matemáticas.

Sea $ h $ el número de hojas de la primera impresora y $ b $ el número de hojas de la segunda impresora.

$ h = $ 500 y $ b = $ 500. La propiedad transitiva de la igualdad dice que $ h = b $.

Luego, Helen usa 5 hojas de papel de la primera impresora. Como resultado, le quedarán $ h-5 $ de hojas de papel.

Luego Bob usa 5 hojas de papel de la segunda impresora. Después de eso, se quedará con hojas de $ b-5 $.

Dado que $ h = b $ y $ 5 = 5 $ por la propiedad reflexiva de la igualdad, $ h-5 = b-5 $ por la propiedad de la resta de la igualdad.

Por lo tanto, este problema verbal da ejemplos de la propiedad de resta de la igualdad, la propiedad reflexiva de la igualdad y la propiedad transitiva de la igualdad.

Ejemplo 4

Sea $ a = b $, $ b = c $ y $ d = f $. La siguiente prueba muestra que $ a + b (c + d + f) = 2a ^ 2 + 4ad $. Justifica cada paso de la prueba.

  1. $ a + b (c + d + f) = a + a (c + d + f) $
  2. $ a + a (c + d + f) = 2a (c + d + f) $
  3. $ 2a (c + d + f) = 2a (c + d + d) $
  4. $ 2a (c + d + d) = 2a (c + 2d) $
  5. $ 2a (c + 2d) = 2ac + 4ad $
  6. $ 2ac + 4ad = 2aa + 4ad $
  7. $ 2a ^ 2 = 4ad $

Solución

El primer paso es cierto debido a la propiedad de sustitución de la igualdad. Como $ a = b $, uno puede reemplazar al otro en cualquier momento. En este caso, $ a $ reemplaza $ b $.

El segundo paso es simplificar porque $ a + a = 2a $.

El tercer paso también usa la propiedad de sustitución de igualdad. Dado que $ d = f $, uno puede reemplazar al otro en cualquier momento. En este caso, $ d $ reemplaza $ f $.

Como se indicó anteriormente, el cuarto paso es simplificar. Esto se debe a que $ d + d = 2d $.

El quinto paso usa la propiedad distributiva de la igualdad. Multiplica $ 2a $ por cada término entre paréntesis para obtener $ 2a times c $ y $ 2a times 2d $. Estos dos términos se simplifican a $ 2ac + $ 4ad.

El sexto paso se basa tanto en la propiedad transitiva de la igualdad como en la propiedad de sustitución de la igualdad. Dado que $ a = b $ y $ b = c $, $ a = c $ por la propiedad transitiva de la igualdad.

La propiedad de sustitución indica entonces que $ a $ puede reemplazar $ c $ en cualquier ecuación, como en el paso 6.

Finalmente, simplifica. $ aa = a ^ 2 $.

Ejemplo 5

Sea $ frac {2} {7} x-3 = $ 9. Utilice las propiedades de igualdad para encontrar el valor de $ x $.

Solución

Comencemos con el hecho de que $ frac {2} {7} x-3 = $ 9.

La propiedad de la resta de igualdad dice que ambos lados siempre serán iguales si se suma 3 a ambos lados. Es decir:

$ frac {2} {7} x-3 + 3 = 9 + $ 3.

Esto se simplifica mediante:

$ frac {2} {7} x = $ 12.

Ahora, la propiedad de igualdad de la multiplicación dice que los dos lados siempre serán iguales si cada uno se multiplica por $ frac {7} {2} $. Es decir:

$ frac {7} {2} times frac {2} {7} x = frac {7} {2} time12 $

Esto se simplifica mediante:

$ 1 times x = $ 42 o $ x = $ 42.

Entonces, el valor de $ x $ es $ 42.

Problemas de práctica

  1. Sea $ x = y $ y sea $ z $ un número real. Identifica la propiedad de igualdad indicada.
    A. $ y = x $
    B. $ xz = yz $
    C. $ z (x + y) = zx + zy $
  2. Sea $ a = b $ y $ c = d $. Encuentra una expresión equivalente a $ b + d $ sustituyendo dos veces.
  3. Aliyah compra la misma cantidad de envases de yogur y de bocadillos de frutas. Un bote de yogur cuesta $ 0,65 y un paquete de bocadillos de frutas cuesta $ 0,65. Al final, gastará la misma cantidad en frascos de yogur que en bocadillos de frutas. ¿Este es un ejemplo de qué propiedad de la igualdad?
  4. Utilice la sustitución para mostrar que si $ 9-4x = -7 $, entonces $ x = 2 $.
  5. Utilice las propiedades de igualdad para encontrar el valor de $ x $ si $ 3x + 5 = $ 8. Asegúrate de justificar cada paso.

Clave de respuesta

  1. A. La propiedad reflexiva de la igualdad
    B. La propiedad multiplicativa de la igualdad
    C.La propiedad distributiva de la igualdad
  2. $ b + d = a + d = a + c $.
  3. Es la propiedad multiplicativa de la igualdad.
  4. $ 9-4x = 9-4 (2) $ por la propiedad de sustitución de igualdad.
    $ 9-4 (2) = $ 9-16 simplificando.
    $ 9-16 = -7 $ simplificando
    Entonces, $ 9-4x = -7 $ por la propiedad transitiva de igualdad.
  5. $ 3x + 5-5 = $ 8-5 por propiedad de resta de igualdad.
    $ 3x = $ 3 simplificando.
    $ frac {3} {3} x = frac {3} {3} $ por la propiedad de división de la igualdad.
    $ x = $ 1 por simplificación.