Simplifica tan(sen^{-1}(x))

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Este objetivos de la pregunta simplificar un expresión trigonométrica. En matemáticas, funciones trigonométricas (también llamado funciones circulares, funciones angularesDónde funciones trigonométricas) son funciones fundamentales que relacionan el ángulo de un triángulo rectángulo con las proporciones de las longitudes de dos lados. Ellas son ampliamente utilizado en todos los campos relacionados con la geometría ciencia, como navegación, mecanica solida, Mecánica celeste, geodesia, y muchos más. ellos están entre los funciones periódicas más específicas y también son ampliamente utilizados para estudiar fenómenos periódicos usando Análisis de Fourier.

los funciones trigonométricas los más utilizados en las matemáticas modernas son seno, coseno, y tangente. Sus recíproco somos cosecante, secante y cotangente, menos usado. Cada uno de estos seis funciones trigonométricas tiene un corresponsal función inversa y un análogo entre funciones hiperbólicas.

si un ángulo agudo se da $theta$, entonces todo triángulos rectángulos con un ángulo $theta$ son semejantes. Esto significa que la razón de las longitudes de dos lados depende solo de $theta$. Por lo tanto, estos seis marchas definir las seis funciones de $theta$, funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, el hipotenusa es el longitud del lado opuesto al ángulo recto; la perpendicular representa el lado opuesto al ángulo dado $theta$, y el base representa el lado entre el ángulo $theta$ y el ángulo recto.

right angle triangle

$seno$

[sintheta=dfrac{perpendicular}{hypotenuse}]

$coseno$

[costheta=dfrac{base}{hypotenuse}]

$tangente$

[tantheta=dfrac{perpendicular}{base}]

$cosecante$

[csctheta=dfrac{hypotenuse}{perpendicular}]

$secante$

[sectheta=dfrac{hypotenuse}{base}]

$cotangente$

[cottheta=dfrac{base}{perpendicular}]

El teorema de Pitágoras es el relación fundamental dentro Geometría euclidiana Entre el tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es igual a tsum de áreas cuadradas en los otros dos lados. Este teorema se puede establecer como una ecuación que relaciona las longitudes de los brazos $a$, $b$ y la hipotenusa $c$, a menudo llamada ecuación pitagórica.

[c^{2}=a^{2}+b^{2}]

Respuesta experta

Dejar

[sin^{-1}(x)=theta]

Entonces,

[x=sin(theta)]

Cuando dibujar un triángulo rectángulo cuyo lado de la hipotenusa sea igual a $1 y el otro lado igual en $x$.

Usando el teorema de Pitágoras, el tercer lado es

[sqrt{1-x^{2}}]

Entonces, la fórmula para $tantheta$ se da como

[tantheta=dfrac{sintheta}{cos theta}]

[=dfrac{sin theta}{sqrt{1-sin^{2}theta}}]

Como

[x=sintheta]

Ahora Nosotros tenemos

[tantheta=dfrac{x}{sqrt{1-x^{2}}}]

De $sen^{-1}(x)=theta$

Nosotros obtener,

[tan(sin^{-1}(x))=dfrac{x}{sqrt{1-x^{2}}}]

resultado numérico

[tan(sin^{-1}(x))=dfrac{x}{sqrt{1-x^{2}}}]

Ejemplo

Simplifica $cot(sin^{-1}(x))$

Dejar

[sin^{-1}(x)=theta]

Entonces,

[x=sin(theta)]

Cuando dibujar un triángulo rectángulo cuyo lado de la hipotenusa sea igual a $1 y el otro lado igual en $x$.

Al usar el teorema de pitagorasel tercer lado es

[sqrt{1-x^{2}}]

De este modo, fórmula para $cottheta$ se da como

[cottheta=dfrac{costheta}{sin theta}]

[=dfrac{sqrt{1-sin^{2}theta}}{sin theta}]

Como

[x=sintheta]

Ahora Nosotros tenemos

[cottheta=dfrac{sqrt{1-x^{2}}}{x}]

De $sen^{-1}(x)=theta$

Nosotros obtener,

[cot(sin^{-1}(x))=dfrac{sqrt{1-x^{2}}}{x}]