Este problema tiene como objetivo encontrar la integral de un función continua dada una integral de la misma función en otro punto. Este problema requiere conocimientos básicos. la integración con el método de anulación de integración.
Respuesta experta
A función continua es una función sin perturbación en la variación de la función, lo que significa que no hay un cambio abrupto en los valores, lo que también se llama discontinuidad.
La integral de cualquier función es siempre continua, pero si esta función es a su vez continua, entonces su integral es diferenciable.
Ahora el problema dice que:
Si $ int_{0} ^ {4} f(x) ,dx $ $ = 0 $, entonces a qué es igual $ int_{0} ^ {2} f(2x) , dx $.
Primero, resolveremos la integral $int_{0}^{2}f(2x),dx$ por sustitución $2x = uds. Ahora diferenciémoslo con respecto a $x$, esto nos da $2dx = du$, para escribir $dx$ en términos de $du$.
Para eliminar x de la integral, multiplicaremos y dividiremos $2$ para incorporar sustituciones fácilmente.
[= dfrac{1}{2} int_{0} ^ {2} f(2x) , 2dx ]
Dado que la variable independiente ha cambiado, sus límites también deben moverse.
Entonces los límites ahora cambiarán de $ int_{0 times 2} ^ {2 times 2} $ a $ int_{0} ^ {4} $.
Para terminar,
[ = dfrac{1}{2} int_{0} ^ {4} f(u) ,du ]
Recuerda, $ int_{a} ^ {b} f(x) ,dx = int_{a} ^ {b} f(u) ,du $
Podemos reescribir nuestra integral de la siguiente manera:
[= dfrac{1}{2} int_{0} ^ {4} f(x) ,dx ]
Como se muestra en el enunciado, podemos sumar el valor $= int_{0} ^ {4} f(x) ,dx = 10$.
Usando esta información, podemos actualizar la ecuación de la siguiente manera:
[ = dfrac{1}{2} times 10 ]
Respuesta numérica
[ dfrac{1}{2} times 10 = 5 ]
[ int_{0}^{2} f(2x) ,dx = 5]
Este valor es el área bajo la curva que representa el suma de infinito y cantidades infinitamente pequeñasal igual que cuando multiplicamos dos números, uno de ellos sigue produciendo valores diferentes.
Ejemplo
Si $f$ es continuo y entero $0$ a $4$ $f(x)dx = -18$ , encuentre la integral $0$ a $2$ $f(2x)dx$.
Sustituyendo $2x = u$ y tomando la derivada, $2dx = du$.
Multiplicando los límites por $2$ da:
[ int_{0 times 2}^{2 times 2} to int_{0}^{4} ]
Reemplazando los sustitutos, obtenemos:
[ = dfrac{1}{2} int_{0} ^ {4} f(u) ,du ]
Como sabemos, $ int_{a} ^ {b} f(x) ,dx = int_{a} ^ {b} f(u) , du $
Reemplace el valor de $int_{0} ^ {4} f(x) ,dx = -18$
[ = dfrac{1}{2} times -18]
[ = -9 ]
Para terminar,
[ int_{0} ^ {2} f(2x) ,dx = -9]
