Supongamos que está subiendo una colina cuya forma viene dada por la ecuación z=100 – 0.05x^2 – 0.1y^2, donde x,y y z se miden en metros, y está parado en un punto de coordenadas (60, 50, 1100). El eje x positivo apunta al este y el eje y positivo apunta al norte. Si camina hacia el sur, ¿comenzará a subir o bajar? ¿A que precio?

1658439761 SOM Questions and Answers

La pregunta tiene como objetivo encontrar el dirección si la la persona empieza a caminando en razón de sur, si la persona va subir Dónde para ir abajo, y a que evaluar.

Esta pregunta se basa en el concepto de derivadas direccionales. los derivado direccional es el producto escalar de la Pendiente de la función con su vector unitario.

Respuesta experta

Lo dado función para el forma de la Cerro se da de la siguiente manera:

[ f(x, y) = 100 – 0.05x^2 – 0.01y^2 ]

los punto de coordenadas Dónde estas ahora vertical se da de la siguiente manera:

[ P = (60, 50, 1100) ]

Podemos saber si la persona caminando adeudado sur es ascendente Dónde descendiendo al encontrar el derivado direccional de f a punto P a lo largo de la dirección de v-vector. los derivado direccional de F se da de la siguiente manera:

[ D_u f(x, y) = triangledown f(x, y) . u ]

aquí es un vector unitario en el dirección de v-vector. A medida que nos movemos debido sur, la direccion de la v-vector se da de la siguiente manera:

[ v = 0 hat {i} – hat {j} ]

los vector unitario se convertirá:

[ u = dfrac{ overrightarrow {v} }{ |v| } ]

[ u = dfrac {1} {1} [0, -1] ]

los Pendiente de la función F se da de la siguiente manera:

[ triangledown f(x, y) = [ f_x(x, y), f_y(x, y) ] ]

los gradiente x de la función F se da de la siguiente manera:

[ f_x(x, y) = – 0.1x ]

los gradiente y de la función F se da de la siguiente manera:

[ f_y(x, y) = – 0.02y ]

Por lo tanto, la Pendiente se convierte en:

[ triangledown (x, y) = [ – 0.1x, – 0.02y ] ]

Sustituyendo los valores de X y allá de indicar PAGS en la ecuación anterior, obtenemos:

[ triangledown (60, 50) = [ – 0.1 (60), – 0.02 (50) ] ]

[ triangledown (60, 50) = [ – 6, – 1 ] ]

Ahora reemplaza los valores de la ecuación con derivado direccional, se tiene:

[ D_u f(60, 50) = [ -6, -1 ] . d frac {1} {1} [ 0, -1 ] ]

[ D_u f(60, 50) = 0 + 1 = 1 ]

Como $D_u f gt 0$, la persona que se muda debe sur estarán subir a evaluar de 1m/s

resultado numérico

los derivado direccional de la función F al punto PAGS es mayor que cero Dónde positivo, lo que significa que la persona es ascendente mientras camina porque sur a esta velocidad 1m/s

Ejemplo

Supongamos que eres escalada a Montaña y su forma viene dada por la ecuación $z = 10 – 0.5x^2 – 0.1y^2$. Estás parado en el punto (40, 30, 500). Lo positivo eje y puntos Norte todo positivo eje x puntos es. Si caminas hacia sur, Vas a ir subir Dónde ¿para ir abajo?

los derivado direccional se da de la siguiente manera:

[ D_u f(x, y) = triangledown f(x, y) . u ]

los Pendiente de la función está dada por:

[ triangledown (x, y) = [ -1x, -0.2y ] ]

Sustituyendo los valores de X y allá punto PAGS en la ecuación anterior, obtenemos:

[ triangledown (40, 30) = [ – 0.1 (40), – 0.02 (30) ] ]

[ triangledown (40, 30) = [ – 4, – 6 ] ]

Ahora reemplaza los valores de la ecuación con derivado direccional, se tiene:

[ D_u f(60, 50) = [ -4, -6 ] . d frac{1} {1} [ 0, -1 ] ]

[ D_u f(60, 50) = 0 + 6 = 6 ]

Si la persona camina hacia sur, la persona caminará subida Dónde Ascendente.