Suponga que A es una línea equivalente a B. Encuentre bases para Null A y Col A.

1658353959 SOM Questions and Answers

[ A = begin{bmatrix} 4 & -3 & -17 & 27 \ 2 & 3 & 5 & -9 \ -8 & -9 & -11 & 21 end{bmatrix} ]

[ B = begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \ 0 & 1 & 3 & -5 \ 0 & -15 & -45 & 75 end{bmatrix} ]

Esta pregunta tiene como objetivo definir la espacio nulo representando el todo de todos soluciones de la ecuación homogénea y espacio de columna que representa el rango de un vector dado.

Los conceptos necesarios para resolver esta pregunta son espacio nulo, espacio columna, ecuación homogénea de vectores, y transformaciones lineales. El espacio nulo de un vector. se escribe $Nul A$, un conjunto de todas las posibles soluciones al ecuación homogénea $Ax=0$. El espacio de columnas de un vector se escribe $Col A$, que es el conjunto de todos combinaciones lineales Dónde intervalo de la matriz dada.

Respuesta experta

Para calcular la $Col A$ y la $Nul A$ del dado vector $A$, necesitamos el vector forma escalonada reducida en línea. El vector $B$ es el matriz equivalente de fila de $A$, que viene dado por:

[ B = begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \ 0 & 1 & 3 & -5 \ 0 & -15 & -45 & 75 end{bmatrix} ]

Aplicar operación de línea como:

[ R_3 = R_3 + 15R_2 ]

[ B = begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \ 0 & 1 & 3 & -5 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} ]

Ahora la matriz $B$ es la formulario de escalón reducido en línea de $A$. Se puede escribir en forma de ecuación de la siguiente manera:

[ x_1 – 2x_3  + 3x_4 = 0 hspace{0.3in} longrightarrow hspace{0.3in} x_1 = 2x_3 – 3x_4 ]

[ x_2 + 3x_3  – 5x_4 = 0 hspace{0.3in} longrightarrow hspace{0.3in} x_2 = -3x_3 + 5x_4 ]

Aquí, $x_3$ y $x_4$ son los variables libres.

[ x_3 begin{bmatrix} 2 \ -3 \ 1 \ 0 end{bmatrix} + x_4  begin{bmatrix} -3 \ 5 \ 0 \ 1 end{bmatrix} ]

los base para $Nul A$ están dadas por:

[ begin{bmatrix} 2 \ -3 \ 1 \ 0 end{bmatrix} , begin{bmatrix} -3 \ 5 \ 0 \ 1 end{bmatrix} ]

Hay dos rotar columnas en el peldaño reducido forma matricial $A$. Por lo tanto, la base por $Col A$ son aquellos Dos columnas de la matriz original que vienen dadas por:

[ begin{bmatrix} 2 \ -8 \ 4 end{bmatrix} , begin{bmatrix} 3 \ 9 \ -3 end{bmatrix} ]

Los resultados numéricos

los base para $Nul A$ están dadas por:

[ begin{bmatrix} 2 \ -3 \ 1 \ 0 end{bmatrix} , begin{bmatrix} -3 \ 5 \ 0 \ 1 end{bmatrix} ]

los base para $Col A$ están dadas por:

[ begin{bmatrix} 4 \ 2 \ -8 end{bmatrix} , begin{bmatrix} -3 \ 3 \ -9 end{bmatrix} ]

Ejemplo

Matriz $B$ se da como peldaño reducido forma de la matriz $A$. Encuentra $Nul A$ de matriz $A$.

[ A = begin{bmatrix} 4 & -3 & -17 \ 2 & 3 & 5 end{bmatrix} ]

[ B = begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \ 0 & 1 & 3 end{bmatrix} ]

los solución paramétrica se da de la siguiente manera:

[ x_1 – 2x_3 = 0 longrightarrow x_1 = 2x_3 ]

[ x_2 + 3x_3 = 0 longrightarrow x_2 = -3x_3 ]

[ begin{bmatrix} 2 \ -3 \ 1 end{bmatrix} ]

lo que precede matriz de columnas es el $Nul A$ de lo dado matriz $A$.