La prueba del n-ésimo término es una técnica útil que podemos aplicar para predecir cómo se comporta una secuencia o serie a medida que los términos se hacen más grandes. Es importante para nosotros predecir cómo se comportan las sucesiones y series en matemáticas superiores y si convergen o divergen.
La prueba del n-ésimo término es una técnica que utiliza el último término de la serie para determinar si la secuencia o serie es convergente o divergente.
Este artículo le mostrará cómo puede aplicar la prueba del término n en una serie o secuencia determinada. Asegúrese de repasar su conocimiento de los siguientes temas, ya que los necesitaremos para determinar si una serie dada es divergente o convergente:
Por ahora, avancemos y entendamos cuándo la prueba del término n es más útil y cuándo no. También repasaremos nuestro conocimiento de la divergencia y la convergencia, ¡así que comencemos por comprender la definición de la prueba del término n-ésimo!
¿Qué es la prueba del enésimo término?
La prueba del n-ésimo término nos ayuda a predecir si una sucesión o serie dada es divergente o convergente. Usamos el término $n$ésimo de la sucesión para determinar su naturaleza, de ahí su nombre.
Antes de sumergirse directamente en el método en sí, ¿por qué no continuar y revisar lo que sabemos sobre las sucesiones divergentes y convergentes?
- una secuencia es divergir cuando los valores de la secuencia no se estabilizan a medida que la secuencia se acerca al infinito.
- Se dice que una secuencia es convergente a medida que los valores de la secuencia se estabilizan o se acercan a un valor a medida que la secuencia se acerca al infinito.
La prueba del n-ésimo término utiliza el límite de la suma de la secuencia para predecir si la secuencia diverge o converge.
- Al usar la prueba del término n, necesitaremos expresar el último término, $a_n$ en términos de $n$.
- Necesitaremos encontrar el valor límite de $a_n$ cuando $n$ se acerque al infinito.
- El valor de $lim_{xrightarrow infty}a_n$ determinará si la secuencia o serie converge o diverge.
Las siguientes secciones nos mostrarán cómo usar la prueba del n-ésimo término para determinar si una serie dada es divergente o no.
¿Cuál es la prueba del enésimo término para la divergencia?
De acuerdo con la prueba del n-ésimo término, una sucesión es divergente cuando la sucesión tiende a un valor distinto de cero mientras que el último término de la sucesión tiende a infinito (por término).
Digamos que tenemos una secuencia, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n -1}, a_n}$. La serie formada por su suma se puede expresar como $a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n$ o $sum_{n=1}^{infty} a_n$.
Si $lim_{xrightarrow infty}a_n$ es igual a un número diferente de cero, decimos que $sum_{n=1}^{infty} a_n$ es divergente.
Esto tiene sentido ya que los valores no se conforman con series divergentes (crecientes o decrecientes); la secuencia en el infinito nunca debe ser cero.
¿Cuál es la prueba del enésimo término para la convergencia?
Ahora, ¿qué sucede cuando la prueba del término n devuelve un valor de cero?
Cuando $lim_{xrightarrow infty}a_n = 0$ la suma de la serie, $sum_{n=1}^{infty} a_n$, puede o no converger.
¿Qué significa esto para nuestra secuencia o serie? Tendremos que usar otras pruebas como una prueba de comparación o una prueba de series alternas. Pero eso es para otro artículo. Limitaremos nuestra discusión a confirmar que es posible que necesitemos usar otra prueba para las pruebas convergentes.
¿Cuándo usar la prueba del enésimo término?
Existen diferentes pruebas de divergencia y convergencia, pero esta prueba es la primera que se realiza para decirnos si la serie o secuencia es fácilmente divergente.
- Tenga en cuenta que la prueba del n-ésimo término nos ayuda a eliminar el resto de las pruebas verificando primero si la secuencia es divergente.
- Use la condición discutida anteriormente para concluir si la secuencia es divergente o si necesitamos usar otras pruebas para verificar si la secuencia es convergente.
Como se mencionó en este artículo, saber cómo evaluar los límites a medida que las funciones y expresiones se aproximan al infinito es fundamental cuando se utiliza la prueba del término n. Asegúrese de revisar sus notas sobre los límites o haga clic en los enlaces que proporcionamos en las secciones anteriores.
Por ahora, eso es todo lo que necesitamos saber sobre la prueba del enésimo trimestre. Es hora de que verifiquemos nuestros conocimientos y apliquemos lo que aprendimos en la prueba del noveno trimestre. Pruebe los problemas a continuación y vea si una secuencia dada diverge o no.
Ejemplo 1
Determina si la sucesión $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27…$ diverge usando la prueba del término n.
Solución
En primer lugar, ayuda si podemos identificar si la secuencia es algo que aprendimos en el pasado. Comprobando la diferencia entre dos términos consecutivos, tenemos:
|
$7 – 3 = $4 |
$19 – 15 = $4 |
|
$11 – 7 = $4 |
$23 – 19 = $4 |
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$15 – 11 = $4 |
$27 – 23 = $4 |
Podemos ver que los términos de la sucesión comparten una diferencia común de $4$, por lo que la sucesión es, de hecho, una sucesión aritmética.
Podemos expresar el último término, $a_n$, en términos de $n$ usando la fórmula de secuencia aritmética, $a_n = a_1 + (n-1)d$.
begin{alineado} a_n &= a_1 + (n-1)d\&=3 + (n – 1)4\&=3 + 4n – 4\&= 4n – 1end{alineado}
Tomando el límite de $a_n$ cuando se acerca al infinito, tenemos el siguiente resultado.
begin{alineado} lim_{n rightarrow infty }4n – 1 &= infty\&neq 0end{alineado}
Podemos ver que el límite del $n$ésimo término, $a_n$ cuando $n$ tiende a $infty$ no es igual a $0$, por lo que la sucesión diverge.
Aquí hay un hecho divertido para ti: las series y secuencias aritméticas, en general, son divergentes. ¿Por qué no intentas probarlo por ti mismo?
Ejemplo 2
Determina si la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n + 4}{5n – 1}$, es divergente.
Solución
Recuerda que la prueba del enésimo término puede ayudarnos a determinar si la serie es divergente comprobando el límite de $a_n$ como $n rightarrow infty$.
Podemos encontrar el límite de la expresión multiplicando primero el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n}$.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} cdot dfrac{dfrac{1}{n}}{dfrac{1}{n}}\&= lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}} {5 – dfrac{1}{n}}end{alineado}
Recuerda que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{k}{n} = 0$, donde $k$ puede ser cualquier constante real. Por lo tanto, ahora podemos evaluar el límite de la expresión.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}}{5 – dfrac{1}{n}} &= dfrac{1 + 0}{ 5 – 0}\&= dfrac{1}{5}end{alineado}
Dado que el límite del enésimo término $a_n$ es igual a $dfrac{1}{3}$ (y por lo tanto no es igual a $0$), la serie no es divergente.
Ejemplo 3
¿Verdadero o falso? Podemos mostrar que la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$, es convergente a través de la n-ésima serie de términos.
Solución
Aplicaremos un enfoque similar evaluando primero $lim_{n rightarrow infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$. Podemos comenzar multiplicando el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n^2}$.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3} {4n^4 +2} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1}{n^2}}\&=lim_{nrightarrow infty}dfrac {3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}}end{alineado}
Simplifique aún más la expresión y use el hecho de que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{2}{n^2} = 0$.
begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}} &= dfrac{0}{infty + 0} \&= dfrac{0}{infty}\&=0end{alineado}
Como el límite del enésimo término de la serie es $0$, la sucesión es no divergente. Pero, este resultado no puede concluir para nosotros si la serie es convergente. Tendremos que usar pruebas avanzadas para esto.
De donde, la afirmación es falsa, y necesitaremos otra prueba para confirmar que la serie es convergente.
Ejemplo 4
Usa el hecho de que $f(n) = dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n^4 – 12n^2 + 2n + 6}$?
una. ¿Qué es $lim_{n rightarrow infty} f(n)$ ?
B. Usando el resultado de 4a, ¿qué puedes decir sobre $sum_{n=1}^{infty} f(n)$?
Solución
Para encontrar el límite de la función cuando se acerca al infinito, podemos multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por $dfrac{1}{n^5}$.
begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n ^4 – 12n^2 + 2n + 6} cdot dfrac{dfrac{1}{n^5}}{dfrac{1}{n^5}}\&=lim_{n rightarrow infinito} dfrac{dfrac{4}{n} – dfrac{5}{n^3} + dfrac{3}{n^4} – dfrac{4}{n^5}}{1 – dfrac{6}{n} – dfrac{12}{n^3} + dfrac{2}{n^4} + dfrac{6}{n^5}} end{alineado}
Recuerda que el límite de las expresiones racionales cuando su variable tiende a infinito es igual a cero. Utilice este hecho para evaluar el límite de $f(x)$ cuando $n$ se acerca a $infty$.
begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &=dfrac{0 -0 + 0 – 0}{1 – 0 – 0 + 0 + 0}\&= dfrac{0 {1}\&= 0 end{alineado}
una. Esto significa que el límite de $f(x)$ cuando se acerca al infinito es igual a $0$.
La prueba del n-ésimo término se utiliza para confirmar si una serie es divergente cuando el límite del n-ésimo término no es igual a cero. Pero hemos confirmado que $lim_{n rightarrow infty} f(x) = 0$, por lo que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no es divergente.
Aparte de eso, no podemos concluir si la sucesión es convergente o no. Tendremos que usar más pruebas para confirmar esto.
B. Por ahora, lo que podemos concluir es que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no será divergente.
