Este problema pretende familiarizarnos con diferencial de orden superior ecuaciones El concepto necesario para resolver este problema es ecuaciones diferenciales ordinarias dado en un momento dado y Regla del producto. Aquí encontraremos la segundo orden diferencial usando un referencia indicar.
ahora un diferencial ordinario ecuación también conocido como ODA es una ecuación que involucra la ordinaria derivados que son lo contrario de Derivadas parciales de una función Por lo general, nuestro objetivo es minimizar un ODA, para determinar qué función(es) realizan el ecuación.
Para este problema en particular, estamos tratando con diferencial de segundo orden ecuación que es de la forma $y“ + p(x)y` + q(x)y = f(x)$. Esta ecuación contiene algunos coeficientes constantes solo si las funciones $p(x)$ y $q(x)$ son constantes.
Respuesta experta
nos dan un ecuación:
[ xy + 3e^y = 3e space (Eq.1) ]
donde $e$ es un constante evaluar.
En $x = 0$, $y$ se convierte en:
[ (0)y + 3e^y = 3e ]
[ 3e^y = 3e ]
[ e^y = e ]
[ y = 1 ]
Ahora, Ddiferenciar en ambos lados de la ecuación $Eq.1$ con respecto a $x$:
[ dfrac{d(xy + 3e^y)}{dx} = dfrac{d(3e)}{dx} ]
[ dfrac{d(xy)}{dx} + dfrac{d(3e^y)}{dx} = dfrac{d(3e)}{dx} ]
Sea $dfrac{d(xy)}{dx} = I$, resolviendo esto ecuación utilizando el Regla del producto que es esencialmente de la forma:
[ f(x) = u(x)times v(x) ]
Entonces,
[ f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) ]
Resolver $yo$:
[ I = dfrac{d(xy)}{dx} ]
[ I = x dfrac{dy}{dx} + y dfrac{dx}{dx} ]
[ I = x dfrac{dy}{dx} + y ]
Enchufe $I$ de nuevo en el ecuación principal Nos da:
[ x dfrac{dy}{dx} + 1 + 3e dfrac{dy}{dx} = 0 ]
Tomando $dfrac{dy}{dx}$ comunes:
[ dfrac{dy(x + 3e)}{dx} = -1 ]
[ dfrac{dy}{dx} = dfrac{-1}{(x + 3e)} ]
Es el expresión para el primer orden derivado.
En $x = 0$, $y`$ se convierte en:
[ dfrac{dy}{dx} = dfrac{-1}{(0 + 3e)} ]
[ dfrac{dy}{dx} = dfrac{-1}{3e} ]
Ahora calculando el segundo orden derivado:
[ dfrac{d}{dx} times dfrac{dy}{dx} = dfrac{d}{dx} times dfrac{-1}{(x + 3e)} ]
[ dfrac{d^2y}{dx^2} = – dfrac{d(x + 3e)^{-1}}{dx} ]
[ dfrac{d^2y}{dx^2} = dfrac{1}{(x + 3e)^2} ]
Esta es nuestra expresión para el segundo orden derivado.
En $x = 0$, $y“$ se convierte en:
[ dfrac{d^2y}{dx^2} = dfrac{1}{(3e)^2} ]
[ dfrac{d^2y}{dx^2} = dfrac{1}{9e^2} ]
resultado numérico
los evaluar de $y”$ a indicar $x = 0$ se convierte en $ dfrac{d^2y}{dx^2} = dfrac{1}{9e^2} $.
Ejemplo
Si $xy + 6e^y = 6e$, encuentra $y`$ en $x = 0$.
nos dan un ecuación:
[ xy + 6e^y = 6e space (Eq.2)]
En $x = 0$, $y$ se convierte en:
[ (0)y + 6e^y = 6e]
[ y = 1]
Ahora, Diferenciar ambos lados de la ecuación $Eq.2$ con respecto a $x$:
[dfrac{d(xy)}{dx} + dfrac{d(6e^y)}{dx} = dfrac{d(6e)}{dx}]
[ x dfrac{dy}{dx} + 1 + 6e dfrac{dy}{dx} = 0]
Reorganización:
[ dfrac{dy(x + 6e)}{dx} = -1]
[dfrac{dy}{dx} = dfrac{-1}{(x + 6e)}]
En $x = 0$, $y`$ se convierte en:
[dfrac{dy}{dx} = dfrac{-1}{6e}]
