Sí, puedes trazar la gráfica de $ln x$. Si ya conoces la gráfica de $ln x$, esta debería ser una tarea sencilla para ti; si no, será un poco más difícil pero no demasiado difícil. Para continuar trazando el gráfico $ln x$, se requieren algunos pasos simples.
En esta guía completa, aprenderá hcómo trazar la gráfica de $ln x$ junto con algunos datos interesantes, definiciones y aplicaciones de la función dada.
Primero, repasemos algunos de los pasos interesantes involucrados en dibujar la gráfica de $ln x$.
Cómo graficar ln x
Aquí están los pasos completos para graficar ln x:
- Sea $y = ln x$.
- Compruebe si esta curva interseca los ejes.
- Ponga $y = 0$, lo que nos dará $x= 1$.
- Y para $x=0$, $y$ se vuelve negativamente infinito.
- El dominio es $x>0$ y $ln x$ es una función creciente.
- $y” = -dfrac{1}{ x^2}$, lo que muestra que $ln x$ es cóncavo hacia abajo.
- Entonces obtenemos la gráfica de $ln x$ de la siguiente manera:
¿Qué es un logaritmo natural?
A logaritmo natural del número es su logaritmo en base a la constante matemática $e$, que es un número trascendental e irracional con un valor aproximado de $2.718$.
Generalmente, el logaritmo natural de $x$ se escribe $ln x$, $log_e x$. Se considera una de las funciones más importantes en matemáticas, con implementaciones en física y biología.
Usos
Los logaritmos naturales son logaritmos que son Se utiliza para resolver problemas de crecimiento y tiempo. Las bases de los logaritmos y logaritmos naturales son funciones logarítmicas y exponenciales.
Los logaritmos se pueden usar para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece como el exponente de otro número. En problemas de decaimiento exponencial, los logaritmos se utilizan para determinar la constante de decaimiento, la vida media o el tiempo desconocido. Se utilizan para encontrar soluciones a problemas que incorporan interés compuesto y son útiles en varias áreas de las matemáticas y las ciencias.
Propiedades del logaritmo natural
Al resolver un problema que involucra logaritmos naturales, hay varias propiedades importantes a tener en cuenta. Los logaritmos naturales tienen las siguientes propiedades:
La regla del producto
Según esta regla, el logaritmo de la multiplicación de $a$ y $b$ es la suma de los logaritmos de $a$ y $b$. En otras palabras, $ln (acdot b)=ln a+ln b$.
Ejemplo
Sean $a=2$ y $b=3$, entonces:
$ln (2cdot 3)=ln 2+ln 3$
Para simplificar aún más, calcula $ln 2$ y $ln 3$, luego suma las dos respuestas.
Regla del cociente
El logaritmo de la división de $a$ y $b$ nos da la diferencia entre los logaritmos de $a$ y $b$. Es decir, $ln left(dfrac{a}{b}right)=ln a-ln b$.
Ejemplo
Sean $a=12$ y $b=31$, entonces:
$ln left(dfrac{12}{31}right)=ln 12-ln 31$
regla de poder
Obtenemos y veces el logaritmo de $a$ cuando elevamos el logaritmo de $a$ a la potencia $b$. Es decir, $ln a^b=bln a$.
Ejemplo
Sean $a=4$ y $b=2$, entonces:
$ln 4^2=2ln 4$
regla recíproca
El logaritmo natural del inverso de $a$ es el opuesto del ln de $a$. Es decir, $lnleft(dfrac{1}{a}right)=- ln a$.
Ejemplo
Sea $a=4$, entonces:
$lnleft(dfrac{1}{4}right)=- ln 4$
Logaritmos naturales vs comunes
El logaritmo es la función inversa de la exponenciación en matemáticas. En otras palabras, se llama logaritmo a la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número.
También se conoce como logaritmo en base diez o logaritmo común. La forma general de un logaritmo viene dada por $log_a y=x$.
El logaritmo natural se denota $ln$. También se conoce como el logaritmo base $e$. En este caso, $e$ es un número que equivale aproximadamente a $2.718$. El logaritmo natural (ln) está representado por los símbolos $ln x$ o $log_e x$.
Cómo calcular logaritmos naturales
El logaritmo natural se determinaba mediante tablas logarítmicas o logarítmicas antes de la invención de las computadoras y calculadoras científicas. Sin embargo, estas tablas continúan siendo utilizadas por los estudiantes durante los exámenes.
No solo eso, sino que estas tablas también se pueden usar para calcular o multiplicar números grandes. Para determinar un logaritmo natural utilizando una tabla logarítmica, siga los pasos que se describen a continuación:
Etapa 1
Seleccione la tabla logarítmica adecuada teniendo en cuenta la base. A menudo, estas tablas de registro están diseñadas para logaritmos base$-10$, también conocidos como registros comunes. Por ejemplo, $log_{10}(31.62)$ requiere el uso de una tabla base $-10$.
2do paso
Encuentre el valor de celda exacto en las intersecciones ignorando todos los lugares decimales.
Considere la fila marcada con los primeros dos dígitos del número dado y la columna marcada con el tercer dígito del número dado.
Tome, por ejemplo, $log_{10}(31,62)$ y busque en la fila 31 y la columna 6, y el valor de la celda resultante será $0,4997.
Paso 3
Si el número dado tiene cuatro o más dígitos significativos, use este paso para adaptar la respuesta. Busque un encabezado de columna pequeño con los cuartos dígitos del número dado y agréguelo al valor anterior mientras permanece en la misma fila. Por ejemplo, en la búsqueda $log_{10}(31.62)$ en la fila 31, la columna pequeña será 2 con el valor de celda 2 y, por lo tanto, $4997 + 2 = 4999$.
Etapa 4
Además de eso, agregue un punto decimal, también llamado mantisa. Hasta ahora, la solución del ejemplo anterior es $0.4999.
Paso 5
Al final, usando el método de prueba y error, calcule la parte entera que también se llama característica.
En consecuencia, la respuesta final es $1.4999.
Problemas relacionados con el logaritmo natural
Resolvamos algunos problemas que involucran el logaritmo natural para comprender mejor cómo se aplican sus propiedades.
Los problemas se resuelven utilizando las propiedades del logaritmo natural y el cálculo del logaritmo natural utilizando una calculadora, es decir, una técnica moderna. Con este fin, considere algunos ejemplos de problemas de la siguiente manera:
Problema 1
Calcule $lnleft(dfrac{5^3}{7}right)$.
Primero aplica la regla del cociente para obtener $ln 5^3-ln 7$.
Ahora aplica la regla de la potencia en el primer término para obtener $3ln 5-ln 7$.
Luego, use la calculadora para evaluar $ln 5$ y $ln 7$ de la siguiente manera:
$3(1.609)-1.946=4.827-1.946=2.881$
Problema 2
Calcula $3ln e$.
Recuerda que $ln e=1$, por lo que el problema anterior solo tiene una respuesta de $3$.
Problema 3
Tomemos un ejemplo ligeramente diferente, $ln(x-2)=3$. Encuentra el valor de $x$.
Para conocer el valor de $x$, primero debe eliminar el logaritmo natural del lado izquierdo de la ecuación anterior. Para hacer esto, eleva ambos lados al exponente de $e$ de la siguiente manera:
$e^{ln(x-2)}=e^3$
Luego usa el hecho de que $e^{ln x}=x$ para obtener: $x-2 =e^3$.
Ahora puede separar $x$ y conocer su valor de la siguiente manera:
$x=e^3+2$
$x=20.086+2=22.086$
Conclusión
Hemos revisado una cantidad significativa de información sobre cómo dibujar la gráfica de $ln x$, así como definiciones, propiedades y problemas de ejemplo relacionados con el logaritmo natural.
Resumamos la información para comprender mejor el logaritmo natural y su gráfica:
- Puede trazar la gráfica de $ln x$.
- Dibujar la gráfica de $ln x$ requiere conocimientos importantes como el dominio y la concavidad de $ln x$.
- Un logaritmo natural tiene algunas propiedades que facilitan la resolución de un problema.
- La base del logaritmo natural es $e$ y la del logaritmo común es $10$.
La gráfica de $ln x$ es fácil de encontrar y se puede dibujar usando calculadoras gráficas modernas, entonces, ¿por qué no resolver algunos problemas de decaimiento exponencial para comprender mejor las propiedades del logaritmo natural y el comportamiento de su gráfica? Esto te convertirá en un profesional en la resolución de ecuaciones exponenciales en muy poco tiempo.
Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
