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Tamiz de Eratóstenes – Algoritmo de números primos

Tamiz de Eratóstenes – Algoritmo de números primos

La criba de Eratóstenes es una técnica formulada por un brillante matemático griego, Eratóstenes, cuyos esfuerzos contribuyeron en gran medida a la identificación de los números primos.

Hizo una gran contribución a las matemáticas, y el descubrimiento de la criba fue lo mejor que había hecho en este campo. Es un patrón o algoritmo que funciona eliminando números que no encajan en un escenario.

¿Qué es el Tamiz de Eratóstenes?

La criba de Eratóstenes es un algoritmo matemático para encontrar números primos entre dos conjuntos de números.

Los patrones de tamiz de Eratóstenes funcionan tamizando o eliminando números dados que no cumplen con un criterio determinado. En este caso, el modelo elimina múltiplos de números primos conocidos.

Algoritmo de números primos

Un número primo es un número entero positivo o un número entero mayor que 1, que solo es divisible por 1 y por sí mismo. El algoritmo de números primos es un programa que se utiliza para encontrar números primos tamizando o eliminando números compuestos. El algoritmo facilita el trabajo al eliminar complejas divisiones o multiplicaciones en bucle.

Estos son los pasos que se usan para encontrar números primos iguales o menores que un número entero η.

  • Haz una lista de todos los números consecutivos del 2 al η, es decir (2, 3, 4, 5, ……, η).
  • Asignar la primera letra del número primo pags.
  • Empezando con pags2hacer un incremento de pags y marcar enteros iguales o mayores que pags2 en el algoritmo. Estos números enteros serán pags(pags +1), pags(pag + 2), pags(pags +3), pags(pags + 4)…
  • El primer número sin marcar mayor que pags se identifica en la lista. Si el número no existe en la lista, el procedimiento se interrumpe. pags es igual al número y se repite el paso 3.
  • El tamiz de Eratóstenes se detiene cuando el cuadrado del número probado excede el último número de la lista.
  • Todos los números en la lista sin marcar al final del algoritmo se llaman números primos.

Ejemplo 1

Escribe todos los números primos menores o iguales a 30.

Solución

  • Paso 1: El primer paso es hacer una lista de todos los números.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30.

  • Paso 2: escribir audaz todos los múltiplos de 2, excepto el propio 2.

2, 3, 45, 6 siete , 89, diez,11, 1213, 1415, dieciséis17 años, 1819 años, 2021, 2223, 2425, 2627, 2829, y 30.

  • Paso 3: El siguiente número sin sombrear es 3. Escribe su cuadrado (32 = 9) en negrita.

2, 3, 45, 6 siete , 8, 9, diez,11, 1213, 14, 15, dieciséis17 años, 1819 años, 20, 21, 2223, 2425, 26, 27, 2829, y 30.

  • Paso 4: Ahora el tercer número sin sombrear es 5. Escribe su cuadrado 52=25 en negrita.

2, 3, 45, 6 siete , 8, 9, diez,11, 1213, 14, 15, dieciséis17 años, 1819 años, 20, 21, 2223, 24, 25, 26, 27, 2829, y 30.

  • Paso 5: El cuarto número sin sombrear es 7 y mayor que la raíz cuadrada de 30.
    Por lo tanto, ya no quedan múltiplos de 7 ya que fueron eliminados por 2 y 3 como 14, 28 y 21 respectivamente. Los números restantes 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 son primos.

Ejemplo 2

Encuentra números primos entre 1 y 100 usando el algoritmo de Eratóstenes.

Solución

  1. Paso 1: Los números entre 1 y 100 se enumeran en la siguiente tabla.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 2: El siguiente paso es escribir audaz todos los múltiplos de 2, excepto el propio 2.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 3: Ahora audaz todos los múltiplos de 3, 5 y 7 y dejar sólo esos números.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 4: Dado que los múltiplos de 11, 13, 17 y 19 no están presentes en la lista, el 1 finalmente se sombrea porque no es primo.
1 2 3 4 5 6 siete 8 9 diez
11 12 13 14 15 dieciséis 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 sesenta y cinco 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • Paso 5: Los números sin sombrear son primos. Incluyen:

2, 3, 5.7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

febrero 12, 2022 por Blog División Multiplicación Resta

números pares e impares

números pares e impares

¿Qué son los números pares e impares?

Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.

Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de números pares:

-22, -10, 0, 6, 18, 234.

Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.

Estos son algunos ejemplos de números impares:

-101, -17, 1, 9, 23, 985.

Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.

Propiedades

Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.

  • Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10

    6 – 4 = 2

  • Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11

    7 – 4 = 3

  • Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10

    7 – 3 = 4

  • Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    6 × 4 = 24
  • Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    7 × 4 = 28
  • Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo,
    7 × 3 = 21

Generalización de números pares e impares

También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:

73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7

73, 75, 77, 79, 81

tabla de numeros

La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.

Odd and Even numbers Chart

febrero 12, 2022 por Blog División Ejemplos Fracciones Impares Multiplicación Operaciones Pares Resta Suma

Propiedad conmutativa

Propiedad conmutativa

La palabra ‘conmutativo‘está tomado de la palabra francesa’viajar diariamente,‘ que significa moverse. Para que los números o las variables tengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.y siglo.

el la propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias y funciones Si ambos elementos siguen la propiedad conmutativa bajo una operación, se dice que están conmutados bajo esa operación en particular.

¿Qué es la propiedad conmutativa?

Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado de una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división no son conmutativas.

Propiedad conmutativa de la suma

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b y el resultado es igual a algún número pagsentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a pags es decir

un + segundo = segundo + un = pag

Los números a y b se llaman sumandos.

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un + segundo + c + re = re + c + segundo + un

Ejemplo 1

Demostrar que los siguientes números cumplen la propiedad conmutativa de la suma:

2, 4, 6 y 9

2 + 4 + 6 + 9 = 21

9 + 6 + 4 + 2 = 21

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2

El ejemplo concreto es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre la cantidad de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar la cantidad de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.

Los otros ejemplos reales usan un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines son ejemplos de la propiedad conmutativa.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b y el resultado es igual a algún número qentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a q es decir

un × segundo = segundo × un = q

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un × segundo × c × re = re × c × segundo × un

Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.

Ejemplo 2

Demuestre que los siguientes números obedecen la propiedad conmutativa de la multiplicación:

2, 4, 6 y 9

2×4×6×9 = 432

9 × 6 × 4 × 2 = 432

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2×4×6×9 = 9×6×4×2

¿Por qué la resta y la división no son conmutativas?

Para entender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, sigue los ejemplos a continuación.

Ejemplo 3

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

un – segundo = segundo – un

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

un – segundo = segundo – un

  • Paso 2: Toma el lado izquierdo y trata de probar que es igual al lado derecho.

una B

–1 (– a + b) = – (– a + b)

  • Paso 4: Invertir los sumandos.

– (b – a)

  • Paso 5: Vea si obtiene el resultado deseado.

a – b = – (b – a)

  • Paso 6: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

a – b = – (b – a)

De donde,

un – segundo ≠ segundo – un

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

Ejemplo 4

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 2: Tome el lado izquierdo.

2a ÷ un

2a ÷ uno = 2

  • Paso 4: Resuelve el lado derecho ahora.

uno ÷ 2a = 1/2

  • Paso 5: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

2a ÷ uno = 2

uno ÷ 2a = 1/2

De donde,

2a ÷ un ≠ un ÷ 2a

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

febrero 11, 2022 por Blog División Ejemplos Multiplicación Operaciones Resta Suma

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.

La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.

Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir

(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo

De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,

(a – B) × contra = corriente alterna – antes de Cristo

Propiedad distributiva con variables

Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.

Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

  • Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
  • Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
  • Resuelve la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con exponentes

La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.

Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:

  • Expande la ecuación dada.
  • Encuentra todos los productos.
  • Sumar o restar términos similares.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con fracciones

Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.

Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:

  • Identifica las fracciones.
  • Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
  • Encuentre los productos.
  • Aislar términos con variables y términos con constantes.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Ejemplos

Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

9 (X – 5) = 81

Solución

  • Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.

9 (X) – 9 (5) = 81

9x – 45 = 81

  • Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.

9X – 45 + 45 = 81 + 45

9X = 126

  • Paso 3: Resuelve la ecuación.

9X = 126

X = 126/9

X = 14

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

(sieteX + 4)2

Solución

  • Paso 1: Expande la ecuación.

(sieteX + 4)2 = (7X + 4) (7X + 4)

  • Paso 2: Encuentra todos los productos.

(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X2 + 28X + 28X + 16

  • Paso 3: Agregue términos similares.

49X2 + 56X + 16

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

X – 5 = X/5 + 1/10

Solución

  • Paso 1: Identifica las fracciones.

Hay dos fracciones en el lado derecho.

  • Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.

Multiplica con MCM en ambos lados.

diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)

diezX – 50 = 2X + 1

  • Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.

diezX – 2X = 1 + 50

8X = 51

X = 51/8

Ejemplo 4

Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?

Solución

Hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.

$12 + $20 = $32

  • Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.

$32 × 2

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$32 × 2 = $64

Método 2:

  • Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.

$12 × 2 = $24

  • Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.

$20 × 2 = $40

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$24 + $40 = $64

Ejemplo 5

Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?

Solución

Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.

Diez centavos:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Níquel:

3 × 5¢ = 15¢

Centavos:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

  • Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.

Diez centavos:

3 × 20¢ = 60¢

Níquel:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Centavos:

3 × 10¢ = 30¢

  • Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.

60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Método 2:

  • Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

  • Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.

2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢

  • Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.

45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢

  • Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Ejemplo 6

El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Solución

  • Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.

La longitud está representada por X.

Entonces ancho = X + 3

  • Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.

área = largo × ancho

X(X + 3) = 18

  • Paso 3: Usa la propiedad distributiva.

X2 + 3X = 18

  • Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.

X2 + 3X – 18 = 0

  • Paso 5: factoriza y resuelve.

X2 + 6X – 3X – 18 = 0

X(X + 6) – 3(X + 6) = 0

(X – 3)(X + 6) = 0

x = 3, −6

  • Paso 6: Indique la respuesta.

La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6

febrero 11, 2022 por Blog Ejemplos Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

Orden de operaciones – PEDMAS

Orden de operaciones – PEDMAS

El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.

Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.

Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?

Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?

Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:

5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30

Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:

5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11

Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.

PEMDAS

PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:

  • P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
  • E es para exponente incluyendo raíces.
  • M es para multiplicación.
  • D es para División.
  • A es para la adición.
  • S es para Resta.

Reglas PEMDAS

  • Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
  • Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
  • Multiplica y divide de izquierda a derecha
  • Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.

Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.

  • “PAGSalquiler miexcusa METROallí Descuchar Aunt S”
  • “Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
  • “Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.

Ejemplo 1

Resolver

30 ÷ 5×2+1

Solución

Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.

30 ÷ 5 = 6

6×2=12

12 + 1 = 13

NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.

Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:

5 × 2 = 10

30 ÷ 10 = 3

3 + 1 = 4

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente expresión: 5 + (4 – 2 ) 2 x3 ÷ 6 – 1

Solución

  • Comience con los paréntesis;

(4 – 2) = 2

  • Proceda con la operación exponencial.

2 2 = 4

  • Ahora nos quedamos con; 5 + 4×3 ÷ 6 – 1 = ?
  • Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.

4×3=12

5 + 12 ÷ 6 – 1

Comenzando desde la derecha;

12 ÷ 6 = 2

5 + 2 – 1 = ?

5 + 2 = 7

7 – 1 = ?

7 – 1 = 6

Ejemplo 3

simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2

Solución

Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;

  • Comience la operación acercándose al paréntesis.
  • Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;

11 + 1 = 12

  • Realiza la resta; 12 – 4 = 8
  • Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
  • Ejecutar exponentes como; 32 = 9

9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?

  • Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;

48÷8=6

6×2=12

Ejemplo 4

Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

Solución

Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación

10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

= (10÷2) + (12÷2 × 3)

= 23

Ejemplo 5

Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]

Solución

Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.

= 20 – [3 x 6]

Calcula los paréntesis restantes.
= 20 – 18

Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.

Ejemplo 6

Práctica (6 – 3) 2 – 2×4

Solución

  • Comienza abriendo los paréntesis

= (3)2 – 2×4

= 9 – 2×4

  • ahora haz la multiplicacion

= 9 – 8

  • Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.

Ejemplo 7

Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)

Solución

  • Calcula dentro de los paréntesis.
    = 2 2– 3×4
  • Calcula el exponente.
    = 4 – 3×4
  • Haz la multiplicación.
    = 4 – 12
  • Completa la operación por resta.
    = -8

Ejemplo 8

Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.

Solución

  • Practica entre paréntesis

= 9 – 5 ÷ 5×2+6

= 9 – 1×2 + 6

  • Realiza la multiplicación

= 9 – 2 + 3

  • Suma y luego resta

= 7 + 6 = 13

Conclusión

En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.

Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.

El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.

febrero 11, 2022 por Agrupación Aritmetica Blog División Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

febrero 11, 2022 por Aritmetica Blog Decimales División Ejemplos Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Aprender más sobre las diferencias comunes puede ayudarnos a comprender y observar mejor los patrones. Cuando trabajamos con sucesiones y series aritméticas, será inevitable que no discutamos la diferencia común.

La diferencia común refleja cómo difiere cada par de dos términos consecutivos de una serie aritmética.

En este artículo, entenderemos el importante papel que juega la diferencia común de una secuencia dada. Descubriremos ejemplos y consejos sobre cómo detectar diferencias comunes en una secuencia determinada.

También exploraremos diferentes tipos de problemas que destacan el uso de diferencias comunes en secuencias y series. Es por esto que repasando lo que hemos aprendido sobre sucesiones aritméticas es esencial.

Por ahora, comencemos por entender cómo las diferencias comunes afectan los términos de una sucesión aritmética.

¿Cuál es la diferencia común?

La diferencia común es un elemento esencial en la identificación de sucesiones aritméticas. Son la diferencia constante compartida compartida entre dos términos consecutivos.

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

common difference examples

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

  • Para la primera secuencia, cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $4$.
  • La segunda secuencia muestra que cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $d$.

En general, cuando se da una sucesión aritmética, esperamos que la diferencia entre dos términos consecutivos permanezca constante a lo largo de la sucesión.

Definición de diferencia común

Digamos que tenemos una secuencia aritmética, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$, esta secuencia solo será una secuencia aritmética si y solo si cada par de términos consecutivos compartirá el la misma diferencia.

Llamamos a esto la diferencia común y normalmente se etiqueta como $d$. Esto quiere decir que si ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$ es una secuencia aritmética, tenemos esto:

begin{alineado} a_2 – a_1 &= d\ a_3 – a_2 &= d\.\.\.\a_n – a_{n-1} &=d end{alineado}

Podemos usar la definición que discutimos en esta sección para encontrar la diferencia común compartida por los términos de una secuencia aritmética dada.

¿Cómo encontrar la diferencia común?

Cuando damos algunos términos consecutivos de una sucesión aritmética, encontramos el común diferencia compartida entre cada par de términos consecutivos.

Digamos que tenemos ${8, 13, 18, 23, …, 93, 98}$. Podemos encontrar la diferencia común restando términos consecutivos. También podemos confirmar que la sucesión es una sucesión aritmética si podemos demostrar que hay una diferencia común.

begin{alineado} 13 – 8 &= 5\ 18 – 13 &= 5\23 – 18 &= 5\.\.\.\98 – 93 &= 5end{alineado}

Esto muestra que la sucesión tiene una diferencia común de $5$ y confirma que es una sucesión aritmética.

También podemos encontrar el quinto término de la sucesión sumando $23$ a $5, por lo que el quinto término de la sucesión es $23 + 5 = $28.

¿Qué pasa si recibimos información limitada y necesitamos la diferencia común de una secuencia aritmética?

Fórmula de diferencia común

Es posible que no siempre tengamos múltiples términos de la secuencia que observamos. Sin embargo, todavía podemos encontrar la diferencia común de los términos de una secuencia aritmética utilizando los diferentes enfoques que se indican a continuación.

Aquí hay algunas fórmulas útiles para tener en cuenta y compartiremos algunos consejos útiles sobre cuándo es mejor usar una fórmula en particular.

$d = a_{k + 1}– a_k$

Esta fórmula para la diferencia común es más útil cuando tenemos dos términos consecutivos, $a_{k + 1}$ y $a_k$. Esto también muestra que, dados $a_k$ y $d$, podemos encontrar el siguiente término usando $a_{k + 1} = a_k + d$.

$d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1} $

Esta fórmula para la diferencia común se aplica mejor cuando solo conocemos el primer y el último término, $a_1 y a_n$, de la sucesión aritmética y el número total de términos, $n$.

Aprenderemos cómo aplicar estas fórmulas en los problemas que siguen, así que asegúrese de revisar sus notas antes de sumergirse directamente en los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones aritméticas.

una. ${4, 11, 18, 25, 32, …}$
B. ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$
contra $izquierda{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9}{2}, … derecho}$
D. $izquierda{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…derecha}$

Solución

Cada sucesión aritmética contiene una serie de términos, por lo que podemos usarlos para encontrar la diferencia común restando cada par de términos consecutivos.

Comencemos con ${4, 11, 18, 25, 32, …}$:

begin{alineado} 11 – 4 &= 7\ 18 – 11 &= 7\25 – 18 &= 7\32 – 25&= 7\.\.\.\d&= 7end {alineado}

Esto significa que el la diferencia común es igual a $7.

Pasando a ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$, tenemos:

begin{alineado} -24 – (-20) &= -4\ -28 – (-24) &= -4\-32 – (-28) &= -4\-36 – (-32 ) &= -4\.\.\.\d&= -4end{alineado}

Por lo tanto, la segunda secuencia la diferencia común es igual a $-4$.

Vamos y comprobamos $left{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9 } {2}, … derecha}$:

begin{alineado} dfrac{3}{2} – dfrac{1}{2} &= 1\ dfrac{5}{2} – dfrac{3}{2} &= 1\ dfrac{7}{2} – dfrac{5}{2} &= 1\ dfrac{9}{2} – dfrac{7}{2} &= 1\.\.\. \d&= 1end{alineado}

Esto significa que la tercera secuencia tiene un la diferencia común es igual a $1$.

Travailler sur la dernière suite arithmétique,$left{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…right}$ ,se tiene:

begin{alineado} -dfrac{1}{2} – left(-dfrac{3}{4}right) &= dfrac{1}{4}\ -dfrac{1}{4 } – left(-dfrac{1}{2}right) &= dfrac{1}{4}\ 0 – left(-dfrac{1}{4}right) &= dfrac {1}{4}\.\.\.\d&= dfrac{1}{4}end{alineado}

Por lo tanto, la cuarta sucesión aritmética tendrá un diferencia común de $dfrac{1}{4}$.

Ejemplo 2

¿Cuál de los siguientes términos no puede ser parte de una sucesión aritmética?
una. $11, 14, 17$
B. $-36, -39, -42$
c.$-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$
D. $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$

Solución

Como mencionamos, la diferencia común es un identificador esencial de las sucesiones aritméticas. Si la secuencia de términos comparte una diferencia común, pueden ser parte de una secuencia aritmética.

De $11, $14, $17 tenemos $14 – 11 = $3 y $17 – 14 = $3. Esto demuestra que las tres secuencias de términos comparten una diferencia común al ser parte de una secuencia aritmética.

Pasando a $-36, -39, -$42, tenemos $-39 – (-36) = -$3 y $-42 – (-39) = -$3. Esto significa que también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

En cuanto a $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}$, tenemos $dfrac{1}{2} – left(-dfrac {1}{2}right) = 1$ y $dfrac{5}{2} – dfrac{1}{2} = 2$. Como sus diferencias son diferentes, no pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Para el cuarto grupo, $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$, podemos ver que $-2 dfrac{1} {4} – left(- 4 dfrac{1}{4}right) = 2$ y $- dfrac{1}{4} – left(- 2 dfrac{1}{4}right ) = $2. Esto significa que los tres términos también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Entonces $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$ nunca puede ser parte de una sucesión aritmética.

Ejemplo 3

El primer y último término de una sucesión aritmética son respectivamente $9$ y $14$. Si la sucesión contiene términos $100$, ¿cuál es el segundo término de la sucesión?

Solución

Cuando se nos da el primer y último término de una secuencia aritmética, podemos usar la fórmula, $d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1}$, donde $a_1$ y $a_n$ son el primer y último término de la secuencia También tenemos $n = 100$, así que avancemos y encontremos la diferencia común, $d$.

begin{alineado}d &= dfrac{a_n – a_1}{n – 1}\&=dfrac{14 – 5}{100 – 1}\&= dfrac{9}{99}\ &= dfrac{1}{11}end{alineado}

El primer y segundo término también deben compartir una diferencia común de $dfrac{1}{11}$, por lo que el segundo término es igual a $9 dfrac{1}{11}$ o $dfrac{100}{11 } PS

Ejemplo 4

Considere la secuencia aritmética, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, ¿qué podría ser $a$?

Solución

Para que la sucesión, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, sea una sucesión aritmética, deben compartir una diferencia común.

La diferencia común entre los términos tercero y cuarto se da a continuación.

begin{alineado}8a + 12 – (8a – 4)&= 8a + 12 – 8a – (-4)\&=0a + 16\&= 16end{alineado}

En términos de $a$, también tenemos la diferencia común del primer y segundo término que se dan a continuación.

begin{alineado}a^2 – 4 – (4a +1) &= a^2 – 4 – 4a – 1\&=a^2 – 4a – 5end{alineado}

Como todos estos términos pertenecen a una sucesión aritmética, las dos expresiones deben ser iguales. Ponga los dos juntos y resuelva para $a$.

begin{alineado}a^2 – 4a – 5 &= 16\a^2 – 4a – 21 &=0 \(a – 7)(a + 3)&=0\\a&=7 a&=-3end{alineado}

Esto significa que $a$ puede ser $-3$ o $7$.

enero 24, 2022 por Aritmetica Blog Resta

Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Los números complejos, como los números reales, también tienen raíces. Aprendimos a resolver ecuaciones en el pasado, pero ignoramos las raíces complejas. Esta vez centraremos nuestra atención en encontrar todas las raíces, tanto reales como complejas.

Podemos encontrar fácilmente las raíces de los números complejos tomando la raíz del módulo y dividiendo el argumento de los números complejos por la raíz dada.

Esto significa que podemos encontrar fácilmente las raíces de diferentes números complejos y ecuaciones con raíces complejas cuando los números complejos están en forma polar.

Asegúrate de revisar los siguientes conceptos antes de pasar directamente a encontrar las raíces de diferentes números complejos:

  1. Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  2. Comprender cómo funciona el teorema de De Moivre y cómo se aplica para encontrar las raíces de un número complejo.

Consulte también los enlaces que hemos proporcionado en caso de que necesitemos refrescar nuestra memoria. Por ahora, ¿por qué no seguir adelante y sumergirse directamente en los fundamentos de los números complejos y sus raíces?

¿Cuál es la raíz de los números complejos?

Dado un número complejo $z = a + bi$ o $z = r(cos theta + isin theta)$, las raíces de los números complejos son iguales al resultado de elevar $z$ a la potencia $ dfrac{1}{n}$.

Las raíces de los números complejos son el resultado de encontrar $z^{frac{1}{n}}$ o $z^n$. Tenga en cuenta que al encontrar la raíz $n$ésima de $z$, también esperamos raíces $n$.

Esto significa que la raíz cúbica de $8$, somos tres raíces incluyendo las raíces reales y complejas. De hecho, estas tres raíces son: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Aprenderá cómo encontrar estas raíces complejas en las siguientes secciones, entonces, ¿por qué no continúa y se lanza directamente?

¿Cómo encontrar las raíces de los números complejos?

Usando el teorema de De Moivre, hemos mostrado cómo encontrar las raíces de números complejos en forma polar. Digamos que tenemos $z =r(cos theta + i sin theta)$, podemos encontrar $sqrt[n] z$ utilizando la siguiente fórmula.

$boldsymbol{theta}$ en grados $boldsymbol{theta}$ en radianes
$sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n}right)$ $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$

Dado que buscamos un total de $n$ raíces para $sqrt[n]{z}$, $k$ debe ser igual a ${0, 1, 2, 3, …, n – 1}$.

También podemos encontrar las raíces de números complejos trazando gráficamente las raíces en un plano complejo y trazando cada raíz $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ}}{n} $ aparte.

No te preocupes. Desglosaremos los pasos importantes en la siguiente sección para asegurarnos de que sabemos cómo encontrar las raíces de números complejos de forma algebraica y geométrica.

Encontrar las raíces de números complejos

Como mencionamos, podemos encontrar las raíces usando la fórmula derivada del teorema de De Moivre, o podemos encontrar las raíces graficándolas en un plano complejo.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

Aquí hay algunos pasos útiles para recordar al encontrar las raíces de números complejos.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Encuentra la raíz $n$ésima de $r$ o eleva $r$ a la potencia $dfrac{1}{n}$.
  3. Si necesitamos encontrar la raíz $n$ésima, usaremos $k = {0, 1, 2… n-1}$ en la fórmula que proporcionamos anteriormente.
  4. Comience por encontrar el argumento de la primera raíz dividiendo $theta$ por $n$.
  5. Repite el mismo proceso, pero esta vez trabaja con $theta + 2pi k$ o $theta + 360^{circ}k$ hasta que tengamos $n$ raíces.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

También es posible encontrar las raíces de números complejos trazando estas raíces en un plano complejo.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Divide $2pi$ o $360^{circ}$ entre $n$.
  3. Dibuja la primera raíz en el plano complejo que une el origen con un segmento de $r$ unidades de largo.
  4. Dibuja la primera raíz compleja usando la fórmula de la raíz compleja, donde $k = 0$.
  5. Dibuja la siguiente raíz asegurándote de que esté $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ} }{n}$ fuera de las siguientes raíces.

¿Estás listo para aplicar lo que acabas de aprender? No te preocupes; Hemos preparado algunos problemas para probar y comprobar tu conocimiento de las raíces de los números complejos.

Ejemplo 1

Confirme que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Solución

Avancemos y confirmemos que $8$ tiene las siguientes raíces cúbicas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ siguiendo los pasos anteriores.

Dado que $8$ todavía está en su forma rectangular, $8 = 8 + 0i$, primero necesitaremos convertirlo a forma polar encontrando el módulo y el argumento de su forma polar como se muestra a continuación.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{8^2 + 0^2}\&= sqrt{64}\&=8end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{0}{8}\&= tan^{-1} 0\&= 0end{alineado}$

Esto significa que comenzamos con $n = 3$, $k= 0$ y $theta = 0$ para la fórmula, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$.

$ begin{alineado} sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} right )\&=2 (cos 0 + isen 0 )end{alineado}$

La raíz siempre está en forma polar, por lo que si queremos que la raíz tenga forma rectangular, podemos evaluar el resultado para convertirla en forma rectangular.

$ begin{alineado} 2 (cos 0 + isin 0 )&= 2(1 + 0i)\&= 2 end{alineado}$

Esto significa que la primera raíz de $8$ es $2$. Podemos aplicar el mismo proceso para las dos raíces restantes, pero aquí usamos $k = 1$ y $k = 2$.

$boldsymbol{sqrt[n]{z}}$ cuando $boldsymbol{k = 1, 2}$ $boldsymbol{a + bi}$
$ begin{alineado} k = 1\\sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} + dfrac{sqrt{3}}{2}iright)\&= -1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$ begin{alineado}k = 2\\ sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} – dfrac{sqrt{3}}{2}iderecho)\&= -1 – sqrt{3}i end{alineado}$

Acabamos de mostrar que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ en forma rectangular.

Ejemplo 2

Dibuja las cuartas raíces complejas de $-8 + 8sqrt{3}i$ en un plano complejo. También tenga en cuenta las raíces en forma rectangular.

Solución

Comencemos por encontrar el módulo y el argumento del número complejo, $-3 + 3sqrt{3}i$.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{(-8)^2 + (8sqrt{3})^2}\&= sqrt{36}\&=256end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{8sqrt{3}}{-8}\&= tan^{-1} -sqrt{3}\ &= 120^{circ}end{alineado}$

Entonces $-8 + 8sqrt{3}i = 16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$. Como estamos buscando raíces cúbicas, esperamos que las raíces estén separadas $dfrac{360^{circ}}{4} = 90^{circ}$.

Podemos usar la fórmula de la raíz compleja, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} (cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n})$, donde asignamos $n = 4$, $r = 6$, $theta = 120^{circ}$ y $k=0$.

$begin{alineado} sqrt[4]{16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})}&= sqrt[4]{16} left(cos dfrac{120^{circ} + 360^{circ} cdot 0}{4} + isin dfrac{120^{circ} + 360^{circ } cdot 0}{4} right )\&= 2 (cos 30^{circ} + isin 30^{circ}) end{alineado}$

Para encontrar las tres raíces restantes, graficamos tres raíces con el mismo módulo, $2$, y los argumentos están separados cada uno por $90^{circ}$.

Acabamos de graficar toda la raíz cuarta del número complejo. A partir de ahí, incluso podemos enumerar las cuatro raíces de $-8 + 8sqrt{3}i$.

  • $2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$
  • $2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$
  • $2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$
  • $2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$

Incluso podemos convertir las raíces en una forma rectangular, como se muestra, evaluando los valores del coseno y el seno y luego distribuyendo $2$ cada vez.

Forma polar Forma rectangular
$2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ}) &= 2left(dfrac{sqrt{3}}{2}+ dfrac{1 {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}+ 2cdot dfrac{1}{2}i \&=sqrt{3} + Yo end{alineado}$
$2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ}) &= 2left(-dfrac{1}{2}+ dfrac{sqrt{3 }}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{1}{2}+ 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=-1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ}) &= 2left(-dfrac{sqrt{3}}{2}- dfrac{ 1}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{sqrt{3}}{2}- 2cdot dfrac{1}{2} i \&=-sqrt{ 3} – Yo end{alineado}$
$2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ}) &= 2left(dfrac{1}{2}- dfrac{sqrt{3} {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{1}{2}- 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=1 – sqrt{3 }i end{alineado}$

Por lo tanto, acabamos de mostrar que podemos encontrar las raíces restantes geométricamente e incluso convertir el resultado a forma rectangular.

enero 22, 2022 por Blog Resta Unidades

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

Matemáticas Conjugadas – Explicación y Ejemplos

¿Alguna vez has visto dos pares de expresiones que difieren solo en el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.

Dos binomios se conjugan cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más básico: entender qué representan los conjugados.

¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a – bi. Observe cómo los términos son los mismos? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada par. Esto es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición matemática conjugada

Conjugados en Matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. Aquí hay algunos ejemplos más de pares conjugados:

  • x – y y x + y
  • 2√2 – 1 y 2√2 + 1
  • 3 – 2i y 3 + 2i

Según la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno difiere solo en el signo del medio.

¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero se cambia el signo del medio (de + a – o de – a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:

Dado el binomio condiciones Cambio de signo Conjugado
2x–y 2x, y – + 2x + y
√3+1 √3.1 + – √3 – 1
a2b-ab2 a2segundo, un segundo2 – + a2b+ab2
5 + 2i 5.2i + – √3 – 1

¿Cómo multiplicar por el conjugado?

¿Qué pasa si multiplicamos un binomio por conjugados? Hay dos casos posibles, y en cada caso aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicación de un binomio por su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m – n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso de esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m – n)(m + n) = metro2 – no2

Esto significa que cuando se multiplica un binomio y su conjugado, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puedes probar:

Binomio Conjugado Producto
2x – 1 2x + 1 4x2 – 1
3ab+c 3ab-c 9a2B2 -vs2
√3 – 4 √3+4 3 – 16 = -13

Caso 2: multiplicar el conjugado de un binomio por una expresión diferente

En algunos casos (como la racionalización de expresiones de raíz), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al tratar con estos problemas, asegúrese de revisar su conocimiento de:

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 – 1. Primero necesitamos encontrar el conjugado de √2 – 1. Tenemos √2 + 1. Dado que √3 + 1 y √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones de raíz usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión regular, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga ningún término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probar un ejemplo y ver qué sucede con la expresión?

(√2 – 1) / (√2 + 1)

Si queremos simplificar la expresión anterior, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

(√2 – 1) / (√2 + 1) (√2 – 1) / (√2 -1)

= [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 – 1).

= [(√2)2 – 2(√2)(1) + (1)2]/[ (√2)2 – (1)2]

= [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]

= 3 – 2√2

La expresión resultante no tiene más expresiones radicales en su denominador para confirme que ha sido racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

Ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy-y

B. min2 +m2no

contra a B C D

Solución

Volvamos a la definición fundamental de los conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy – y, su conjugado siempre tendrá los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por lo tanto, su conjugado es 2xy+y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación inversa, por lo que el conjugado de mn2 +m2n es min2 -metro2no.

contra Finalmente, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab – cd es b+cd.

Ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se suma la expresión lineal y su conjugado.
B. se resta el conjugado de la expresión lineal.

Solución

Avancemos y primero encontremos el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de ax + b es ax – b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax – b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el la suma de una expresión lineal y su conjugada es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Se tiene:

(ax + b) – (ax – b) = hacha + b – hacha + b

= 2b

La diferencia es el doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

Ejemplo 3

Usa tu conocimiento de las conjugaciones para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 – 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplicas (1000 – 1) por su conjugado?
contra Usando lo que has observado, describe cómo puedes encontrar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación inversa, el conjugado de (1000 – 1) es (1000 + 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio por su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Entonces tenemos (1000)2 – 12 = 999 999.

contra Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 – 1. Usando los dos binomios, el el producto de 81 y 79 es 802 – 12 = 6399.

Ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 – 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, la conjugado de 6 – 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 – 3√3) (6 + 3√3)/ (6 +3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 – 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados al denominador.

= [(-1)(6) + (-1) (3√3) + (√3)(6) + (√3)(3√3)]/ [(6)2 – (3√3)2]

= [-6 – 3√3 + 6√3 + 9]/ [36 – 27]

= (3√3 + 3)/ 9

= 3(√3 +1)/ 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de simplificar la expresión dada y ahora tenemos 1/3 (√3+1).

enero 21, 2022 por Blog Multiplicación Operaciones Pares Preguntas Resta

Factorizar expresiones trigonométricas: explicación y ejemplos

Factorizar expresiones trigonométricas: explicación y ejemplos

Factorizar expresiones trigonométricas implica dividir los términos de una expresión trigonométrica por un término común. Esto se hace a menudo con el propósito de hacer más explícita una identidad trigonométrica.

Este proceso de factorización funciona de la misma forma que la factorización de polinomios.

Cuando se trabaja con identidades trigonométricas, la factorización es importante. Esto puede ayudar a simplificar expresiones complejas. Esto, a su vez, los hace más fáciles de diferenciar e integrar.

Dado que este artículo se centra en la factorización, repase leyendo sobre la factorización de polinomios.

Esta sección cubre:

  • Cómo factorizar expresiones trigonométricas
  • Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas
  • Factorización de consolidación

Cómo factorizar expresiones trigonométricas

Para factorizar expresiones trigonométricas, recuerde cómo factorizar polinomios.

Esto primero requiere encontrar el máximo factor común de todos los términos en una expresión. Luego factoriza el MCD dividiendo cada término por el MCD. Finalmente, coloque el MCD fuera del paréntesis.

Para un polinomio $ 4x ^ 3-6x ^ 2 + 2x $, el MCD es $ 2x $. Primero, divida cada término en esta expresión por $ 2x $ para obtener $ 2x ^ 2-3x + $ 1. Por lo tanto, la expresión factorizada es $ 2x (2x ^ 2-3x + 1) $.

Ahora, la factorización de expresiones trigonométricas funciona de la misma manera. En este caso, sin embargo, las funciones de trigonometría también se pueden factorizar.

A veces, cuando todos los términos de una expresión son funciones trigonométricas, una función trigonométrica se puede dividir por otra para crear una función diferente. Por ejemplo, $ frac {sinx} {cosx} = tanx $ y $ frac {sinx} {tanx} = cosx $.

Factorizar expresiones trigonométricas puede facilitar su resolución, diferenciación o integración. Esto también es cierto al factorizar polinomios. Sin embargo, otra ventaja de factorizar funciones trigonométricas es que puede revelar identidades trigonométricas. Entonces simplifica las funciones.

Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas

Como se señaló anteriormente, la factorización de expresiones trigonométricas puede revelar identidades trigonométricas.

Esto se debe a que la parte que se factoriza y / o la parte restante pueden ser parte de una identidad trigonométrica. Suelen ser un doble ángulo o una identidad pitagórica.

Por ejemplo, considere $ frac {sin ^ 4x} {cos ^ 2x} + sin ^ 2x $. Ahora, el MCD de esta expresión es $ sin ^ 2x $. Factorizando esto, obtenemos $ sin ^ 2x (tan ^ 2x + 1) $. Por la identidad pitagórica $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $. Por lo tanto, es $ sin ^ 2x (sec ^ 2x) = frac {sin ^ 2x} {cos ^ 2x} = tan ^ 2x $.

Factorización de consolidación

En algunos casos, más de un término en una expresión puede contener un factor común, pero no otras expresiones. Estos términos restantes tienen un factor común mayor diferente.

A veces, factorizar estos grupos por separado ayuda a simplificar el problema. Esto es especialmente cierto cuando los términos restantes (las partes entre paréntesis) de los dos grupos son iguales.

Por ejemplo, considere la expresión $ 2sinxcos ^ 3x + 3cos ^ 2x-2sin ^ 3xcosx-3sin ^ 2x $. Los dos primeros términos tienen un MCD de $ cos ^ 2x $ y los dos segundos tienen un MCD de $ -sin ^ 2x $. Luego factoriza esto como $ cos ^ 2x (2sinxcosx + 3) -sin ^ 2x (2sinxcosx + 3) $.

Ahora hay dos términos con un MCD de $ 2sinxcosx + $ 3. Teniendo esto en cuenta, obtenemos $ (2sinxcosx + 3) (cos ^ 2x-sin ^ 2x) $. Sin embargo, ambos paréntesis contienen identidades de trigonometría, por lo que es $ (sin (2x) +3) (cos (2x)) $.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas relacionados con la factorización de expresiones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Encuentra el MCD de $ tan ^ 2xsinx + cos ^ 2xsin ^ 2x + cot ^ 2xsin ^ 3x $.

Solución

El máximo factor común de esta expresión es en realidad $ sinx $. Se vuelve más claro después de usar identidades cocientes.

$ tan ^ 2x = frac {sin ^ 2x} {cos ^ 2x} $, y $ cot ^ 2x = frac {cos ^ 2x} {sin ^ 2x} $.

Por lo tanto, la expresión original es igual a $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + frac {cos ^ 2xsin ^ 3x} {sin ^ 2x} $. Simplificando esto hace $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + cos ^ 2xsinx $.

Por lo tanto, el MCD es $ sinx $, y factorizarlo da $ sinx (tan ^ 2x + cos ^ 2xsinx + cos ^ 2x).

Ejemplo 2

Factoriza el MCD de $ cot ^ 2xtanx + cotxsinx + cos ^ 2x $.

Solución

Como en el primer ejemplo, ayuda simplificar primero. Utilice identidades recíprocas y cocientes para hacer esto.

La expresión entonces se convierte en $ frac {cos ^ 2x} {sin ^ 2x} frac {sinx} {cosx} + frac {cosx} {sinx} sinx + cos ^ 2x $.

Para simplificar, es:

$ frac {cosx} {sinx} + cosx + cos ^ 2x $.

Aquí está más claro que el MCD es $ cosx $. Al factorizar esto, obtenemos:

$ cosx ( frac {1} {senx} + 1 + cosx) = cosx (cscx + 1 + cosx) $.

Ejemplo 3

Utilice la factorización y las identidades trigonométricas para simplificar $ tan ^ 2xcosx (1 + cot ^ 2x + 2sinxcosx) = $ tan ^ 2xcosx + tan ^ 2xcosxcot ^ 2x + 2sinxcos ^ 2xtan ^ 2x $.

Solución

Antes incluso de simplificar, hay algunos términos comunes obvios. Sería útil tenerlos en cuenta. Más precisamente, $ tan ^ 2xcosx $ es común a todos los términos de la expresión.

Al factorizar esto, obtenemos:

$ tan ^ 2xcosx (1 + encendido ^ 2x + 2sinxcosx) $.

Ahora, sin embargo, el interior del paréntesis incluye dos identidades. Esta expresión luego se convierte en:

$ tan ^ 2xcosx (sec ^ 2x + sin (2x)) $.

Tenga en cuenta que el término externo también se puede simplificar a $ frac {sin ^ 2x} {cosx} $.

Ejemplo 4

Factoriza la siguiente expresión para simplificar.

$ tan ^ 4x + 2tan ^ 2x + $ 1

Solución

Esta expresión se parece mucho a una cuadrática, por lo que tiene sentido factorizarla de la misma manera.

Esta expresión se convierte en dos binomios: $ (tan ^ 2x + 1) (tan ^ 2x + 1) = (tan ^ 2x + 1) $.

Pero, según la identidad pitagórica, $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $. Por lo tanto, la expresión completa es igual a $ sec ^ 4x $.

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $ 2 (1-cos ^ 2x) cot ^ 2x-2sin ^ 2xcot ^ 2x $.

Solución

El MCD de los dos términos es $ 2cot ^ 2x $. Al factorizar esto, obtenemos:

$ 2cot ^ 2x ((1-cos ^ 2x) -sin ^ 2x) $.

Pero, según la identidad pitagórica, $ 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x $. Por lo tanto, el término entre paréntesis es igual a $ 0 $ y la expresión completa es igual a cero.

Problemas de práctica

  1. Factoriza la expresión $ sin ^ 4x-cos ^ 4x $.
  2. ¿Cuál es el MCD de la expresión $ 10tanxcosxsinx + 6sin ^ 3xcos ^ 3c + 4cscxsin ^ 2x $?
  3. Factoriza la expresión $ 4secxcscx-2secx-2cscx + $ 1 por agrupación.
  4. Usa la identidad pitagórica y la factorización para simplificar la expresión $ cosx-sin ^ 2xcosx $.
  5. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación $ tan ^ 2x + 2tanx + 1 = $ 0. Luego usa la función arcotangente para encontrar todas las soluciones de la ecuación.

Clave de respuesta

  1. Es la diferencia de los cuadrados. Se factoriza como $ (sin ^ 2x-cos ^ 2x) (sin ^ 2x + cos ^ 2x) $ = $ sin ^ 2x-cos ^ 2x $ por la identidad pitagórica.
  2. El MCD de esta expresión es $ 2sin ^ 2x $.
  3. $ (2cscx-1) (2secx-1) $
  4. $ cos ^ 2x $
  5. $ (tanx + 1) (tanx + 1) = $ 0. Las soluciones son $ – frac { pi} {4} + n pi $ para cualquier número entero $ n $.

diciembre 10, 2021 por Agrupación Blog Resta

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Carlos Huertas

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