Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Los números complejos, como los números reales, también tienen raíces. Aprendimos a resolver ecuaciones en el pasado, pero ignoramos las raíces complejas. Esta vez centraremos nuestra atención en encontrar todas las raíces, tanto reales como complejas.

Podemos encontrar fácilmente las raíces de los números complejos tomando la raíz del módulo y dividiendo el argumento de los números complejos por la raíz dada.

Esto significa que podemos encontrar fácilmente las raíces de diferentes números complejos y ecuaciones con raíces complejas cuando los números complejos están en forma polar.

Asegúrate de revisar los siguientes conceptos antes de pasar directamente a encontrar las raíces de diferentes números complejos:

  1. Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  2. Comprender cómo funciona el teorema de De Moivre y cómo se aplica para encontrar las raíces de un número complejo.

Consulte también los enlaces que hemos proporcionado en caso de que necesitemos refrescar nuestra memoria. Por ahora, ¿por qué no seguir adelante y sumergirse directamente en los fundamentos de los números complejos y sus raíces?

¿Cuál es la raíz de los números complejos?

Dado un número complejo $z = a + bi$ o $z = r(cos theta + isin theta)$, las raíces de los números complejos son iguales al resultado de elevar $z$ a la potencia $ dfrac{1}{n}$.

Las raíces de los números complejos son el resultado de encontrar $z^{frac{1}{n}}$ o $z^n$. Tenga en cuenta que al encontrar la raíz $n$ésima de $z$, también esperamos raíces $n$.

Esto significa que la raíz cúbica de $8$, somos tres raíces incluyendo las raíces reales y complejas. De hecho, estas tres raíces son: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Aprenderá cómo encontrar estas raíces complejas en las siguientes secciones, entonces, ¿por qué no continúa y se lanza directamente?

¿Cómo encontrar las raíces de los números complejos?

Usando el teorema de De Moivre, hemos mostrado cómo encontrar las raíces de números complejos en forma polar. Digamos que tenemos $z =r(cos theta + i sin theta)$, podemos encontrar $sqrt[n] z$ utilizando la siguiente fórmula.

$boldsymbol{theta}$ en grados $boldsymbol{theta}$ en radianes
$sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n}right)$ $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$

Dado que buscamos un total de $n$ raíces para $sqrt[n]{z}$, $k$ debe ser igual a ${0, 1, 2, 3, …, n – 1}$.

También podemos encontrar las raíces de números complejos trazando gráficamente las raíces en un plano complejo y trazando cada raíz $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ}}{n} $ aparte.

No te preocupes. Desglosaremos los pasos importantes en la siguiente sección para asegurarnos de que sabemos cómo encontrar las raíces de números complejos de forma algebraica y geométrica.

Encontrar las raíces de números complejos

Como mencionamos, podemos encontrar las raíces usando la fórmula derivada del teorema de De Moivre, o podemos encontrar las raíces graficándolas en un plano complejo.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

Aquí hay algunos pasos útiles para recordar al encontrar las raíces de números complejos.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Encuentra la raíz $n$ésima de $r$ o eleva $r$ a la potencia $dfrac{1}{n}$.
  3. Si necesitamos encontrar la raíz $n$ésima, usaremos $k = {0, 1, 2… n-1}$ en la fórmula que proporcionamos anteriormente.
  4. Comience por encontrar el argumento de la primera raíz dividiendo $theta$ por $n$.
  5. Repite el mismo proceso, pero esta vez trabaja con $theta + 2pi k$ o $theta + 360^{circ}k$ hasta que tengamos $n$ raíces.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

También es posible encontrar las raíces de números complejos trazando estas raíces en un plano complejo.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Divide $2pi$ o $360^{circ}$ entre $n$.
  3. Dibuja la primera raíz en el plano complejo que une el origen con un segmento de $r$ unidades de largo.
  4. Dibuja la primera raíz compleja usando la fórmula de la raíz compleja, donde $k = 0$.
  5. Dibuja la siguiente raíz asegurándote de que esté $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ} }{n}$ fuera de las siguientes raíces.

¿Estás listo para aplicar lo que acabas de aprender? No te preocupes; Hemos preparado algunos problemas para probar y comprobar tu conocimiento de las raíces de los números complejos.

Ejemplo 1

Confirme que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Solución

Avancemos y confirmemos que $8$ tiene las siguientes raíces cúbicas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ siguiendo los pasos anteriores.

Dado que $8$ todavía está en su forma rectangular, $8 = 8 + 0i$, primero necesitaremos convertirlo a forma polar encontrando el módulo y el argumento de su forma polar como se muestra a continuación.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{8^2 + 0^2}\&= sqrt{64}\&=8end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{0}{8}\&= tan^{-1} 0\&= 0end{alineado}$

Esto significa que comenzamos con $n = 3$, $k= 0$ y $theta = 0$ para la fórmula, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$.

$ begin{alineado} sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} right )\&=2 (cos 0 + isen 0 )end{alineado}$

La raíz siempre está en forma polar, por lo que si queremos que la raíz tenga forma rectangular, podemos evaluar el resultado para convertirla en forma rectangular.

$ begin{alineado} 2 (cos 0 + isin 0 )&= 2(1 + 0i)\&= 2 end{alineado}$

Esto significa que la primera raíz de $8$ es $2$. Podemos aplicar el mismo proceso para las dos raíces restantes, pero aquí usamos $k = 1$ y $k = 2$.

$boldsymbol{sqrt[n]{z}}$ cuando $boldsymbol{k = 1, 2}$ $boldsymbol{a + bi}$
$ begin{alineado} k = 1\\sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} + dfrac{sqrt{3}}{2}iright)\&= -1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$ begin{alineado}k = 2\\ sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} – dfrac{sqrt{3}}{2}iderecho)\&= -1 – sqrt{3}i end{alineado}$

Acabamos de mostrar que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ en forma rectangular.

Ejemplo 2

Dibuja las cuartas raíces complejas de $-8 + 8sqrt{3}i$ en un plano complejo. También tenga en cuenta las raíces en forma rectangular.

Solución

Comencemos por encontrar el módulo y el argumento del número complejo, $-3 + 3sqrt{3}i$.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{(-8)^2 + (8sqrt{3})^2}\&= sqrt{36}\&=256end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{8sqrt{3}}{-8}\&= tan^{-1} -sqrt{3}\ &= 120^{circ}end{alineado}$

Entonces $-8 + 8sqrt{3}i = 16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$. Como estamos buscando raíces cúbicas, esperamos que las raíces estén separadas $dfrac{360^{circ}}{4} = 90^{circ}$.

Podemos usar la fórmula de la raíz compleja, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} (cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n})$, donde asignamos $n = 4$, $r = 6$, $theta = 120^{circ}$ y $k=0$.

$begin{alineado} sqrt[4]{16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})}&= sqrt[4]{16} left(cos dfrac{120^{circ} + 360^{circ} cdot 0}{4} + isin dfrac{120^{circ} + 360^{circ } cdot 0}{4} right )\&= 2 (cos 30^{circ} + isin 30^{circ}) end{alineado}$

Para encontrar las tres raíces restantes, graficamos tres raíces con el mismo módulo, $2$, y los argumentos están separados cada uno por $90^{circ}$.

Acabamos de graficar toda la raíz cuarta del número complejo. A partir de ahí, incluso podemos enumerar las cuatro raíces de $-8 + 8sqrt{3}i$.

  • $2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$
  • $2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$
  • $2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$
  • $2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$

Incluso podemos convertir las raíces en una forma rectangular, como se muestra, evaluando los valores del coseno y el seno y luego distribuyendo $2$ cada vez.

Forma polar Forma rectangular
$2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ}) &= 2left(dfrac{sqrt{3}}{2}+ dfrac{1 {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}+ 2cdot dfrac{1}{2}i \&=sqrt{3} + Yo end{alineado}$
$2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ}) &= 2left(-dfrac{1}{2}+ dfrac{sqrt{3 }}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{1}{2}+ 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=-1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ}) &= 2left(-dfrac{sqrt{3}}{2}- dfrac{ 1}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{sqrt{3}}{2}- 2cdot dfrac{1}{2} i \&=-sqrt{ 3} – Yo end{alineado}$
$2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ}) &= 2left(dfrac{1}{2}- dfrac{sqrt{3} {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{1}{2}- 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=1 – sqrt{3 }i end{alineado}$

Por lo tanto, acabamos de mostrar que podemos encontrar las raíces restantes geométricamente e incluso convertir el resultado a forma rectangular.