Las razones trigonométricas son las razones de ciertos lados de un triángulo rectángulo dada la medida de un ángulo.
Estas razones trigonométricas son las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente y sus inversas. Cada función representa una razón diferente en un triángulo rectángulo dada la medida de un ángulo.
Las proporciones trigonométricas son importantes en trigonometría, geometría y todas las ramas de la ciencia física y la ingeniería.
Antes de explicar los elementos de esta sección, asegúrese de revisar las funciones trigonométricas.
Esta sección cubre:
- ¿Qué son las razones trigonométricas?
- Cómo encontrar razones trigonométricas
¿Qué son las razones trigonométricas?
Las razones trigonométricas son las razones de los lados de un triángulo rectángulo dado uno de los ángulos no rectos del triángulo.
Recuerda que un triángulo rectángulo siempre tiene un ángulo recto con una medida de 90 $ grados o $ frac { pi} {2} $ radianes. Por lo tanto, conocer uno de los otros ángulos significa que también se conoce el tercer ángulo.
¿Por qué?
Dado que todos los triángulos tienen 180 $ grados o $ pi $ radianes, la medida del tercer ángulo es igual a $ 180-90- alpha $ grados o $ pi- frac { pi} {2} – alpha $ radianes, donde $ alpha $ es la medida del ángulo conocido. Estas fórmulas se simplifican a $ 90- alpha $ grados y $ frac { pi} {2} – alpha $ radianes.
Conocer los ángulos de un triángulo no es suficiente para determinar la longitud de sus lados. Pero, esa es información suficiente para determinar la relación de cada lado con los demás.
Aquí es donde entran las funciones trigonométricas. Recuerde que las funciones trigonométricas (o “trigonométricas”) tienen una medida de ángulo como entrada y una razón como salida. Este ángulo de entrada es el ángulo no recto conocido en un triángulo rectángulo.
La relación que se encuentra con el seno es la longitud de la pierna opuesta a la hipotenusa. Es decir, el seno es igual al opuesto dividido por la hipotenusa.
El coseno es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Aquí, la “pierna opuesta” es la pierna que no forma parte del ángulo. La hipotenusa es el cateto opuesto al ángulo recto, y el “cateto adyacente” es el cateto que junto con la hipotenusa forma el ángulo dado.
La cosecante, la secante y la cotangente son respectivamente los recíprocos del seno, el coseno y la tangente. Por lo tanto, son respectivamente hipotenusa en opuesto, hipotenusa en adyacente y adyacente en opuesto.
Recuerda las proporciones
Hay un mnemónico simple que se usa para recordar qué función trigonométrica da qué relación de ángulo. Es “SOHCAHTOA”. (Se pronuncia “sockatowa”)
Aquí, S significa seno y las letras que le siguen son O y H. Por lo tanto, el seno está opuesto a la hipotenusa.
Asimismo, dado que A y H siguen a C, el coseno es adyacente a la hipotenusa.
Finalmente, dado que O y A siguen a T, la tangente es opuesta a adyacente.
Entonces recuerda que la cosecante es la inversa del seno, la secante es la inversa del coseno y la cotangente es la inversa de la tangente.
Relación entre ratios
Conocer el seno o el coseno es suficiente para determinar las otras cinco razones trigonométricas.
Hay una identidad trigonométrica simple que ayuda con esto. En particular, $ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 $ para todas las medidas de los ángulos $ theta $ en grados o radianes.
Por lo tanto, conocer el seno o el coseno y esta identidad permite que uno resuelva por el otro. A partir de ahí, la tangente es igual al seno dividido por el coseno. Entonces, las otras proporciones de trígono son recíprocas de estas tres.
Cómo encontrar razones trigonométricas
Hay varias formas de encontrar razones trigonométricas. Una opción es usar una calculadora, pero esto oculta las matemáticas detrás del informe.
Otra opción es analizar triángulos particulares. Por ejemplo, un triángulo rectángulo isósceles tiene dos ángulos de grados de $ 45 (o dos ángulos de radianes de $ frac { pi} {4} $).
Ahora considere un triángulo de este tipo en el círculo unitario. Dado que el teorema de Pitágoras es válido para todos los triángulos rectángulos, el triángulo tendrá dos catetos de longitud $ 1 $ y una hipotenusa de longitud $ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {2} $.
Generalizando esto para un triángulo isósceles con una longitud de lado de $ a $, la hipotenusa tendrá una longitud de $ sqrt {a ^ 2 + a ^ 2} = sqrt {2a ^ 2} = a sqrt {2} $ .
Ahora es posible observar las proporciones de trigo para este triángulo.
La tangente es la más simple porque para un ángulo de 45 $ grados, el opuesto es $ a $ y el adyacente es $ a $. Por tanto, la relación es de 1 dólar.
Dado que el seno es opuesto a la hipotenusa, el seno será $ frac {a} {a sqrt {2}} $, que se simplifica a $ frac {1} { sqrt {2}} $.
Finalmente, el coseno es adyacente a la hipotenusa. Por lo tanto, también es $ frac {a} {a sqrt {2}} = frac {1} { sqrt {2}} $.
Este triángulo, junto con un triángulo 30-60-90 y algunas identidades trigonométricas, establece un método para encontrar razones trigonométricas sin una calculadora.
Ejemplos de
Esta sección revisa ejemplos comunes de razones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
El seno de un ángulo en particular es $ frac {1} {5} $. ¿Cuál es la secante del ángulo?
Solución
Dado que $ sin theta = frac {1} {5} $ y la secante es la inversa del coseno, es necesario usar la identidad $ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 $ para encontrar el coseno primero.
$ ( frac {1} {5}) ^ 2 = frac {1} {25} $.
$ 1- frac {1} {25} = frac {24} {25} $.
La raíz cuadrada de esto es $ frac {2 sqrt {6}} {5} $.
Entonces la secante es $ frac {5} {2 sqrt {6}} $.
Ejemplo 2
¿Cuál es el seno del ángulo $ ABC $? ¿Cuál es el coseno del ángulo $ ABC $?
Solución
En este caso, se dan las longitudes de los lados. Por lo tanto, uno puede simplemente insertar estos valores en las proporciones.
Dado que el seno está opuesto a la hipotenusa y el lado de la longitud $ 3 $ es opuesto a $ ABC $, el seno es $ frac {3} {5} $.
Asimismo, el coseno es adyacente a la hipotenusa. Por lo tanto, el coseno es $ frac {4} {5} $.
Ejemplo 3
Use límites para hacer una predicción de lo que le sucederá al coseno cuando $ ABC $ vaya en ángulo recto (90 $ grados o $ frac { pi} {2} $ radianes).
Solución
A medida que el ángulo $ ABC $ se hace cada vez más grande, el ángulo adyacente permanece igual. Durante este tiempo, la hipotenusa aumenta de longitud.
Por lo tanto, la relación será cada vez más pequeña. Por ejemplo, si el lado adyacente tiene una longitud de $ 1 y la hipotenusa es $ 10, la razón del coseno es $ frac {1} {10} $. Cuando el ángulo se alarga y la hipotenusa llega a $ 100, la razón es $ frac {1} {100} $. Cuando el ángulo se alarga aún más y la hipotenusa tiene una longitud de $ 10,000, el coseno será $ frac {1} {10,000} $.
Por lo tanto, la relación se acerca cada vez más a $ 0 a medida que el ángulo se hace cada vez más grande.
Ejemplo 4
Simplifique la razón trigonométrica representada por $ frac {sec} {tan} $.
Solución
$ frac {sec} {tan} = frac { frac {1} {cos}} { frac {sin} {cos}} = frac {1} {cos} times frac {cos} {sin } = frac {cos} {cos times sin} = frac {1} {sin} $.
Es el recíproco del seno, la cosecante.
Ejemplo 5
Utilice el hecho de que en un triángulo 30-60-90, la hipotenusa es dos veces más larga que el lado más corto para encontrar las tres razones trigonométricas principales para $ 30 y $ 60 grados.
Consejo: el lado más corto está adyacente a la esquina de $ 60.
Solución
Comience en un ángulo de $ 60 grados.
Aquí, el lado adyacente es la mitad de la hipotenusa. En otras palabras, $ frac {a} {h} = frac {1} {2} $. Por lo tanto, el coseno es $ frac {1} {2} $.
Usando la identidad $ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 $, el seno de $ 60 $ es $ frac { sqrt {3}} {2} $.
Esto significa que la tangente es $ frac { frac { sqrt {3}} {2}} { frac {1} {2}} = sqrt {3} $.
Luego considere el otro ángulo. El lado más corto está opuesto a este ángulo, por lo que el seno es $ frac {1} {2} $.
Por lo tanto, el coseno es $ frac { sqrt {3}} {2} $ y la tangente es $ frac {1} { sqrt {3}} $.
Problemas de práctica
- Si $ cos theta = frac {2} {3} $, encuentre $ sec theta $.
- Si $ sin theta = frac {4} {9} $, encuentre $ cot theta $.
- Usa el Ejemplo 3 para hacer una predicción de lo que le sucederá al seno cuando el ángulo se aproxime a un ángulo recto.
- Encuentra el seno del ángulo más pequeño en un triángulo rectángulo cuyos lados miden $ 5, $ 12, $ 13.
- Considere el triángulo rectángulo indicado en el círculo unitario centrado en el origen. ¿El seno sería positivo o negativo? ¿Y el coseno?
Clave de respuesta
- $ frac {3} {2} $
- $ frac { sqrt {65}} {4} $.
- El seno va a $ 1.
- $ frac {5} {13} $.
- La hipotenusa es negativa, la adyacente es negativa y la inversa es positiva. Por tanto, el coseno es positivo y el seno es negativo.
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