Recíproco Negativo – Explicación y Ejemplos

Recíproco Negativo – Explicación y Ejemplos

El inverso negativo puede parecer complicado, pero una vez que entendamos su concepto, verás lo fácil que es aplicarlo y encontrar el inverso negativo de un número. ¿Por qué no diseccionar las dos palabras?

Negativo y recíproco: esto significa que el inverso negativo de un número es el resultado de multiplicar el inverso del número por $mathbf{-1}$.

Tan simple como su definición, los recíprocos negativos tienen una amplia gama de aplicaciones que incluyen encontrar pendientes perpendiculares y modelar aplicaciones del mundo real que usan relaciones inversas.

¿Qué es un recíproco negativo?

Cuando se trata de inversos negativos, primero recordemos qué representan estas dos palabras en matemáticas: negativo y recíproco.

$ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$

Desglosaremos lentamente este formulario y, al final de este artículo, sin duda podrá comprender de qué se trata.

Recíproco

El inverso de un número o función es el valor o la expresión que resulta de invertir los lugares del numerador y el denominador.

$ boldsymbol{dfrac{a}{b}rightarrow dfrac{b}{a} }$

Los inversos se consideran inversos multiplicativos porque siempre serán 1 cuando multiplicamos un número por su inverso.

$ dfrac{a}{b} cdot dfrac{b}{a}=1$

Domina tu conocimiento de los recíprocos aquí.

Negativo de un número (o de una función)

El negativo de un número o función es el resultado de un número multiplicado por -1. Digamos que tenemos una fracción, $dfrac{b}{a}$, su contraparte negativa será $-dfrac{b}{a}$.

$ boldsymbol{-1 cdot dfrac{b}{a} = -dfrac{b}{a}}$

Obtén más información sobre los números negativos aquí.

Cuando combinamos estos dos conceptos, tendremos el inverso negativo de un número. Esto significa que los inversos negativos resultan del hecho de que tomamos el inverso de un número y luego encontramos el valor negativo del resultado.

Por lo tanto, tenemos $ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$.

¿Cómo encontrar el recíproco negativo?

Ahora que entendemos lo que representan los recíprocos negativos, ¿cómo manipulamos diferentes formas de expresiones para tener sus recíprocos negativos?

  • Siempre comienza con invertir los lugares del numerador y el denominador de la escisión.
  • Una vez que tenemos el recíproco, multiplicar el resultado por $mathbf{-1}$.

Hemos creado guías rápidas para que las consulte cuando trabaje con diferentes tipos de números y expresiones.

Comencemos aprendiendo cómo encontrar el recíproco negativo de una fracción, $dfrac{a}{b}$, donde $b neq 0$.

¿Qué pasaría si trabajáramos con funciones racionales como $dfrac{p(x)}{q(x)}$? Aplicamos el mismo proceso que hicimos con las fracciones.

La función racional y su converso negativo solo serán válidas si $p(x) neq 0$ y $q(x) neq 0$.

y si trabajamos con números enteros ¿entonces? Nosotros comienza expresando el número entero como una fracción con $1$ como denominador. Digamos que tenemos $m$ como un número entero, comenzamos expresándolo como $dfrac{m}{1}$ y seguimos el mismo proceso.

Un proceso similar se aplica a funciones como $f(x)$ que son funciones no racionales.

Tenga en cuenta que para que existan recíprocos negativos, $m$ y $f(x)$ no deben ser iguales a $0$.

¿Emocionado por probar problemas que involucran recíprocos negativos? Primero, avancemos y resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los recíprocos negativos.

Resumen de definición y propiedades recíprocas

  • Esta expresión representa lo que sucede al encontrar recíprocos negativos: $ boldsymbol{dfrac{a}{b} rightarrow – dfrac{b}{a} }$.
  • Cuando se le da un número entero o una función que no es racional, primero exprese lo dado como una fracción de 1.
  • Solo es posible que una constante o una función tenga un recíproco negativo cuando su numerador y denominador no son iguales a $0$.
  • La pendiente de una recta perpendicular utiliza inversas negativas.

Eso es. Asegúrese de tener en cuenta estos consejos cuando solucione los problemas a continuación.

Ejemplo 1

Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de los siguientes elementos.

Valor original recíproco negativo
$dfrac{1}{2}$
$-dfrac{2}{3}$
$9$
$- 4dfrac{1}{7}$

Solución

Para encontrar el inverso negativo, comenzamos intercambiando los lugares del numerador y el denominador de la fracción. Primero trabajemos en los primeros dos elementos: $dfrac{1}{2}$ y $-dfrac{2}{3}$.

Por tanto, sus recíprocos son $dfrac{2}{1}$ y $-dfrac{3}{2}$.

Para cada valor, multiplique $-1$ para encontrar el inverso negativo correspondiente.

  • $-1 cdot dfrac{2}{1} = -2$
  • $-1 cdot -dfrac{3}{2}=dfrac{3}{2}$.

De hecho, aplicaremos el mismo proceso para las dos últimas líneas, pero primero asegúrese de reescribirlas como una fracción. El número entero $9$ se puede escribir $dfrac{9}{1}$ y el número mixto $- 4dfrac{1}{7}$ se puede escribir $-dfrac{29}{7}$ .

Una vez que las tengamos como fracciones, podemos intercambiar los lugares de sus correspondientes numeradores y denominadores y luego multiplicar el resultado respectivo por $-1$.

  • $begin{alineado}dfrac{9}{1} rightarrow dfrac{1}{9} rightarrow -dfrac{1}{9} end{alineado}$
  • $begin{alineado} -dfrac{29}{7} rightarrow dfrac{-7}{29} rightarrow dfrac{7}{29} end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos la tabla completa como se muestra a continuación.

Valor original recíproco negativo
$dfrac{1}{2}$ $-2$
$-dfrac{2}{3}$ $dfrac{3}{2}$
$9$ $-dfrac{1}{9}$
$- 4dfrac{1}{7}$ $-dfrac{7}{29}$

Ejemplo 2

Sea $h(x)$ el inverso negativo de $f(x)$ para cada una de las siguientes funciones. Encuentra el $h(x)$. ¿Cuáles son las restricciones para $x$ en cada caso?

una. $f(x) = dfrac{1}{x – 1}$

B. $f(x) = dfrac{2}{3(x+2)}$

contra $f(x) = x^2 – 3x – 54$

Solución

Aplicamos el mismo proceso para encontrar los inversos negativos de las funciones.

una. Esto significa que comenzamos intercambiando los lugares de $1$ y $x – 1$ para encontrar el inverso de $f(x)$. Luego multiplicamos el resultado por $-1$.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{x-1}{1}\&=-1cdot x – 1\&mathbf{-x + 1} end {alineado}$

Dado que $h(x)$ es una expresión lineal, no tiene restricciones. La función $f(x)$, sin embargo, no debe tener $x – 1 = 0$, por lo tanto, $mathbf{x neq 0}$.

B. Aplicamos el mismo proceso desde a. Por lo tanto, tenemos $h(x)$ como se muestra a continuación.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{3(x+2)}{2}\&=-1cdot dfrac{3x+6}{2}\& =mathbf{-dfrac{3x+6}{2}} end{alineado}$

La función $h(x)$ tiene una constante como denominador, por lo que no tiene restricciones para $x$. La función $f(x)$, sin embargo, no puede tener $3(x + 2) = 0$, entonces $mathbf{x neq -2}$.

contra Expresa $f(x)$ como una fracción con $1$ como denominador, entonces $f(x) = dfrac{ x^2 – 3x – 54}{1}$. Ahora aplica el mismo proceso para encontrar el recíproco negativo, $h(x)$.

$begin{alineado}h(x)&=-1cdot dfrac{1}{x^2-3x-54}\&=mathbf{-dfrac{1}{x^2-3x- 54}}\ end{alineado}$

Como $f(x)$ es un polinomio, no hay restricción para $x$. Su inverso negativo, sin embargo, no puede tener cero en su denominador. Podemos encontrar las restricciones para $h(x)$ encontrando los valores donde $ x^2 – 3x – 54$ es igual a cero.

$ begin{alineado} x^2 -3x – 54&=0\(x – 9)(x + 6)&=0\x&=9\x&-6end{alineado}$

Esto significa que para que $h(x)$ sea válido, $mathbf{x neq {-6.9}}$.

Ejemplo 3

La gráfica de la función lineal, $f(x)$, es perpendicular a la gráfica de $h(x)$, que también es una función lineal. Si $f(x)$ tiene una pendiente de $-dfrac{2}{3}$, ¿cuál es la pendiente de $h(x)$?

Solución

Como mencionamos en la discusión, encontrar los inversos negativos es crucial para encontrar las pendientes de las líneas perpendiculares.

Como tenemos la pendiente de $f(x)$, podemos encontrar la pendiente de $h(x)$ al encontrar el inverso negativo de $-dfrac{2}{3}$.

$begin{alineado}m_perp &= -1 cdot-dfrac{3}{2}\&=dfrac{3}{2} end{alineado}$

Esto significa que la pendiente de $h(x)$ es $dfrac{3}{2}$ por lo que es perpendicular a $f(x)$.

Ejemplo 4

El inverso negativo de $f(x)$ es $dfrac{x^2 – 2}{x – 5}$. ¿Cuál es la expresión para $f(x)$?

Solución

Esta vez, nos dan el recíproco negativo. Necesitamos encontrar la expresión para $f(x)$ invirtiendo los pasos:

  • Empezamos multiplicando $-1$ por el inverso negativo para revertir los cambios de signo.
  • Intercambia los lugares del numerador y el denominador del inverso negativo.

$begin{alineado}f(x)&=-1cdot dfrac{x-5}{x^2-2}\&=dfrac{-x+5}{x^2-2} fin{alineado}$

Esto significa que $mathbf{f(x) =dfrac{-x+5}{x^2-2}}$.

¿Notas algo sobre los pasos? En realidad es el mismo proceso porque el inverso negativo del inverso negativo de una función será $mathbf{f(x)}$.

Ejemplo 6

Si un número dado es veintisiete veces mayor que el cuadrado de su inverso negativo, encuentre el número.

Solución

Sea $n$ el número que estamos buscando, por lo que su negativo se puede expresar como $-dfrac{1}{n}$. Elabora la ecuación que representa la situación.

$n=27cdotleft(-dfrac{1}{n} right )^2 $

Simplifica esta ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por $n^2$ y sacando la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación.

$begin{alineado}n&=dfrac{27}{n^2}\n^3&=27\sqrt[3]{n^3} &=raíz cuadrada[3]{27}\n&=3 end{alineado}$

Esto significa que para que el número satisfaga la condición, debe ser igual a 3.