Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.
Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.
Ejemplos
Estos son algunos ejemplos de números pares:
-22, -10, 0, 6, 18, 234.
Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.
Estos son algunos ejemplos de números impares:
-101, -17, 1, 9, 23, 985.
Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.
Propiedades
Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.
Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10
6 – 4 = 2
Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11
7 – 4 = 3
Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10
7 – 3 = 4
Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo, 6 × 4 = 24
Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo, 7 × 4 = 28
Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo, 7 × 3 = 21
Generalización de números pares e impares
También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.
Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:
73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7
73, 75, 77, 79, 81
tabla de numeros
La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.
La palabra ‘conmutativo‘está tomado de la palabra francesa’viajar diariamente,‘ que significa moverse. Para que los números o las variables tengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.y siglo.
el la propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias y funciones Si ambos elementos siguen la propiedad conmutativa bajo una operación, se dice que están conmutados bajo esa operación en particular.
¿Qué es la propiedad conmutativa?
Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado de una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división no son conmutativas.
Propiedad conmutativa de la suma
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b y el resultado es igual a algún número pagsentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a pags es decir
un + segundo = segundo + un = pag
Los números a y b se llaman sumandos.
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
un + segundo + c + re = re + c + segundo + un
Ejemplo 1
Demostrar que los siguientes números cumplen la propiedad conmutativa de la suma:
2, 4, 6 y 9
2 + 4 + 6 + 9 = 21
9 + 6 + 4 + 2 = 21
El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,
2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2
El ejemplo concreto es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre la cantidad de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar la cantidad de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.
Los otros ejemplos reales usan un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines son ejemplos de la propiedad conmutativa.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b y el resultado es igual a algún número qentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a q es decir
un × segundo = segundo × un = q
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
un × segundo × c × re = re × c × segundo × un
Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.
Ejemplo 2
Demuestre que los siguientes números obedecen la propiedad conmutativa de la multiplicación:
2, 4, 6 y 9
2×4×6×9 = 432
9 × 6 × 4 × 2 = 432
El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,
2×4×6×9 = 9×6×4×2
¿Por qué la resta y la división no son conmutativas?
Para entender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, sigue los ejemplos a continuación.
Ejemplo 3
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
un – segundo = segundo – un
Paso 1: ¿Qué debes mostrar?
un – segundo = segundo – un
Paso 2: Toma el lado izquierdo y trata de probar que es igual al lado derecho.
una B
–1 (– a + b) = – (– a + b)
Paso 4: Invertir los sumandos.
– (b – a)
Paso 5: Vea si obtiene el resultado deseado.
a – b = – (b – a)
Paso 6: Exponga sus conclusiones.
Ya que,
a – b = – (b – a)
De donde,
un – segundo ≠ segundo – un
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
Ejemplo 4
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
2a ÷ a = a ÷ 2a
Paso 1: ¿Qué debes mostrar?
2a ÷ a = a ÷ 2a
Paso 2: Tome el lado izquierdo.
2a ÷ un
2a ÷ uno = 2
Paso 4: Resuelve el lado derecho ahora.
uno ÷ 2a = 1/2
Paso 5: Exponga sus conclusiones.
Ya que,
2a ÷ uno = 2
uno ÷ 2a = 1/2
De donde,
2a ÷ un ≠ un ÷ 2a
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.
La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.
¿Qué es la propiedad distributiva?
La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.
Propiedad distributiva de la multiplicación
Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.
Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir
(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo
De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,
(a – B) × contra = corriente alterna – antes de Cristo
Propiedad distributiva con variables
Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.
Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:
Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
Resuelve la ecuación.
En la última sección se da un ejemplo.
Propiedad distributiva con exponentes
La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.
Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:
Expande la ecuación dada.
Encuentra todos los productos.
Sumar o restar términos similares.
Resuelve o simplifica la ecuación.
En la última sección se da un ejemplo.
Propiedad distributiva con fracciones
Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.
Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:
Identifica las fracciones.
Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
Encuentre los productos.
Aislar términos con variables y términos con constantes.
Resuelve o simplifica la ecuación.
En la última sección se da un ejemplo.
Ejemplos
Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.
9 (X – 5) = 81
Solución
Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
9 (X) – 9 (5) = 81
9x – 45 = 81
Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.
9X – 45 + 45 = 81 + 45
9X = 126
Paso 3: Resuelve la ecuación.
9X = 126
X = 126/9
X = 14
Ejemplo 2
Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.
(sieteX + 4)2
Solución
Paso 1: Expande la ecuación.
(sieteX + 4)2 = (7X + 4) (7X + 4)
Paso 2: Encuentra todos los productos.
(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X2 + 28X + 28X + 16
Paso 3: Agregue términos similares.
49X2 + 56X + 16
Ejemplo 3
Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.
X – 5 = X/5 + 1/10
Solución
Paso 1: Identifica las fracciones.
Hay dos fracciones en el lado derecho.
Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.
Multiplica con MCM en ambos lados.
diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)
diezX – 50 = 2X + 1
Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.
diezX – 2X = 1 + 50
8X = 51
X = 51/8
Ejemplo 4
Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?
Solución
Hay dos formas de resolver este problema.
Método 1:
Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.
$12 + $20 = $32
Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.
$32 × 2
Paso 3: Encuentra el costo total.
$32 × 2 = $64
Método 2:
Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.
$12 × 2 = $24
Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.
$20 × 2 = $40
Paso 3: Encuentra el costo total.
$24 + $40 = $64
Ejemplo 5
Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?
Solución
Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.
Método 1:
Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.
Diez centavos:
2 × 10 ¢ = 20 ¢
Níquel:
3 × 5¢ = 15¢
Centavos:
10 × 1 ¢ = 10 ¢
Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.
Diez centavos:
3 × 20¢ = 60¢
Níquel:
3 × 15 ¢ = 45 ¢
Centavos:
3 × 10¢ = 30¢
Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.
60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢
Paso 4: Convierte a dólares.
135/100 = $1,35
Método 2:
Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.
2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢
Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.
2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢
Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.
45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢
Paso 4: Convierte a dólares.
135/100 = $1,35
Ejemplo 6
El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.
Solución
Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.
La longitud está representada por X.
Entonces ancho = X + 3
Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.
área = largo × ancho
X(X + 3) = 18
Paso 3: Usa la propiedad distributiva.
X2 + 3X = 18
Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.
X2 + 3X – 18 = 0
Paso 5: factoriza y resuelve.
X2 + 6X – 3X – 18 = 0
X(X + 6) – 3(X + 6) = 0
(X – 3)(X + 6) = 0
x = 3, −6
Paso 6: Indique la respuesta.
La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6
El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.
Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.
Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?
Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?
Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:
5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30
Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:
5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11
Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.
PEMDAS
PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:
P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
E es para exponente incluyendo raíces.
M es para multiplicación.
D es para División.
A es para la adición.
S es para Resta.
Reglas PEMDAS
Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
Multiplica y divide de izquierda a derecha
Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.
Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.
“Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
“Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.
Ejemplo 1
Resolver
30 ÷ 5×2+1
Solución
Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.
30 ÷ 5 = 6
6×2=12
12 + 1 = 13
NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.
Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:
Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.
4×3=12
5 + 12 ÷ 6 – 1
Comenzando desde la derecha;
12 ÷ 6 = 2
5 + 2 – 1 = ?
5 + 2 = 7
7 – 1 = ?
7 – 1 = 6
Ejemplo 3
simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2
Solución
Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;
Comience la operación acercándose al paréntesis.
Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;
11 + 1 = 12
Realiza la resta; 12 – 4 = 8
Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
Ejecutar exponentes como; 32 = 9
9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?
Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;
48÷8=6
6×2=12
Ejemplo 4
Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
Solución
Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación
10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
= (10÷2) + (12÷2 × 3)
= 23
Ejemplo 5
Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]
Solución
Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.
= 20 – [3 x 6]
Calcula los paréntesis restantes. = 20 – 18
Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.
Ejemplo 6
Práctica (6 – 3) 2 – 2×4
Solución
Comienza abriendo los paréntesis
= (3)2 – 2×4
= 9 – 2×4
ahora haz la multiplicacion
= 9 – 8
Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.
Ejemplo 7
Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)
Solución
Calcula dentro de los paréntesis. = 2 2– 3×4
Calcula el exponente. = 4 – 3×4
Haz la multiplicación. = 4 – 12
Completa la operación por resta. = -8
Ejemplo 8
Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.
Solución
Practica entre paréntesis
= 9 – 5 ÷ 5×2+6
= 9 – 1×2 + 6
Realiza la multiplicación
= 9 – 2 + 3
Suma y luego resta
= 7 + 6 = 13
Conclusión
En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.
Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.
El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.
El redondeo de números es una técnica matemática de ajustar los dígitos del número para que sea más fácil de usar al hacer cálculos. Los números se redondean a un grado particular de precisión para simplificar los cálculos y facilitar la comprensión de los resultados.
Antes de redondear un número, debe conocer el lugar de todos los dígitos de un número. A continuación se muestra la tabla de valores de posición.
¿Cómo redondear enteros?
Es fundamental entender el término “dígito de redondeo” redondeando los números.
Por ejemplo, cuando redondeas números 100 a decenas, el número redondeado es el segundo número desde la derecha. De manera similar, el dígito de redondeo queda en tercer lugar cuando se redondea a la centena más cercana, que es 1. Por lo tanto, el primer paso al redondear un número es identificar el dígito d ‘redondeo y mirar el siguiente dígito del lado derecho.
Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 0, 1, 2, 3 o 4, el dígito de redondeo no cambia. Todos los dígitos a la derecha del dígito redondeado se convierten en cero.
Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 5, 6, 7, 8 o 9, el dígito de redondeo aumenta en un dígito. Todos los dígitos a la derecha se reducen a cero.
Cuestiones prácticas
1. Redondea los siguientes números a la decena más cercana.
29 95 43 75
2. Redondea estos números a la decena más cercana.
164 1,989 765 9,999,995
3. Redondea la siguiente lista de números a las centenas más cercanas.
439 2,950 109,974 562
4. Redondea los números de abajo al millar más cercano.
5,280 1,899,999 77,777 1,234,567
Soluciones
1. Redondea a la decena más cercana:
El dígito a la derecha del dígito redondeado en 29 es 9. Por lo tanto, se suma un dígito al dígito redondeado, 2, y el otro dígito se reduce a cero.
29 30
El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 43 es 3. El número no afecta el dígito de redondeo, 4 y 3 se reducen a cero.
43 40
El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 75 es 5. Se agrega un dígito al dígito de redondeo y 5 se reduce a cero.
75 80.
El dígito a la derecha del dígito redondeado en 95 es 5. Se suma un dígito a 9 y el resto se reduce a cero.
95 100.
2. Redondea a la decena más cercana:
164 tiene 6 como dígito redondeado y 4 como dígito derecho.
164 se convertirá en 160
765 se convertirá en 770.
1989 1990.
9,999,995 tiene 5 como dígito a la derecha del dígito redondeado.
9,999,995 10,000,000
3. Redondea a la centena más cercana:
Identifique el dígito a la derecha (dígito de las decenas) del dígito de redondeo.
El dígito de las decenas en 439 es 3, por lo que no hay efecto en el dígito de las centenas:
439 400
El dígito 6 es el dígito de las decenas o el dígito a la derecha del dígito redondeado:
562 600.
5 es el dígito de las decenas en 2950, entonces,
2.950 3.000.
109974 tiene un dígito de las decenas de 7.
109.974 se convierte entonces en 110.000.
4. Para redondear al millar más próximo se tiene en cuenta la cifra de las centenas.
El dígito de las centenas en 5280 es 2, por lo que no afecta el dígito de redondeo.
5280 por lo tanto se convierte en 5000.
77.777 se convierte en 78.000.
1.234.567 se convierte en 1.235.000.
1.899.999 se convierte en 1.900.000.
¿Cómo redondear decimales?
Los decimales se redondean para estimar una respuesta rápida y fácilmente. Los decimales se pueden redondear al entero o número entero más cercano, décimas, centésimas, milésimas, etc.
Redondear al entero más cercano
Se siguen las siguientes reglas para redondear un número decimal al número entero más próximo:
Se identifica el número a redondear.
El dígito en su lugar está marcado.
Se marca el primer dígito a la derecha del decimal, o en el décimo lugar.
Si el dígito de las décimas es menor o igual a 4, entonces el número en lugar de uno se redondea a un número entero.
De manera similar, si el dígito de las décimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número en lugar de este.
Elimine todos los dígitos después del punto decimal para obtener el número entero deseado.
Redondea a la décima más cercana
Se aplica un procedimiento similar cuando se redondea un número a la décima más cercana.
Primero se identifica el número a redondear.
El dígito en el décimo lugar está marcado.
El dígito en el lugar de las centésimas está marcado.
Si el dígito de las centésimas es menor o igual a 4, el número en el dígito de las décimas permanece igual.
De manera similar, si el dígito de las centésimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número de las décimas.
Suelta todos los dígitos a la derecha de la columna de los décimos para obtener el número deseado.
Redondea a la centésima más cercana
El primer paso es identificar el número requerido. El dígito en el lugar de las centésimas está marcado. Compruebe si el dígito en el lugar de las milésimas es 0, 1, 2, 3, 4 o 5, 6, 7, 8, 9. Redondee el número a las centésimas más cercanas y suelte los otros dígitos a la derecha del lugar de las centésimas.
Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.
Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.
Propiedad de identidad de la suma
La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir
norte + 0 = norte
El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,
3 + 0 = 3 (enteros positivos)
-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)
4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)
0,5 + 0 = 0,5 (decimales)
x + 0 = x (notación algebraica)
Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.
Propiedad de identidad de la multiplicación
La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir
norte × 1 = norte
Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,
3 × 1 = 3 (Enteros positivos)
-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)
4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)
0,5 × 1 = 0,5 (decimales)
x × 1 = x (notación algebraica)
Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.
Un ángulo de referencia es un ángulo agudo entre el radio terminal de un ángulo dado y el eje x.
Los ángulos de referencia son siempre positivos y el ángulo de referencia de un ángulo puede ser él mismo.
Los ángulos de referencia son útiles en trigonometría y en las ciencias que los utilizan, como la astronomía, la arquitectura y la ingeniería.
Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar los ángulos y las funciones trigonométricas.
Esta sección cubre:
¿Qué es un ángulo de referencia?
Cómo encontrar el ángulo de referencia
Ángulos de referencia en trigonometría
¿Qué es un ángulo de referencia?
Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo o un ángulo recto. Cada ángulo tiene una referencia, que se puede encontrar localizando un ángulo agudo formado por el ángulo terminal del ángulo dado y el eje x.
Esto significa que un ángulo agudo o un ángulo recto es su propio ángulo de referencia.
Los ángulos de referencia facilitan el cálculo de relaciones trigonométricas para ángulos obtusos y reflejos al relacionarlos con un rango de ángulos más pequeño. Esto hace que la memorización de relaciones trigonométricas comunes para ángulos entre un ángulo cero y un ángulo recto sea suficiente para memorizar todos los ángulos posibles.
Ángulos obtusos
Cuando el ángulo dado es obtuso, su medida es mayor que 90 $ grados ($ frac { pi} {2} $ radianes) y menos de 180 $ grados ( pi radianes).
Ahora, el ángulo de referencia para un ángulo obtuso es fácil de visualizar usando el círculo unitario. Es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo obtuso y el radio que se extiende hacia la izquierda a lo largo del eje horizontal.
Para encontrar este ángulo algebraicamente, reste el ángulo dado de 180 $ grados o $ pi $ radianes. Recuerde que este ángulo siempre se da como un ángulo positivo.
Ángulos reflejos
Recuerde que los ángulos reflejos son ángulos mayores a $ 180 grados pero menores a $ 360 grados.
Para un ángulo reflejo entre 180 $ y 270 $ grados ($ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes), el ángulo reflejo es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el radio extendiéndose hacia la izquierda a lo largo del eje x. Para un ángulo entre $ 270 $ y $ 360 $ grados ($ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes), es el ángulo formado por el ángulo terminal y el radio que se extiende hacia la derecha. a lo largo del eje x.
Por lo tanto, las fórmulas para estos ángulos son $ alpha-180 $ grados o $ alpha- pi $ radianes para los ángulos, $ alpha $ entre $ 180 $ y $ 270 $ grados o entre $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.
Para ángulos dados, $ beta $ entre $ 270 $ y $ 360 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes, el ángulo de referencia es $ 360- beta $ o $ 2 pi- beta $.
Ángulos mayores que un ángulo completo
Para ángulos mayores que un ángulo completo o para ángulos negativos, encuentre el ángulo estándar coterminal entre $ 0 $ y $ 360 $ grados o $ 0 $ y $ 2 pi $ radianes. Luego, encuentre el ángulo de referencia para ese ángulo estándar.
Cómo encontrar el ángulo de referencia
En base a esto, la fórmula para encontrar el ángulo de referencia, $ gamma $ grados, para un ángulo dado de $ alpha $ grados varía según el valor de $ alpha $.
$ gamma = pi- alpha $ por $ frac { pi} {2} < alpha leq pi $ radianes
$ gamma = alpha- pi $ para $ pi < alpha leq frac {3 pi} {2} $ radianes
$ gamma = 360- alpha $ por $ frac {3 pi} {2} < alpha <2 pi $ radianes.
Ángulos de referencia en trigonometría
¡Tenga en cuenta que memorizar las relaciones trigonométricas para cada ángulo es mucho! Sin embargo, el uso de identidades trigonométricas y ángulos de referencia significa que uno puede memorizar al menos las relaciones principales entre el ángulo $ 0 y un ángulo recto y conocer muchas otras relaciones.
Por ejemplo, suponga que alguien conoce las relaciones seno y coseno de solo dos ángulos que miden $ 45 grados y $ 30 grados. Esta persona también conoce las identidades de suma y diferencia, a saber que:
$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $
Y
$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $
Entonces también conocerían las relaciones de activación para un ángulo que mide $ 30 + 45 = $ 75, $ 45-30 = $ 15 y $ 45 + 45 + 30 = $ 130 grados, por ejemplo.
Si esa persona también supiera el seno y el coseno de un ángulo recto, entonces podría usar ángulos de referencia para encontrar $ 180-45 = $ 135 grados o $ 180-75 = $ 105 grados.
Esto abre muchas posibilidades con muy poca memorización.
Además, las identidades $ sin {(- theta)} = -sin ( theta) $ y $ cos {(- theta)} = cos ( theta) $ abren los cálculos para números negativos.
Ejemplos de
Esta sección repasa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos de referencia y sus ejemplos paso a paso.
Ejemplo 1
Dado que el seno y el coseno de los ángulos de $ 45 grados son $ frac {1} { sqrt {2}} $, calcula el seno de $ 135 grados.
Solución
Recuerde las fórmulas del seno y el coseno:
$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $
$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $.
Por lo tanto, para encontrar el seno de $ 135 = 45 + 45 + $ 45, primero debemos encontrar $ sin90 $ y $ cos90 $.
$ sin {(45 + 45)} = sin {45} cos {45} + cos {45} sin {45} $
Tenga en cuenta que el seno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac {1} {2} $, y el coseno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac { sqrt {3}} {2} $ .
Dada esta información, encuentre un coseno de $ 75 grados.
Solución
Tenga en cuenta que el coseno y el seno de $ 45 grados se dieron en el Ejemplo 1. Por lo tanto, el coseno de $ 75 grados es igual a:
$ cos {30 + 45} = cos {30} cos {45} -sin {30} sin {45} $.
El seno de un ángulo recto es $ 0 y el coseno de un ángulo recto es $ -1 $.
Encuentra el coseno de $ 105 grados.
Solución
Este problema se basa en los dos anteriores.
Dado que $ 105 = $ 180-75, este problema consiste en encontrar:
$ cos {180-75} = cos {180} cos {75} + sin {180} sin {75} $.
Dado que este es el coseno de la diferencia de ángulos, el signo menos a la derecha de la ecuación se convierte en un signo más.
Está:
$ -1 times frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} + 0 times sin {75} $.
Puede simplificarse mediante:
$ – frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} $.
Por lo tanto, $ cos {105} = -cos {75} $.
Ejemplo 4
Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la tangente de un ángulo que mide $ 165 grados.
Solución
Un ángulo de $ 165 grados es igual a:
$ 180 – (45-30) $.
Por lo tanto, encuentre el seno y el coseno de $ 15 grados. Luego utilícelos para encontrar el seno y el coseno de $ 180-15 = $ 165 grados.
Finalmente, divida el seno de $ 165 grados por el coseno de $ 165 grados.
Ejemplo 5
Encuentra la cosecante de un ángulo con una medida de $ 120 grados.
Solución
Recuerde primero que la cosecante es igual a $ frac {1} {sinx} $.
Entonces tenga en cuenta que $ 120 = 45 + 45 + $ 30
Por lo tanto, para encontrar la cosecante de $ 120 grados, debe encontrar el seno de $ 120 grados, que se puede encontrar usando el seno de $ 45 y $ 30.
Sin embargo, dado que en el ejemplo 2 se dio el seno de $ 90, es $ 90 + $ 30.
Por lo tanto, un seno de $ 120 es
$ sin {90 + 30} = sin {90} cos {30} + sin {30} cos {90} $.
Esto luego se simplifica mediante:
$ 1 times frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} times 0 $.
Por tanto, el seno es:
$ frac { sqrt {3}} {2} $.
Entonces, esto significa que la cosecante es la recíproca,
Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la cotangente de un ángulo que mide $ 195 grados.
Encuentra la secante de un ángulo con una medida de 120 grados.
Clave de respuesta
$ – frac {1} { sqrt {2}} $
$ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
$ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
Para encontrar esto, primero encuentre el seno y el coseno en un ángulo de $ 15 grados. Esto es posible desde $ 45-30 = $ 15. Luego, encuentre el seno y el coseno de un ángulo de $ 195 grados recordando que $ 15 + 180 = $ 195. Finalmente, divida el coseno de $ 195 grados por un seno de $ 195 grados.
$ -2 $
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean utilizando Geogebra.
En medio de la Siglo I a.C., los romanos habían reforzado su control sobre los antiguos imperios griego y helenístico, y la revolución matemática de los griegos estaba estancada. A pesar de todos sus avances en otros aspectos, no se ha producido ninguna innovación matemática bajo el Imperio Romano y República, y no hubo matemáticos notables. Los romanos no tenían ningún uso para las matemáticas puras, solo para sus aplicaciones prácticas, y el régimen cristiano que los siguió (después de que el cristianismo se convirtió en la religión oficial del Imperio Romano) aún menos.
Aritmética romana
números romanos son bien conocidos hoy en día y han sido el sistema de numeración dominante para el comercio y la administración en gran parte de Europa durante la mayor parte de un milenio. Era un sistema decimal (base 10) pero no directamente posicional, y no incluía ceros, por lo que para propósitos aritméticos y matemáticos era un sistema torpe e ineficiente. Se basó en las letras del alfabeto romano – I, V, X, L, C, D y M – combinadas para significar la suma de sus valores (por ejemplo, VII = V + I + I = 7).
Más tarde, también se adoptó una notación sustractiva, donde VIIII, por ejemplo, fue reemplazada por IX (10 – 1 = 9), lo que facilitó un poco la escritura de los números, pero hizo el cálculo aún más difícil, requiriendo convertir la notación sustractiva en el inicio de una suma y luego volver a aplicarla al final (ver imagen a la derecha). Debido a la dificultad de la aritmética escrita usando notación numérica romana, los cálculos generalmente se hacían con un ábaco, basado en ábacos babilónicos y griegos anteriores.
los El matemático británico Alan Turing es quizás más famoso por su trabajo en tiempos de guerra en Centro de descifrado británico en Bletchley Park donde su trabajo condujo a la ruptura del enigmático código alemán (según algunos, acortando la Segunda Guerra Mundial de un plumazo y potencialmente salvando miles de vidas). Pero también fue responsable de hacer que el ya devastador teorema de incompletitud de Gödel sea aún más oscuro y desalentador, y es principalmente en esto, y en el desarrollo de la computación que dio lugar a su trabajo, donde descansa el legado matemático de Turing.
Aunque asistió a una costosa escuela privada que tenía un fuerte énfasis en los clásicos más que en las ciencias, Turing mostró los primeros signos del genio que se volvería más importante más adelante, resolviendo problemas avanzados en la adolescencia sin siquiera haber estudiado cálculo elemental y sumergirse en el complejo matemático de la obra de Albert Einstein. Se convirtió en un ateo confirmado después de la muerte de su amigo íntimo y camarada de Cambridge, Christopher Morcom, y durante toda su vida fue un corredor de fondo consumado y comprometido.
En los años transcurridos desde la publicación del Teorema de incompletitud de Gödel, Turing quería desesperadamente aclarar y simplificar el teorema bastante abstracto y abstruso de Gödel, y hacerlo más concreto. Pero su solución, que se publicó en 1936 y que luego afirmó que le llegó en una visión, en realidad involucró la invención de algo que dio forma a todo el mundo moderno, la computadora.
máquina de Turing
Representación de una máquina de Turing
Durante la década de 1930, Turing reformuló la incompletitud en términos de computadoras (o, más precisamente, un dispositivo teórico que manipula símbolos, conocido como el máquina de Turing), reemplazando el lenguaje formal universal basado en la aritmética de Gödel por este dispositivo formal y simple. Primero demostró que tales La máquina sería capaz de realizar cualquier cálculo matemático imaginable. si fuera representable como un algoritmo. Continuó demostrando que incluso para una máquina tan lógica, impulsada principalmente por la aritmética, todavía habría problemas que nunca podrían resolver, y que una máquina alimentada por tal problema nunca dejaría de intentarlo. Lo resolvería, pero nunca lo lograría. (conocido como “problema de apagado”).
En el proceso, también demostró que no había forma de decir de antemano qué problemas eran los problemas no probables, proporcionando así evidencia negativa al llamado Entscheidungsproblem o “problema de decisión», Planteado por David Hilbert en 1928. Fue una nueva bofetada para una comunidad matemática que aún se tambaleaba por el aplastante teorema de incompletitud de Gödel.
Después de la guerra, Turing continuó el trabajo que había comenzado y trabajó en el desarrollo de las primeras computadoras como ACE (Automatic Computing Engine) y Manchester Mark 1. Aunque la computadora que desarrolló era una máquina muy básica y limitada por los estándares modernos, Turing vio claramente su potencial y soñó que algún día las computadoras serían más que máquinas, capaces de aprender, pensar y comunicarse. Fue el primero en desarrollar ideas para un programa informático de ajedrez y vio el dominio del juego como uno de los objetivos por los que deberían luchar los diseñadores de máquinas inteligentes.
prueba de Turing
prueba de Turing
De hecho, fue el primero en abordar el problema de la inteligencia artificial y propuso un experimento ahora conocido como prueba de Turing en un intento de definir un estándar para que una máquina llame “inteligente“. Mediante esta prueba, se podría decir que una computadora”pensarSi eso pudiera engañar a un interrogador humano haciéndole creer que la conversación fue con un humano. Mostró una previsión notable en una era mucho antes de Internet, cuando las únicas computadoras disponibles eran del tamaño de una habitación y menos poderosas que una calculadora de bolsillo moderna.
Filosofía personal de Turing era estar libre de hipocresía, compromiso y engaño. Él era, por ejemplo, homosexual en un momento en que era ilegal e incluso peligroso, pero nunca lo ocultó ni lo convirtió en un problema. A diferencia de Gödel (que era un firme creyente en el poder de la intuición y que estaba convencido de que la mente humana era capaz de trascender los límites de los sistemas que describía), Turing sentía claramente una cierta afinidad con las computadoras y, en cierto sentido, con To en cierta medida, vio esta admirable ausencia de mentiras o hipocresía como epítome.
Después de la guerra fue puesto bajo vigilancia por las autoridades como un riesgo potencial para la seguridad y finalmente, en 1952, fue arrestado, acusado y condenado por cometer un acto homosexual. Como resultado, fue castrado químicamente con una inyección de estrógeno, una hormona femenina, que hizo que sus senos se agrandaran y también afectó su mente. En 1954, Turing fue encontrado muerto, aparentemente habiéndose suicidado con cianuro.
Los primeros egipcios se establecieron a lo largo del fértil valle del Nilo ya alrededor del 6000 a. C., y comenzaron a registrar patrones de fases y estaciones lunares, tanto por razones agrícolas como religiosas.
Los topógrafos del faraón usaron medidas basadas en partes del cuerpo (una palma era el ancho de la mano, un codo la medida desde el codo hasta la punta de los dedos) para medir tierras y edificios muy temprano en la historia de Egipto, y se ha desarrollado un sistema numérico decimal basado en nuestros diez dedos. Sin embargo, el texto matemático egipcio más antiguo descubierto hasta la fecha es el Papiro de Moscú, que data del Reino Medio de Egipto alrededor de 2000 – 1800 a. C.
Sistema numérico del antiguo Egipto
Se cree que los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración Base 10 completamente desarrollado al menos ya en el 2700 a. C. (y probablemente mucho antes). Los números escritos usaban un trazo para las unidades, un símbolo del hueso del talón para las decenas, una bobina de cuerda para cientos y una planta de loto para miles, así como otros símbolos jeroglíficos para poderes superiores que iban desde diez hasta un millón. Sin embargo, no existía el concepto de valor posicional, por lo que los números más grandes eran bastante difíciles de manejar (aunque un millón solo requería un carácter, un millón menos uno requería cincuenta y cuatro caracteres).
Método de multiplicación del Antiguo Egipto
El papiro de Rhind, que data de alrededor del 1650 a. C. También contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluidas fracciones unitarias, números primos y compuestos, medias aritméticas, geométricas y armónicas, y cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series geométricas y aritméticas. El papiro de Berlín, que data de alrededor del 1300 a. C., muestra que los antiguos egipcios podían resolver ecuaciones algebraicas (cuadráticas) de segundo orden.
La multiplicación, por ejemplo, se logró mediante un proceso de duplicar repetidamente el número a multiplicar en un lado y en el otro, esencialmente una especie de multiplicación de factores binarios similar a la utilizada por las computadoras modernas (ver el ejemplo a la derecha). Estos bloques contadores correspondientes podrían usarse luego como una especie de tabla de referencia de multiplicación: primero, se aisló la combinación de potencias de dos que suman el número por multiplicar, luego los bloques contadores correspondientes del otro lado dieron la respuesta. Hizo un uso eficaz del concepto de números binarios, más de 3.000 años antes de que Leibniz lo introdujera en Occidente, y muchos años más antes de que el desarrollo de la computadora explorara plenamente su potencial.
Los problemas prácticos del comercio y el mercado llevaron al desarrollo de una notación para fracciones. Los papiros que nos han llegado demuestran el uso de fracciones unitarias basadas en el símbolo del ojo de Horus, donde cada parte del ojo representaba una fracción diferente, cada mitad de la anterior (es decir, mitad, cuarto, octavo, decimosexto, treinta -segundo, sesenta y cuatro), de modo que el total era un sesenta y cuatro menos que un todo, el primer ejemplo conocido de una serie geométrica.
Método de división del Antiguo Egipto
Las fracciones unitarias también se pueden usar para sumas de división simple. Por ejemplo, si dividieran 3 panes entre 5 personas, primero dividirían dos de los panes en tercios y el tercero en quintos, luego dividirían el tercio restante del segundo pan en cinco partes. De modo que cada persona recibiría un tercio más un quinto más un quinceavo (que son tres quintos, como cabría esperar).
Los egipcios aproximaron el área de un círculo usando formas cuya área conocían. Observaron que el área de un círculo con un diámetro de 9 unidades, por ejemplo, estaba muy cerca del área de un cuadrado con un lado de 8 unidades, por lo que el área de círculos de otros diámetros podría ser obtenido multiplicando el diámetro por 8??9 luego cuadrándolo. Esto da una aproximación eficiente de ?? con una precisión del uno por ciento.
Las pirámides mismas son otro indicio de la sofisticación de las matemáticas egipcias. Aparte de las afirmaciones de que las pirámides son las primeras estructuras conocidas que observan la proporción áurea de 1: 1.618 (lo que puede haber sucedido por razones puramente estéticas, no matemáticas), ciertamente hay alguna evidencia de que conocían la fórmula del volumen de una pirámide. – 1??3 multiplicado por la altura multiplicada por el largo multiplicado por el ancho, así como una pirámide truncada o cortada.
También eran conscientes, mucho antes de Pitágoras, de la regla de que un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades da un ángulo recto perfecto, y los constructores egipcios usaban cuerdas atadas a intervalos de 3, 4 y 5 unidades para ‘ asegurar ángulos correctos para su mampostería (de hecho, el triángulo rectángulo 3-4-5 a menudo se llama “egipcio”).
