Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Una de las series más singulares e interesantes que aprenderemos en precálculo es la serie telescópica. Las series telescópicas exhiben un comportamiento único que pondrá a prueba nuestro conocimiento de manipulación algebraica, series y sumas parciales.

La serie telescópica es una serie que se puede reescribir de modo que la mayoría (si no todos) de los términos se cancelen con un término anterior o posterior.

Esta serie tiene una amplia aplicación en matemáticas superiores, teoría informática y una serie divertida para explorar mientras ponemos a prueba nuestras habilidades algebraicas.

Una de las técnicas algebraicas más aplicadas en la manipulación de series telescópicas es el uso de descomposición en fracciones parciales. Asegúrese de revisar y actualizar sus conocimientos sobre este tema en particular, ya que lo aplicaremos ampliamente en este artículo.

OTambién aplicaremos nuestro conocimiento de los límites, así que asegúrese de hacer un repaso rápido sobre cómo evaluamos los límites.

Comencemos por comprender los componentes de la serie telescópica y finalmente aprendamos cómo la serie obtuvo su nombre.

¿Qué es una serie telescópica?

Identificar series telescópicas puede parecer más complicado que identificar series más simples, como series aritméticas y geométricas. Esto se debe a que una serie telescópica nos obliga a pensar creativamente sobre cómo podemos manipular los términos para expandirlos y luego simplificarlos.

A continuación se muestran tres series telescópicas comunes:

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + …$

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{8}+ dfrac{1}{32} + …$

  • $dfrac{1}{3} + dfrac{1}{15} + dfrac{1}{35} + …$

En las secciones, aprenderemos cómo podemos simplificar series como estas y por qué cada una de ellas se considera una serie telescópica.

Al hablar de series telescópicas, es inevitable que hablemos de son telescópicos – es el proceso de simplificar una serie o una expresión primero expandiéndolos y luego cancelando los términos consecutivos de la nueva expresión.

Por eso también llamamos a esta técnica son telescópicos y la serie en sí una serie telescópica. Al igual que un telescopio, para que podamos dar sentido al valor, primero necesitaremos ampliar la vista antes de poder concentrarnos en los valores que importan.

Para comprender mejor qué es la serie telescópica, veamos su forma algebraica.

Telescópico fórmula en serie y definición

Digamos que tenemos $sum_{n=1}^{infty} b_n$, una serie telescópica infinita, podemos reescribir eso como $b_n$ como $a_n – a_{n+1}$, donde $a_n$ es un término de una sucesión construida correctamente.

Se dice que una serie es telescópica cuando la expresamos de la forma $sum_{n=1}^{infty} b_n = sum_{n=1}^{infty} (a_n – a_{n+1} ) $

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} b_n &= (a_1 – a_2) + (a_2 – a_3) + (a_3 – a_4) + … + (a_{n-1} – a_n) \&= a_1 + (-a_2 + a_2) + (-a_3 + a_3) + … + (-a_{n – 1} + a_{n – 1}) – a_n\&= a_1 – a_nend{ alineado}

Cuando esto sucede, simplemente negamos los términos y mantenemos los valores restantes y tendremos la forma más simplificada de la serie telescópica, como muestra la forma general anterior.

¿Cómo? ‘O’ ¿Qué? encontrar la suma de una serie telescópica?

La mejor manera de entender qué hace que una serie telescópica sea única es simplificar la serie y encontrar su suma. Aquí hay algunas pautas útiles para encontrar la suma de una serie telescópica:

  • Si aún no se ha proporcionado, encuentre la expresión para $a_n$ y $S_n$.

  • Usa la descomposición en fracciones parciales para reescribir la expresión racional como una suma de dos fracciones más simples.

  • Reescribe $a_n$ usando estas dos fracciones como la suma, luego encuentra el valor de $lim_{nrightarrow infty} sum_{n=1}^{infty} S_n$.

Echemos un vistazo a una de las series telescópicas más comunes que probablemente encontraremos: $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)}$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + … + dfrac{1}{n(n + 1)} end{alineado}

Encontrar la suma de esta serie puede parecer difícil al principio, pero con los pasos que hemos mencionado, podremos encontrar la suma de esta serie telescópica.

Tenemos la expresión regular, $dfrac{1}{n(n + 1)}$, podemos reescribir esa expresión regular como $dfrac{A}{n}$ y $dfrac{B}{n + 1 } $ . Aplicar lo que aprendimos al dividir fracciones para encontrar $A$ y $B$.

begin{alineado}dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n + 1}\1 &= A(n + 1) + B(n)\0n + 1&= (A + B)n + A\\A+ B &= 0\A&=1\B&=-1end{alineado}

Esto significa que podemos reescribir $dfrac{1}{n(n + 1)}$ a $dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}$. Reemplace nuestra expresión regular con esta forma descompuesta.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{ 1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) \&= left(1 -dfrac{1}{2} right) + left(dfrac{1}{2 } – dfrac{1}{3}right) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{4}right) + … +left(dfrac{1}{n – 1} – dfrac{1}{n}right) + left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) end{alineado}

Podemos reescribir esta serie agrupando los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= 1 + left(-dfrac{1}{2} +dfrac{ 1}{2} derecha) + izquierda(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} derecha) + … +izquierda(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right) + left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right) – dfrac{1}{n + 1} \&=1 + cancel{left(-dfrac{1}{2} +dfrac{1}{2} right)} + cancel{left(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} right)} + … +cancel{left(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right)} + deshacer{left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right)} – dfrac{1}{n + 1}\&= 1- dfrac{1}{ n+1} end{alineado}

¿Observe cómo los pares ahora se cancelan y dejan atrás el primer y el último término? Esa es la belleza de la serie telescópica. Ahora que tenemos una suma de $1 – dfrac{1}{n + 1}$, podemos simplemente encontrar el límite de la suma cuando $n$ tiende a infinito para encontrar el

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= lim_{n rightarrow infty} left(1 – dfrac{1}{n +1}right) \&= 1 – 0\&=0end{alineado}

Por lo tanto, la suma de la serie telescópica infinita es $1$. Más importante aún, hemos mostrado cómo podemos aplicar la descomposición en fracciones parciales y las leyes de límites para encontrar la suma de una serie telescópica infinita.

¿Estás listo para probar más problemas? Consulte los problemas de muestra que le proporcionamos.

Ejemplo 1

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$.

Solución

Ya tenemos la expresión para $a_n = dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$, entonces podemos proceder a reescribir $dfrac{1}{(2n – 1)( 2n + 1 )}$ como la suma de dos fracciones “más simples”.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\ 1 &= A(2n + 1) + B (2n – 1)\0n + 1 &= (2A + 2B)n + (A – B)\\2A + 2B &= 0\ A – B &= 1 end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $A – B = 1$.

begin{alineado}A – B &= 1\ -B – B&= 1\-2B &= 1\B & = -dfrac{1}{2}end{alineado}

Esto significa que $A$ es igual a $dfrac{1}{2}$. Usemos estos valores para reescribir la expresión regular original.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\&= dfrac{dfrac{1}{2}}{2n – 1} – dfrac{dfrac{1}{2}}{2n + 1}\&= dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n+2}end{alineado}

Usando la nueva expresión para $a_n$, podemos expandir la serie telescópica como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &=sum_{n=1}^{infty}left ( dfrac{1}{4n – 2} -dfrac{1}{4n + 2}right)\&= left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{6} derecha ) + left(dfrac{1}{6} – dfrac{1}{10} right ) + left(dfrac{1}{10} – dfrac{1}{14} right ) + … + izquierda[dfrac{1}{4(n – 1) – 2} – dfrac{1}{4(n – 1) + 2} right ]+ left(dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n + 2} right )end{alineado}

Reordene los términos y vea cómo podemos reducir la serie telescópica a dos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + cancel{left ( – dfrac{1}{6} + dfrac{1}{6} right )}+ cancel{left( – dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} right )} + cancel{left( – dfrac{1}{14} + dfrac{1}{14} right )}+…+ cancel{left(-dfrac{1}{4n – 2 } + dfrac{1}{4n – 2}right)} – dfrac{1}{4n + 2} \&= dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2} end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica tomando el límite de $S_n =dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}S_n &=dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}\lim_{n rightarrow infty} S_n &= lim_{nrightarrow infty} left( dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}right )\&= dfrac{1}{2}- 0\&= dfrac{1}{2 }end{alineado}

Esto muestra que la suma de $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$ es igual a $dfrac{1}{2}$ .

Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$.

Solución

Podemos aplicar un proceso similar para reescribir $dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ como la suma de dos fracciones más simples.

begin{alineado}dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= dfrac{3}{(n + 1)(n + 3)}\&= dfrac{A}{n + 3} + dfrac{B}{n + 1}\\A(n + 3) + B(n + 1) &=3\(A + B)n + (3A + B)&= 0n + 3\A+B &=0\3A+ B &= 3end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $3A + B = 3$.

begin{alineado}-3B + B &= 3\ -2B &= 3\B &= -dfrac{3}{2}end{alineado}

Usando $A = dfrac{3}{2}$ y $B = -dfrac{3}{2}$, tenemos $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{ n ^2 + 4n + 3} = sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 3) } derecha)$. Usemos esto para extender la serie telescópica y reducir la serie a menos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &=sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)}- dfrac{3}{2(n + 3)}right) \& =dfrac{3}{2}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{1}{(n + 1)}- dfrac{1}{(n + 3)}right]\&=dfrac{3}{2}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{5} right )+ left(dfrac{1}{4} – dfrac{1}{6} right )+ left(dfrac{1}{5} – dfrac{1}{7} right ) + …+ left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n+2} right )+ left(dfrac{1}{n+1} – dfrac{1}{n+3} right )right ]end{alineado}

Agrupa los términos con denominador impar y los que tienen denominador par. Cancele los términos tanto como sea posible, luego simplifique la expresión en términos de $n$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2}-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4}-dfrac{1}{6}+dfrac{1}{6} + …- dfrac{1}{n} + dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n +2}right ) right ]\&fantasma{xxx} +left(dfrac{1}{3}-dfrac{1}{5}+dfrac{1}{5}-dfrac{1}{7}+dfrac {1}{8} + …- dfrac{1}{n+1} + dfrac{1}{n+1}-dfrac{1}{n +3}right )\&=dfrac {3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica evaluando el límite de la expresión simplificada para la suma cuando $n$ tiende a infinito.

begin{aligned}sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{3}{2} a la izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right]\&=dfrac{3}{2}lim_{n rightarrow infty}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] \&= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – 0right)+ left(dfrac{1}{3} – 0right)right]\&=dfrac{3}{2}left(dfrac{1}{2} + dfrac{1}{3}right)\&=dfrac{3}{2} cdot dfrac{5}{6}\&= dfrac{5}{4}end{alineado}

De esto podemos ver que $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ es igual a $dfrac{5}{4}$ o $1,15.

Estos son dos grandes ejemplos de cómo podemos encontrar la suma de una serie telescópica. Muestran cómo saber cómo manipular expresiones es crucial para simplificar y evaluar estas series.

Pruebe los problemas presentados a continuación si desea trabajar en más series telescópicas.