¿Qué es d/dx? Una explicación detallada

El símbolo d/dx se utiliza para diferenciar cualquier función con respecto a la variable $x$.

La derivada o diferenciación en matemáticas se usa para determinar la tasa de cambio de una función dada. Entonces, si usamos la fórmula d/dx o el símbolo d/dx con una función “$f$”, entonces calculamos la tasa de cambio de la función “$f$” con respecto a la variable “$x$” en esta guía, le explicaremos todo lo que necesita saber sobre este concepto y le daremos ejemplos detallados.

¿Qué es d/dx?

d/dx es un operador que significa diferenciar cualquier función con respecto a la variable $x$. Encontrará preguntas como “¿Cómo pronunciar d/dx?” o “¿Qué significa d/dx?” Podemos definir $dfrac{d}{dx}$ como la tasa de cambio de una función dada con respecto a la variable independiente “$x$”. Se pronuncia “Dee par dee ex”.

Establecer d/dx

Al estudiar ecuaciones diferenciales, te encontrarás con d/dx frente a dy/dx. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre estos dos términos? Si escribimos $dfrac{d}{dx}$ como $dfrac{dy}{dx}$, significa que estamos diferenciando la variable dependiente “$y$” de la variable independiente “$x$”.

Usamos el proceso de diferenciación cuando tratamos con una función con una variable independiente variable; significa que la variable es dinámica y cambia su valor, entonces estamos tratando con la tasa de cambio, y para resolver tales problemas usamos derivadas o $dfrac{d}{dx}$. Por lo tanto, podemos decir que $dfrac{d}{dx}$ se usa para evaluar la sensibilidad entre las variables dependientes e independientes.

La diferenciación tiene amplias aplicaciones en el campo de la ingeniería, la ciencia y la tecnología porque los científicos a menudo se ocupan de problemas que requieren la observación de la tasa de cambio con respecto a diferentes variables, y deben usar derivadas y antiderivadas para obtener la forma final de la función a evaluar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones.

Pendiente, límite y d/dx

La pendiente de una función es igual a su derivada. Por ejemplo, si damos una función “$y=f(x)$”, entonces la pendiente de esta función es la tasa de cambio de “$y$” con respecto a “$x$”, que es lo mismo que $dfrac{d}{dx}$.

Considere el siguiente gráfico.

slope

Podemos determinar la derivada de la función utilizando la pendiente de una recta tangente en un punto dado. La pendiente de una función “$y=f(x)$” es la razón de la tasa de variación de la variable “$y$” a la tasa de variación de la variable “$x$”. Por lo tanto, podemos escribir la fórmula para la pendiente de una línea como

Pendiente = $dfrac{y_2 hspace{1mm} – hspace{1mm}y_1}{x_2hspace{1mm} – hspace{1mm}x_1}$

Sabemos que las funciones no siempre son líneas rectas; Las funciones pueden ser no lineales. De hecho, la mayoría de las funciones con las que tratamos en matemáticas o en la vida real son funciones no lineales. Entonces, ¿cómo encuentras la pendiente de una curva? La pendiente de una curva se determina usando el proceso de límites, y el mismo proceso se usa para determinar fórmulas para d/dx de varias funciones.

Para una función no lineal, la relación de la variación de la variable “$y$” con respecto a las variaciones de “$x$” disponibles será diferente para diferentes valores de $x$. Para calcular la pendiente de la curva, dibujaremos una cuerda y luego elegiremos el punto deseado donde dibujaremos la tangente de la pendiente. Así, tendremos dos puntos, y la demostración se muestra en el siguiente gráfico.

Cuando queremos determinar la pendiente de una curva en un punto dado, seleccionar o calcular el segundo punto requiere cierta atención. No fijamos la posición del segundo punto; en su lugar, lo usamos como una variable y lo llamamos “$h$”.

Estamos buscando el cambio más pequeño posible (ya que estamos interesados ​​en encontrar la pendiente en un punto, por lo que el segundo punto se toma con el cambio más pequeño posible), por lo que ponemos un límite para que h se acerque a cero. Entonces, si la función es $f(x)$, entonces la función del segundo punto se convertirá en $f(x + h)$. Los pasos para determinar la derivada de una curva se pueden escribir:

  1. Tome el primer punto $(x,f(x))$ y para el segundo punto cambie el valor de “$x$” a “$x + h$” para que la función del segundo punto sea $f(x + h ps
  2. La tasa de cambio de las funciones será $f(x hspace{1mm}+ hspace{1mm}h) – f(x)$
  3. Aplique el límite donde “$h$” tiende a cero para obtener la derivada de la curva

$dfrac{df}{dx} = lim_{h to 0} dfrac{f(xhspace{1mm} +hspace{1mm} h) -hspace{1mm} f(x)}{h ps

tangent

Fórmulas para d/dx

El símbolo $dfrac{d}{dx}$ o derivada tiene fórmulas específicas para funciones lineales, no lineales, exponenciales y logarítmicas, y estas fórmulas son la base para resolver ecuaciones diferenciales. Algunas de las fórmulas se dan a continuación.

  1. $dfrac{d}{dx} c = 0$ Aquí “c” es una constante
  2. $dfrac{d}{dx} x = 1$
  3. $dfrac{d}{dx} cx = c$
  4. $dfrac{d}{dx} x^{k} = kx^{k-1}$
  5. $dfrac{d}{dx} e^{x} = e^{x}$
  6. $dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} . log_{a}$
  7. $dfrac{d}{dx}sqrt{x} = dfrac{1}{2}. sqrt{x}$

La fórmula derivada también se usa para funciones trigonométricas; algunas de las derivadas de funciones trigonométricas se dan a continuación.

  1. $dfrac{d}{dx} cos(x) = -sen(x)$
  2. $dfrac{d}{dx} sin(x) = cos(x)$
  3. $dfrac{d}{dx} tan(x) = seg^{2}(x)$
  4. $dfrac{d}{dx} cosec(x) = -cosec(x).cot(x)$
  5. $dfrac{d}{dx} sec(x) = sec(x).tanx(x)$
  6. $dfrac{d}{dx} cot(x) = -cosec^{2}(x)$

Aplicaciones d/dx

La derivada o $dfrac{d}{dx}$ tiene varias aplicaciones en matemáticas puras y en la vida real. En matemáticas, cuando nos piden encontrar la pendiente de una curva o necesitamos optimizar una función y queremos determinar los máximos o mínimos de la función o aplicar una regla de la cadena, usamos derivadas. Algunas de las aplicaciones de la derivada o $dfrac{d}{dx}$ en matemáticas se dan a continuación.

  1. Para determinar si una función es creciente o decreciente
  2. Determinar la tasa de cambio de una función
  3. Conocer los máximos y mínimos de una función no lineal
  4. Calcular la pendiente y la tangente de una curva
  5. Se utiliza para resolver derivadas de orden superior.
  6. Encontrar la normal de una curva.
  7. Determinación del valor aproximado de la función

Ahora, veamos algunos ejemplos concretos de $dfrac{d}{dx}$ o derivados.

  1. La derivada se puede utilizar para determinar el cambio de temperatura, presión o cualquier otra cantidad.
  2. Las derivadas se utilizan para determinar la velocidad, la aceleración y la distancia recorrida.
  3. Las derivadas se utilizan en ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, que a su vez se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería.
  4. Los derivados son utilizados por los empresarios para el cálculo de pérdidas y ganancias o la variación de pérdidas y ganancias en un negocio.
  5. Los derivados se utilizan para determinar cambios en las condiciones climáticas, y en el campo de la sismología se utilizan para determinar la magnitud de los terremotos.

Ahora veamos algunos ejemplos relacionados con $dfrac{d}{dx}$, para que puedas ver sus aplicaciones mientras resuelves diferentes problemas.

Ejemplo 1: ¿Qué es d/dx de 50?

La solución

El número 50 es una constante, por lo que su derivada es cero.

Ejemplo 2: ¿Qué es d/dx 1/x?

La solución

$dfrac{d}{dx} dfrac{1}{x} = -dfrac{1}{x^{2}}$

Ejemplo 3: Determina la derivada de la función $f(x) = 3x hspace{1mm}+ hspace{1mm}9$

La solución

Nos dan la función $f(x) = 3x hspace{1mm}+ hspace{1mm}9$

Ahora sacando la derivada de ambos lados

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx} [3x hspace{1mm}+ hspace{1mm}9]ps

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx}3x + dfrac{d}{dx} 9$

$dfrac{d}{dx} f(x) = 3(1) + 0 = 3$

Ejemplo 4: Determina la derivada de la función $f(x) = 2x^{2}hspace{1mm} + 6xhspace{1mm} – hspace{1mm}2$

La solución

Nos dan la función $f(x) = 2x^{2}hspace{1mm} +hspace{1mm} 6xhspace{1mm} – hspace{1mm}2$

Ahora sacando la derivada de ambos lados

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx} [2x^{2} + 6x – 2]ps

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx}2x^{2} + dfrac{d}{dx} 6x – dfrac{d}{dx} 2$

$dfrac{d}{dx} f(x) = 2,2 x hspace{1mm}+ hspace{1mm}6(1) – hspace{1mm}0 = 4xhspace{1mm} +hspace {1mm }$6

Ejemplo 5: Determinar la derivada de la función $f(x) = 4 tanx + 3$

La solución

Nos dan la función $f(x) = 4 tanx hspace{1mm}+ hspace{1mm}3x $

Ahora sacando la derivada de ambos lados

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx} [4 tanx + 3x]ps

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx}4 tanx + dfrac{d}{dx} 3x$

$dfrac{d}{dx} f(x) = 4s^{2}x + 3$

Ejemplo 6: Determina la derivada de la función $f(x) = 3x^{3}hspace{1mm} + hspace{1mm}6x^{2} – hspace{1mm}5x$

La solución

Nos dan la función $f(x) = 3x^{3} + 6x^{2} – 5x$

Ahora sacando la derivada de ambos lados

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx} [3x^{3} + 6x^{2} – 5x]ps

$dfrac{d}{dx} f(x) = dfrac{d}{dx}3x^{3} + dfrac{d}{dx} 6x^{2} – dfrac{d}{dx} 5x$

$dfrac{d}{dx} f(x) = 3times 3 x^{2} + 6times 2 x – dfrac{d}{dx} 5(1) = 9x^{2} + 12x – $5

Preguntas frecuentes

¿Qué significa d por dx?

No existe una abreviatura exacta para el símbolo $dfrac{d}{dx}$, pero en general, decimos d por dx significa diferenciación de “$x$”. El primer “$d$” o el numerador “$d$” es solo una diferenciación y si ponemos “$y$” o $f(x)$ delante, entonces diremos función de diferenciación “$y$” con respecto a “$x$”.

¿Cuál es la derivada de 1?

La derivada de cualquier constante es cero. Como “$1$” es un número constante, la derivada de “$1$” es cero.

Conclusión

Terminemos nuestro tema revisando algunos de los puntos clave que discutimos con respecto a $dfrac{d}{dx}$.

  • El símbolo o notación d/dx deriva con respecto a la variable independiente “x”.
  • Cuando queremos diferenciar una función, simplemente ponemos d/dx antes de una función. Por ejemplo, para la función f(x) = y = 3x, diferenciaremos la función “y” con respecto a “x” usando dy/dx
  • d/dx se utiliza para definir la tasa de cambio de una función dada con respecto a la variable “x”.

Comprender el símbolo $dfrac{d}{dx}$, su significado, derivación y aplicaciones debería ser más fácil para usted después de leer esta guía completa.