Resta de Números Complejos – Técnicas, Explicación y Ejemplos

Resta de Números Complejos – Técnicas, Explicación y Ejemplos

Si podemos restar números reales, tiene sentido que también podamos restar números complejos. Restar números complejos también nos ayudará a repasar lo que aprendimos sobre la resta de dos binomios.

Al restar números complejos, simplemente restamos las partes de los números reales y restamos las partes de los números imaginarios.

¿Recuerdas cuando combinamos términos similares al restar binomios? Aplicaremos un proceso similar al restar dos números complejos.

¿Cómo restar números complejos?

La forma general de un número complejo es de la forma $a + bi$. Si tenemos otro número complejo, $m + ni$, podemos encontrar la diferencia entre los dos siguiendo los pasos a continuación:

  1. Distribuya el signo negativo dentro del paréntesis.
  2. Une el número real y las partes del número imaginario.
  3. Simplifica cada grupo sumando o restando los coeficientes.

Sigamos estos pasos para encontrar la diferencia entre $a + bi$ y $m + ni$.

$begin{alineado} (a + bi) – (m + ni) &= a + bi -m – ni color{verde}text{ Distributivo el signo negativo}\&= (a – m) + ( bi – ni) color{vert}text{ Combinar partes reales e imaginarias}\&= (a – m) + (b -n)i color{vert}text{ Simplificar términos}end{ alineado} PS

Esto significa que la forma general de la diferencia entre los dos números complejos, $a + bi$ y $m + ni$, es igual a $(a – m) + (b – n)i$.

Ejemplos de resta de números complejos

El grado de dificultad a la hora de restar números complejos puede variar, por lo que te mostraremos algunos casos comunes con los que te puedes encontrar.

Caso 1: Resta un número complejo de un número real

Digamos que tenemos el número real, $m$. Podemos restarle $a + bi$ distribuyendo correctamente el signo negativo delante del paréntesis.

$ begin{alineado} m – (a + bi) &= m – 1(a) – 1(bi)\&= m – a – biend{alineado}$

Podemos aplicar un proceso similar siempre que queramos restar un número complejo del número real dado.

Caso 2: Restar un número complejo de un número imaginario

Digamos que tenemos un número imaginario, $ni$. Podemos restar $a + bi$ de esto por:

  1. Distribuya correctamente el signo negativo entre paréntesis.
  2. Combina los dos números imaginarios.

$ begin{alineado} ni – (a + bi) &= ni – 1(a) – 1(bi)\&= – a + (ni – bi)\&= -a + (n – b) iend{alineado}$

Este proceso se aplica siempre que queremos restar un número complejo de un número imaginario. También aplicaremos un proceso similar si queremos restar un número imaginario de un número complejo, pero los signos cambiarán.

Caso 3: restar un número complejo de otro número complejo

Ya hemos discutido este caso en la sección anterior porque cubre la forma general de los números complejos.

Si queremos restar $m + ni$ de $a + bi$, es igual a $(a – m) + (b – n)i$. El orden de las dos cuestiones ya que la resta no es conmutativa.

Recuerda que cuando se nos pide restar “$a$ de $b$”, queremos encontrar $b – a$. De la misma manera que si queremos “restar $b$ de $a$”, estamos buscando $a – b$.

Ejemplo 1

¿Cuál es el resultado cuando $-8$ se resta de $-5 + 6i$?
Solución

Queremos encontrar la diferencia entre $-5 + 6i$ y $-8$. Asegúrese de distribuir correctamente el signo negativo. Combine el número real de partes para simplificar el resultado.

$ begin{alineado} -5 + 6i – (-8) &= -5 + 6i + 8\&= (-5 + 8) + 6i\ &= 3 + 6iend{alineado}$

Esto significa que cuando $-8$ se resta de $-5 + 6i$, el resultado es $3 + 6i$.

Ejemplo 2

¿Cuál es el resultado cuando $12 – $8i se restan de $4i?
Solución

Estamos buscando el valor de $4i – (12 – 8i)$. La distribución correcta del signo negativo es una parte crucial de este problema.

Combine las partes real e imaginaria de los números y luego simplifique aún más el resultado como se muestra a continuación.

$ begin{alineado} 4i – (12 – 8i) &= 4 – 1(12) – (-8i)\&= 4 + 12 + 8i\&= (4 + 12) + 8i\&= 16 + 8iend{alineado}$

Por lo tanto, cuando se restan $12 – $8i de $4i, el resultado es $16 + $8i.

Ejemplo 3

¿Cuál es el resultado cuando se restan $15- 3i$ de $6i + 12$?
Solución

Asegúrese de anotar cuál de los dos números complejos se coloca antes y después de la palabra “de”, de modo que en realidad estemos buscando $(6i + 12) – (15 – 13i)$. Reorganiza los términos del primer grupo para que el número real aparezca primero.

Distribuya el signo negativo después y luego combine los términos similares.

$ begin{alineado} (6i + 12) – (15 – 13i) &= (12 + 6i) – ( 15 – 13i)\&= 12 + 6i – 15 – 13iend{alineado}$

Luego podemos agrupar las partes real e imaginaria de los números y luego simplificar la diferencia resultante.

$ begin{alineado} 12 + 6i – 15 – 13i &= (12 – 15) + (6 – 13)i\&= 3 – 3iend{alineado}$

Esto muestra que cuando $15- 3i$ se resta de $6i + 12$, el resultado es $3 – 3i$.

Ejemplo 4

Evalúa y simplifica las siguientes expresiones.

una. $(4 – 2i) – (3 + 5i) – (-6 – 9i)$
B. PS[(12i – 8) – (10 – 4i)] – [(-6i – 15) – (8 + 10i)]PS

Solución

Comencemos con la primera expresión y distribuyamos los signos negativos simultáneamente al segundo y tercer grupo de números complejos.

$begin{alineado} (4 – 2i) – (3 + 5i) – (-6 – 9i) &= 4- 2i -(3) – (5i) -(-6) – (-9i)\& = 4- 2i – 3 – 5i + 6 + 9i end{alineado}$

Ahora, agrupemos todos los números reales y los números imaginarios. Simplifica cada grupo para encontrar el valor final de la expresión.

$begin{alineado}4- 2i – 3 – 5i + 6 + 9i &= (4 – 3 +6) + (-2i – 5i + 9i)\&= (4 – 3 + 6) + (-2 – 5 + 9)i\&= 7 + 2i end{alineado}$

una. Esto significa que $(4 – 2i) – (3 + 5i) – (-6 – 9i)$ es igual a $7 + 2i$.

Trabajamos con cuatro números complejos agrupados en dos subgrupos. Lo que podemos hacer es encontrar la diferencia entre los dos números complejos en cada paréntesis.

Algunos recordatorios para recordar:

  1. Asegúrate de que el número complejo tenga la forma $a + bi$.
  2. Distribuya los signos negativos con cuidado para evitar errores en el primer paso.
  3. Simplifica combinando números reales e imaginarios similares.
$boldsymbol{[(12i – 8) – (10 – 4i)]PS $boldsymbol{[(-6i – 15) – (8  + 10i)]PS
$begin{alineado}(12i – 8) – (10 – 4i) &= (-8 + 12i) – (10 – 4i)\&= -8 + 12i – 10 + 4i\&= (-8 – 10) + (12 + 4)i\&= -18 + 16iend{alineado}$ $begin{alineado}(-6i – 15) – (8 + 10i) &= (-15 – 6i) – (8 + 10i)\&= -15 – 6i – 8 – 10i\&= (- 15 – 8) + (-6 -10)i\&= -23 -16i end{alineado}$

Reemplacemos esas diferencias en los paréntesis correspondientes y evalúemos la nueva expresión nuevamente.

$begin{alineado} (-18 + 16i) – (-23 – 16i) &= -18 + 16i + 23 + 16i\&= (-18 + 23) + (16 + 16)i \&= 5 + 32i end{alineado}$

Por lo tanto, hemos demostrado que la expresión compleja original ahora se ha simplificado a $5 + 32i$.

Ejemplo 5

Evalúa y simplifica $[(4 + sqrt{-36}) – (-3 – sqrt{-49})] – [(-6 – sqrt{-16}) – (12 – sqrt{-81})]PS

Solución

Podemos ver cuatro raíces cuadradas que contienen valores negativos adentro, así que primero reescribamos estos términos en términos de $i$.

  • $sqrt{-36} = sqrt{36} cdot sqrt{-1} = 6i$
  • $sqrt{-49} = sqrt{49} cdot sqrt{-1} = 7i$
  • $sqrt{-16} = sqrt{16} cdot sqrt{-1} = 4i$
  • $sqrt{-81} = sqrt{81} cdot sqrt{-1} = 9i$

Por lo tanto, tenemos $[(4 + 6i) – (-3 – 7i)] – [(-6 – 4i) – (12 – 9i)]PS Avancemos y simplifiquemos primero las expresiones dentro de cada par de corchetes.

$begin{alineado}[(4 + 6i) – (-3 – 7i)] – [(-6 – 4i) – (12 – 9i)]&= [4 + 6i -(-3) -(-7i)] – [-6 – 4i -(12) -(-9i)]\&= (4 + 6i + 3 + 7i) – (-6 – 4i – 12 + 9i)\&= (7 + 13i) – (-18 + 5i) end{alineado}$

Simplifiquemos aún más la expresión encontrando la diferencia de los dos números complejos restantes.

$begin{alineado}(7 + 13i) – (-18 + 5i) &= (7 – -18) + (13 – 5)i\&= 25 + 8iend{alineado}$

Por lo tanto, tenemos $[(4 + sqrt{-36}) – (-3 – sqrt{-49})] – [(-6 – sqrt{-16}) – (12 – sqrt{-81})] = 25+ 8i$.

Ejemplo 6

Demuestre que la propiedad conmutativa no se aplica a la resta de números complejos.
Solución

Sean $a + bi$ y $m + ni$ los dos números complejos que queremos restar. Para probar que la resta de dos números complejos no es conmutativa, queremos demostrar que $(a + bi) – (m + ni) neq (m + ni) – (a + bi)$.

Podemos evaluar la diferencia entre las dos expresiones presentadas a la izquierda ya la derecha. Podemos aplicar los siguientes pasos para asegurarnos de obtener las expresiones correctas:

  1. Distribuye correctamente los signos negativos.
  2. Combina las partes real e imaginaria de los números.
  3. Simplifica las expresiones para encontrar la diferencia de los dos.
$boldsymbol{(a + bi) – (m + ni)}$ $boldsymbol{(m + ni) – (a + bi)}$
$begin{alineado} (a + bi) – (m + ni) &= a + bi -m – ni\&= (a – m) + (bi – ni)\&= (a – m) + (b -n)iend{alineado}$ $begin{alineado} (m + ni) – (a + bi) &= m + ni – a- bi\&= (m – a) + (ni – bi)\&= (m – a) + (n -b)iend{alineado}$

Dado que la resta de números reales no es conmutativa, $a – m neq m – a$ y $b – n neq n – b$.

Entonces $(a – m) + (b -n)i neq (m – a) + (n -b)i$ y por lo tanto confirma que la resta de números complejos tampoco es conmutativa.

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