(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}=1).
El objetivo principal de esta pregunta es escribir la función dada explícitamente en términos de $x$ y expresar $y’$ usando diferenciación explícita.
Una función algebraica en la que la variable de salida, digamos una variable dependiente, puede expresarse explícitamente en términos de la variable de entrada, digamos una variable independiente. Esta función generalmente tiene dos variables que son variables dependientes e independientes. Matemáticamente, sea $y$ la variable dependiente y $x$ la variable independiente, entonces decimos que $y=f(x)$ es una función explícita.
Tomar la derivada de una función explícita se llama diferenciación explícita. La derivada de una función explícita se calcula de la misma forma que la derivación de funciones algebraicas. La diferenciación de función explícita $y=f(x)$ se puede expresar como $dfrac{dy}{dx}=dfrac{df(x)}{dx}$ o $y’=f'(x) $. Además, se aplican reglas de diferenciación simples para encontrar la derivada de una función explícita.
Respuesta experta
La función dada es:
$dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}=1$
Primero, escribe $y$ en términos de $x$ de la siguiente manera:
$dfrac{1}{y}=1-dfrac{1}{x}$
$dfrac{1}{y}=dfrac{x-1}{x}$
Invertir ambos lados:
$y=dfrac{x}{x-1}$ (1)
Ahora diferencie (1) contra $x$ para obtener $y’$:
$dfrac{dy}{dx}=dfrac{d}{dx}left(dfrac{x}{x-1}right)$
Aplique la regla del cociente al lado derecho de la ecuación anterior:
$y’=dfrac{(x-1)cdot dfrac{dx}{dx}-xcdot dfrac{d(x-1)}{dx}}{(x-1)^2}$
$y’=dfrac{(x-1)cdot 1-xcdot 1}{(x-1)^2}$
$y’=dfrac{x-1-x}{(x-1)^2}$
$y’=dfrac{-1}{(x-1)^2}$
Ejemplo 1
Escribe $4y-xy=x^2+cos x$ explícitamente en términos de $x$. Además, encuentra $y’$.
La solución
La representación explícita de la función dada es:
$(4-x)y=x^2+cos x$
$y=dfrac{x^2+cos x}{(4-x)}$
Ahora, para encontrar $y’$, diferencia los dos lados de la ecuación anterior con respecto a $x$:
$dfrac{dy}{dx}=dfrac{d}{dx}left(dfrac{x^2+cos x}{4-x}right)$
Usa la regla del cociente en el lado derecho:
$y’=dfrac{(4-x)cdot (2x-sin x)+(x^2+cos x)cdot (-1)}{(4-x)^2}$
$y’=dfrac{8x-2x^2+xsen xx^2-cos x}{(4-x)^2}$
$y’=dfrac{-3x^2+(8+sin x)x-cos x}{(4-x)^2}$
Ejemplo 2
Escribe $dfrac{x^3}{y}=1$ explícitamente en términos de $x$. Además, encuentra $y’$.
La solución
La ecuación dada se puede escribir explícitamente de la siguiente manera:
$y=x^3$
Para encontrar $y’$, diferencie los dos lados de la ecuación anterior usando la regla de la potencia:
$dfrac{dy}{dx}=dfrac{d}{dx}(x^3)$
$y’=3x^2$
Ejemplo 3
Sea $3x^3-5x^2-y=x^6$. Explícitamente escribe $y$ en términos de $x$ para encontrar $y’$.
La solución
Podemos escribir la ecuación dada explícitamente de la siguiente manera:
$-y=x^6-3x^3+5x^2$
$y=-x^6+3x^3-5x^2$
Ahora diferencie la ecuación anterior usando la regla de la potencia:
$dfrac{dy}{dx}=dfrac{d}{dx}(-x^6+3x^3-5x^2)$
$y’=-6x^5+9x^2-10x$
$y’=-x(6x^4-9x^2+10)$
Gráfica de $y=-x^6+3x^3-5x^2$
Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
