Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

La serie armónica es una de las primeras tres series que aprenderás en tu clase de álgebra. Esta serie en particular es importante en teoría musical, y en la siguiente sección entenderás por qué. Por ahora, aquí hay un resumen rápido de lo que hace que la serie Harmonic sea única.

Una serie armónica es una serie que contiene la suma de los términos que son los inversos de los términos de una serie aritmética.

Este artículo explorará esta serie única y comprenderá cómo se comporta como una serie infinita. También entenderemos si la serie diverge o converge utilizando las diversas pruebas que hemos aprendido en el pasado.

  • Comprender cómo se puede usar la secuencia aritmética (y la serie) para definir series armónicas.
  • Asegúrate de saber la diferencia entre convergente y divergente.
  • Revisa las diferentes pruebas que podemos aplicar para confirmar la convergencia y la divergencia.

¿Alguna vez hemos despertado tu curiosidad sobre la serie armónica? ¿Por qué no empezar refrescando lo que constituye una secuencia armónica?

¿Qué es una serie armónica?

Antes de sumergirse directamente en la definición de una serie armónica, consulte esta visualización rápida sobre la progresión de los términos en una serie armónica.

visualizing harmonic series

La secuencia armónica y la serie van de la mano. De hecho, el la serie armónica es la suma total de una secuencia armónica infinitaentonces, si queremos saber más sobre las series armónicas, debemos revisar lo que sabemos sobre las secuencias armónicas.

Para comprender mejor esto, aquí hay dos conceptos importantes para recordar del cuadro que se muestra arriba.

  • Los términos, $left{dfrac{1}{2}, dfrac{1}{3}, dfrac{1}{4}, dfrac{1}{5}, dfrac{1}{ 6}, dfrac{1}{7}, …right}$, son parte de una secuencia armónica.
  • La suma de los términos, $ dfrac{1}{2} +dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}+ dfrac{1}{6 } , dfrac{1}{7}+ …$, es un ejemplo de una serie armónica.

Continuemos y definamos formalmente la secuencia armónica y la serie.

Definición de serie armónica

Las secuencias armónicas son sucesiones que contienen términos que son los inversos de los términos de una sucesión aritmética.

Digamos que tenemos una secuencia aritmética con un término inicial de $a$ y una diferencia común de $d$; tenemos los siguientes términos que forman la serie aritmética como se muestra a continuación.

begin{alineado}{a , (a + d) , (a + 2d) , … , [a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que los términos de la secuencia armónica serán como se muestra a continuación.

begin{alineado}left{dfrac{1}{a} , dfrac{1}{(a + d)} , dfrac{1}{(a + 2d)}, … , dfrac{1 }{[a + (n – 1)d]}right}end{alineado}

Esto muestra que el denominador de los términos de una secuencia armónica compartirá una diferencia común entre dos términos consecutivos.

Ahora bien, cuando hablamos de serie armónica, nos referimos a la suma de los términos de una secuencia armónica.

Usemos esta definición y las expresiones dadas arriba para encontrar las expresiones algebraicas y la fórmula de una serie armónica.

fórmula de la serie armónica

Dado que la suma para la aritmética se puede expresar como $S_n = a + (a + d) +(a + 2d) + … + [a + (n – 1)d]PS Esto significa que la suma de la serie armónica es como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &= dfrac{1}{a} + dfrac{1}{(a + d)} + dfrac{1}{(a + 2d)}+ …+ dfrac{1} {[a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que el término n de una serie armónica es igual a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

Se puede demostrar que la suma de la serie armónica se puede aproximar en términos de $a$, $d$ y $n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &approx dfrac{1}{d} ln left(dfrac{2a + (2n – 1)d}{2a – d}right)end{alineado}

Tenga en cuenta que esto solo es posible cuando $2a neq d$ y $d neq 0$.

¿Existe convergencia de series armónicas?

Una de las primeras pruebas que aprendimos es la prueba del n-ésimo término. Recuerda que cuando tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty} a_n$, si $lim_{n rightarrow infty} a_n neq 0$, la serie es divergente.

Veamos qué sucede cuando tenemos $sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos verificar la serie encontrando el límite de $dfrac{1}{ n }$ ya que $n$ tiende a infinito.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{n} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{1}{infty} \&= 0end{ alineado}

¿Significa esto que la serie armónica es convergente? Recuerde que en la prueba del n-ésimo término, un resultado de $0$ no garantiza la convergencia.

También podemos establecer que esta serie no es absolutamente convergente utilizando la prueba de comparación como se analiza en la siguiente sección.

¿Cómo probar la divergencia de la serie armónica?

¿Qué pasaría si tuviéramos una serie armónica infinita? ¿Cómo se comporta la suma cuando añadimos más términos a la serie?

Digamos que tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos intentar escribir los primeros términos y ver cómo progresan sus sumas.

Después $boldsymbol{n}$ Número de términos

Suma parcial para $boldsymbol{n}$ condiciones

$dfrac{1}{1}$

$1$

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}$

$dfrac{3}{2} = $1,5

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}$

$dfrac{11}{6} alrededor de $1,83

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}$

$dfrac{25}{12} alrededor de $2,08

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}$

$dfrac{137}{60} alrededor de $2,28

De estas tablas de valores, podemos ver que las sumas parciales aumentan a medida que se agregan más términos. La intuición nos dice que, en cambio, la serie armónica podría ser divergente. Usamos diferentes pruebas para demostrarlo, pero ¿por qué no aplicamos la prueba de comparación para esta sección?

Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

Digamos que tenemos $a_n = dfrac{1}{n}$ y $b_n = n$, está claro que $a_n$ siempre será menor o igual que $n$ cuando $n$ es positivo.

Dado que $sum_{n=1}^{infty}b_n$ es divergente (y ciertamente no convergente), podemos decir que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty}a_n$, es también divergente.

¿Por qué no aplicamos todo lo que hemos aprendido hasta ahora: encontrar los términos de una serie armónica, encontrar la suma de la serie y probar la divergencia de una serie armónica?

Ejemplo 1

Los términos primero y séptimo de una secuencia armónica son $dfrac{1}{6}$ y $dfrac{1}{12}$. Encuentra los cinco términos entre estos dos términos.

Solución

Podemos volver a la definición de la secuencia armónica: contiene los términos resultantes cuando tomamos el inverso de los términos de una secuencia aritmética.

Esto significa que la sucesión aritmética en la que nos basamos tendrá el primer término $6$ y el séptimo término $12$.

La diferencia común de esta sucesión será igual a $dfrac{12 – 6}{6} = 1$, por lo que los siguientes cinco términos se pueden determinar sumando $1$ al término anterior.

begin{alineado}a_1 &= 6\a_2&= 7\ a_3 &= 8\a_4 &= 9\a_5 &= 10\a_6 &= 11\a_7 &= 12end{alineado}

Ahora que tenemos todos los términos de la secuencia aritmética, tomamos los recíprocos de los términos para encontrar los cinco términos faltantes de nuestra secuencia armónica.

Por lo tanto, tenemos cinco términos de series armónicas: $left{dfrac{1}{7}, dfrac{1}{8}, dfrac{1}{9}, dfrac{1}{8} , dfrac{1}{9},dfrac{1}{10},dfrac{1}{11} right}$.

Ejemplo 2

Completa los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

una. La serie armónica es una serie _____________.
B. El límite del enésimo término de una serie armónica que tiende al infinito es igual a ___________.

contra La suma parcial de los términos de una serie armónica se vuelve ___________ porque la serie incluye más términos.

Solución

Como probamos usando la prueba de comparación, la serie armónica tal que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ es divergir. Podemos usar cualquier serie divergente y con un n-ésimo término mayor que $dfrac{1}{n}$ para probar la divergencia de esta serie.

El término n-ésimo de la serie armónica generalmente es equivalente a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$, donde $a$ y $d$ son constantes. Podemos evaluar $lim_{nrightarrowinfty} a a_n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1}{a + (n – 1)d} &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{infty} &= 0end{alineado}

Esto muestra que el límite de los n-ésimos términos es igual a cero a medida que nos acercamos al infinito.

De la tabla de valores que tenemos en el apartado anterior, podemos ver que su suma parcial aumenta a medida que agregamos más términos a la serie.

También tiene sentido ya que cuantos más términos agregamos, más se acerca la serie al infinito.

Ejemplo 3

Como $left{dfrac{1}{8}, dfrac{1}{10}, dfrac{1}{12}, ….right}$ es una serie armónica, responde las siguientes preguntas:

una. ¿Cuáles son los siguientes tres términos de la serie?
B. Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta serie armónica.
contra ¿Cuál es la expresión del término n de la serie?
D. ¿Esta serie es divergente o convergente? Justifique su respuesta.

Solución

Mirando los denominadores, $8 rightarrow 10 rightarrow 12$, podemos ver que la diferencia común, $d$, es igual a $2$. Esto significa que podemos encontrar los siguientes dos términos simplemente sumando los denominadores por $2$ cada vez.

begin{alineado}a_4 &= dfrac{1}{14}\a_5 &= dfrac{1}{16}\a_6 &= dfrac{1}{18} end{alineado}

una. Por lo tanto, los siguientes tres términos de la serie son $dfrac{1}{14}$, $dfrac{1}{16}$ y $dfrac{1}{18}$.

Sumando los seis términos, tenemos:

begin{alineado}S_6 &= dfrac{1}{8} + dfrac{1}{10} + dfrac{1}{12}+ dfrac{1}{14} + dfrac{1}{ 16} + dfrac{1}{18}\&= dfrac{2509}{5040}\&alrededor de 0,50end{alineado}

B. La suma de los seis términos es aproximadamente igual a $0.50.

Como tenemos $a = 8$ y $d = 2$, podemos expresar el enésimo término de esta serie usando la fórmula, $a_n = dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

begin{alineado}a_n &= dfrac{1}{8 + (n – 1)2}\&= dfrac{1}{8 + 2n – 2}\&= dfrac{1}{2n + 6} end{alineado}

contra El término n-ésimo de la serie armónica se puede expresar como $dfrac{1}{2n + 6}$.

Usemos la prueba de comparación para verificar si la serie es divergente o convergente.

Observe que cuando $n$ es positivo, $2n$ siempre será menor que $2n + 6$. Además, $n$ siempre será inferior a $2n$.

Cuando tomamos sus recíprocos, la desigualdad se invierte ya que cuanto menor es el denominador, mayor es la fracción.

begin{alineado}n dfrac{1}{2n} > dfrac{1}{2n + 6}end{alineado}

¿Porque es esto importante? Porque podemos usar $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ para mostrar que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{2n + 6}$ es divergente. Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

  • Hemos demostrado en el pasado que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n}$, es una serie divergente.
  • Como $dfrac{1}{n} > dfrac{1}{2n + 6}$, podemos decir que la serie $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2n + 6}$, también es divergente.

D. Esto justifica nuestra respuesta: que la serie dada es divergente.