Supongamos que una población crece de acuerdo con la ecuación logística.

1654802786 SOM Questions and Answers
  • La ecuación logística viene dada por:

[ dfrac{dP}{dt} = 0.05P + 0.0005(P)^2 ]

Donde el tiempo $t$ se mide en semanas.

  • ¿Cuál es la capacidad de carga?
  • ¿Cuál es el valor de $k$?

Esta pregunta tiene como objetivo explicar la capacidad de carga $K$ y el valor del coeficiente de tasa de crecimiento relativo $k$ de la ecuación logística que está dada por:

[ dfrac{dP}{dt} = 0.05P + 0.0005(P)^2 ]

Las ecuaciones diferenciales logísticas se utilizan para modelar el crecimiento de poblaciones y otros sistemas que tienen una función exponencialmente creciente o decreciente. Una ecuación diferencial logística es una ecuación diferencial ordinaria que genera una función logística.

El modelo logístico del crecimiento de la población está dado por:

[ dfrac{dP}{dt} = kP(1 – dfrac{P}{k} ) ]

Dónde:

$t$ es el tiempo que tarda la población en crecer.

$k$ es el coeficiente de la tasa de crecimiento relativa.

$K$ es la capacidad de carga de la ecuación logística.

$P$ es la población después del tiempo $t$.

La capacidad de carga $K$ es el valor límite de la población dada cuando el tiempo tiende a infinito. La población siempre debe tender hacia la capacidad de carga $K$. El coeficiente de tasa de crecimiento relativo $k$ determina la tasa de crecimiento de la población.

Respuesta experta:

La ecuación logística general para una población viene dada por:

[ dfrac{dP}{dt} = kP(1 – dfrac{P}{k} ) ]

La ecuación diferencial logística para dicha población viene dada por:

[ dfrac{dP}{dt} = 0.05P + 0.0005(P)^2 ]

Para calcular la capacidad de carga $K$ y el coeficiente de tasa de crecimiento relativo $k$, modifiquemos la ecuación logística dada.

[ dfrac{dP}{dt} = 0.05P(1 + 0.01P ) ]

[ dfrac{dP}{dt} = 0.05P(1 + dfrac{P}{100} ) ]

Ahora compáralo con la ecuación logística general.

El valor de la capacidad de carga $K$ viene dado por:

[ K = 100 ]

El valor del coeficiente de crecimiento relativo $k$ viene dado por:

[ k = 0.05 ]

Solución alternativa:

Al comparar los dos valores que da la ecuación,

El valor de la capacidad de carga $K$ es:

[ K = 100 ]

El valor del coeficiente de crecimiento relativo es:

[ k = 0.05 ]

Ejemplo:

Supongamos que una población crece de acuerdo con la ecuación logística dada:

[ dfrac{dP}{dt} = 0.08P  – 0.0008(P)^2 ] donde t se mide en semanas.

(a) ¿Cuál es la capacidad de carga?

(b) ¿Cuál es el valor de k?

La ecuación logística dada para la población es:

[ dfrac{dP}{dt} = 0.08P –  0.0008(P)^2 ]

Donde el tiempo se cuenta en semanas.

La ecuación logística para cualquier población se define como sigue:

[ dfrac{dP}{dt} = kP(1 – dfrac{P}{k} ) ]

Donde $k$ es el coeficiente de crecimiento relativo y $K$ es la capacidad de carga de la población.

Para calcular los valores de la capacidad de carga y los coeficientes de crecimiento relativo, modifiquemos la ecuación logística dada para la población.

[ dfrac{dP}{dt} = 0.08P – 0.0008(P)^2 ) ]

[ dfrac{dP}{dt} = 0.08P( 1 – 0.01P ) ]

[ dfrac{dP}{dt} = 0.08P( 1 – dfrac{P}{100} ) ]

Comparando la ecuación nos da:

[ K = 100 ]

[ k = 0.08 ]

Por lo tanto, el valor de la capacidad de carga $K$ es 100$ y el valor del coeficiente de crecimiento relativo $k$ es 0,08$.