Este problema pretende familiarizarnos con el probabilidad funciones de densidad Los conceptos necesarios para resolver este problema son variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad que incluye distribución exponencial y densidades de variables aleatorias.
A función de densidad de probabilidad Dónde PDF se utiliza en la teoría de la probabilidad para describir probabilidad de una variable aleatoria que permanece en un cierto intervalo de valores Este tipo de funciones describen la probabilidad función de densidad de la distribución normal y cómo existe significar y DESVÍO.
los función de distribución acumulativa Dónde FCD de $x$ aleatorios es otra forma de representar la distribución de Variable aleatoria, definido como:
[ F_X (x) = P(X geq x),forall xinmathbb{R}]
mientras que un variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial que tiene $lambda > 0$ si el densidad de la función es:
[f(x) = lambda e − lambda x spacespacespace if space x geq 0]
Respuesta experta
Primero calculemos el distribución exponencial de $x$:
[ P(X > 1) = int e^{-x} dx = e^{-x} ]
[ F_x = 1 – P(X > 1) = 1 – e^{-x} ]
Usaremos esto acercar para encontrar el distribución exponencial de nuestra función:
[ Y = ln X ]
Desde exponencial somos sin memoria, podemos escribir:
[ F_Y (y) = P(Y leq y) ]
encorchado en el valor de $Y$:
[ F_Y (y) = P(ln X leq y) ]
Como exponencial es lo contrario de Tronco, podemos montarlo como:
[ F_Y (y) = P(X leq e^y) ]
[ F_Y (y) = F_X (e^y) ]
Entonces,
[ F_x (e^y) = 1 – P(X > e^y) = 1 – e^{-e^y} ]
Ahora calcularemos el función de distribución de probabilidad cual es la derivada de función de distribución acumulativa $F(x)$ :
[ f(x) = dfrac{d}{dx} F(x) ]
Reemplazar los valores nos dan:
[ f_Y (y) = dfrac{d}{dy} F_Y (y) ]
[ f_Y (y) = dfrac{d}{dy} F_X (e^y) dfrac{d}{dy} ]
[ f_Y (y) = dfrac{d}{dy} left [1 – e^{-e^y} right ] ]
[ f_Y (y) = -(-e^y) (e^{-e^y}) ]
[ f_Y (y) = e^y e^{-e^y} ]
resultado numérico
los función de distribución de probabilidad es:
[ f_Y (y) = e^y e^{-e^y} ]
Ejemplo
Sea $X$ uno aleatorio discreto manejo de variables positivo valores enteros. Asumir que $P(X = k) geq P(X = k + 1) forall$ positivo entero $k$. Muestre que para cualquier entero positivo $k$,
[ P(X = k) geq dfrac{2E [X] {k^2} ]
Como $P(X = I) geq 0$, podemos decir que para todo $k in mathbb{N}$,
[ E [X] = sum_{i=1}^{infty} iP(X = i) geq sum_{i=1}^{k} iP(X = i) ]
Además,
[ P(X = k) geq P(X = k + 1) forall k in mathbb{N} ]
Nosotros tenemos,
[ P(X = k) geq P(X = i) forall i geq k ]
De este modo por último,
[ sum_{i=1}^k iP(X = i) geq sum_{i=1}^k iP(X = k) ]
[ dfrac{k(k + 1)}{2} P(X = k) ]
[ geq dfrac{k^2}{2} P(X = k) ]
De este modo se puede decir que,
[ E [X] geq k^2 P(X = k)/2 ]
¡Demostrado!
