y” – y = cos hx
Este artículo tiene como objetivo resolver la ecuación diferencial. Hay dos métodos principales para resolver la ecuación diferencial, el solución general de la ecuación homogénea y el solución particular de una ecuación no homogénea.
Respuesta experta
Lo dado ecuación diferencial es
y” – y = cos hx
Encontremos una solución al problema relacionado. ecuación homogénea $y ^{”} -y = $0. los ecuación auxiliar es $ m ^{2} -1=0$ y sus soluciones son $ m _{1} = -1$ y $ m_ {2} = 1$. los solución complementaria es
[ y _{c} (x) = c_{ 1 } e ^ { -x } + c_{2} e ^ { x } ]
La función $y_{1} (x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2} (x) = c_{2} e^{x}$ forman un conjunto fundamental
[W( y_{1}, y_{2}) = begin{vmatrix}
y_{1} & y_{2} \
y’_{1}& y’_{2}
end{vmatrix}= begin{vmatrix}
e ^{-x} & e^{x} \
e^{-x} & e^{x}
end{vmatrix} = 1+1 = 2]
Supongamos que un solución particular tiene la forma $ y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2}$ donde $u_{1}$ y $u_{2}$ son los sSoluciones de sistemas de ecuaciones.
[y_{1}u’_{1}+ y_{2} u’_{2} = 0]
[y_{1}u’_{1} + y_{2} u’_{2} = f (x) ]
$f(x) = cos hx$ es la función de entrada, usando regla de Cramer Nosotros tenemos
[u’_{1} = – dfrac {y_{2} f(x) }{W}]
y
[u’_{2}= dfrac {y_{1} f(x) }{W}]
Donde está $W$ Wronskiano.
En consecuencia,
[u’_{1}(x) = -dfrac { e^{x} .cos hx }{2} = – dfrac {1}{4} e^{2x} – dfrac {1}{4} ]
[u’_{2}(x) = -dfrac { e^{-x} .cos hx }{2} = dfrac {1}{4} + dfrac {1}{4} e^{-2x}]
Después integrando las dos ecuaciones,
[u_{1}(x) = -dfrac {1}{8} e^{2x} -dfrac{1}{4}x ]
[u_{2}(x) = dfrac {1}{4} x -dfrac{1}{8} e^{-2x} ]
los solución particular es $y_{p} = u_{1} y_{1} + u_{2}y_{2} $.
resultado numérico
los solución particular de la ecuación diferencial $y_{p} = u_{1} y_{1} + u_{2}y_{2}$ donde
[u_{1}(x) = -dfrac {1}{8} e^{2x} -dfrac{1}{4}x ]
[u_{2}(x) = dfrac {1}{4} x -dfrac{1}{8} e^{-2x} ]
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial dada.
[y” – 6y’ +9y = dfrac {1}{x} ]
La solución
Lo dado ecuación diferencial es
[ y” – 6y’ +9y = dfrac {1}{x} ]
Busquemos una solución a la Ecuación característica $r^{2} – 6r+ 9 = $0. La solución a la ecuación es $r = 3$. los solución general es
[y = Ae^{3x} + Bx e^{3x}]
los solución fundamental y su derivada es
[y_{1} (x) = e^{3x} ]
[y’_{1} (x) = 3e^{3x} ]
[y_{2} (x) = xe^{3x} ]
[y’_{2} (x) = (3x+1) e^{3x} ]
los Wronskiano es
[W(y_{1}, y_{2}) = y_{1}y’_{2} − y_{2} y’_{1} = e^{6x}]
los solución general es dado por
[y_{p}(x) = -y_{1}(x) int dfrac{y_{2}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})}dx + y_{2}(x) int dfrac{y_{1}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})}dx]
Por resolver la integral $int dfrac{y_{2}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})}$
[= dfrac{1}{3} e^{-3x}]
Entonces,
[-y_{1}(x) int dfrac{y_{2}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})} = dfrac {1}{3} ]
Por resolver la integral $int dfrac{y_{1}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})}$
[= int e^{-3x} x^{-6} dx]
Entonces,
[ y_{2}(x) int dfrac{y_{1}(x) f(x)}{W(y_{1},y_{2})} = x e^{3x} int e^{-3x} x^{-6} dx]
Finalmente, el solución de la ecuación diferencial es
[y_{p}(x) = dfrac {1}{3} +x e^{3x} int e^{-3x} x^{-6} dx]
