Tangente – Explicación y Ejemplos

Tangente – Explicación y Ejemplos

En el contexto de un triángulo rectángulo, podemos simplemente definir el tangente función o cualquier otra función trigonométrica usando los términos hipotenusa, opuesto y adyacente en un triángulo rectángulo. ¿Eso parece interesante? Sí lo es. Pero, ¿cómo definir el función tangente utilizando un triángulo rectángulo?

La función tangente se define determinando la relación entre la longitud del lado opuesto a un ángulo de referencia (ángulo agudo) de un triángulo rectángulo y la longitud del lado adyacente de un triángulo rectángulo.

Después de estudiar esta lección, debemos aprender los conceptos que implican estas preguntas y estar capacitados para dar respuestas precisas, específicas y coherentes a estas preguntas.

  • ¿Qué es una función tangente?
  • ¿Cómo determinar la fórmula de la función tangente de un triángulo rectángulo?
  • ¿Cómo podemos resolver problemas del mundo real usando funciones trigonométricas?

Esta lección tiene como objetivo aclarar cualquier confusión que pueda tener sobre los conceptos relacionados con la función tangente.

¿Qué es la tangente?

Dentro de un triángulo, el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Para un ángulo $alpha$, el función tangente se denota $tan alpha$. En otras palabras, el tangente es un Funcion trigonometrica desde cualquier ángulo dado.

La figura 5-1 a continuación muestra un triángulo rectángulo típico. Las longitudes de los tres catetos (lados) del triángulo rectángulo se denominan $a$, $b$ y $c$. Los ángulos opuestos a las ramas de longitudes $a$, $b$ y $c$ se denominan $alpha$, $beta$ y $gamma$. El pequeño cuadrado de la esquina $gamma$ indica que es un ángulo recto.

Figure 5 1 A right triangle with the reference angle Alpha

Utilice el diagrama de la Figura 5-1 para determinar la función tangente desde el ángulo $alpha$.

Observando la Figura 5-1, podemos determinar el función tangente del triángulo rectángulo si dividimos la longitud del lado opuesto al ángulo de referencia $alpha$ (ángulo agudo) por la longitud del lado adyacente.

La siguiente figura 5-2 representa un función tangente.

Figure 5 2 shows tangent of angle Alpha

Mirando la Figura 5-2, podemos identificar que el lado de longitud $a$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $b$ es el lado adyacente quien miente justo al lado de el ángulo de referencia $alpha$. De este modo,

Opuesto = $a$

Contiguo = $b$

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $alfa$ es

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Función tangente desde el punto de vista del ángulo $beta$

Deberíamos ser Cuidado cuando aplicamos los términos opuesto y adyacente porque el significado de estos términos depende del ángulo de referencia que estemos usando.

La siguiente figura 5-3 representa un triángulo rectángulo típico de la ángulo de visión $beta$.

Figure 5 3 A right triangle with the reference angle Beta

Puede observar que ahora se han cambiado los roles de las partes.

Mirando la Figura 5-3, ahora está claro que la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $b$ es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$. Así, con respecto al ángulo que mide $beta$, ahora tenemos

Contiguo = $a$

Opuesto = $b$

Mientras que la hipotenusa $c$ sigue siendo la misma. Por eso la hipotenusa es muy especial en un triángulo rectángulo.

La siguiente figura 5-4 representa un función tangente desde ángulo de visión $beta$.

Figure 5 4 shows cosine of angle Beta

Mirando la Figura 5-4, podemos identificar que el lado de longitud $b$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$. De este modo,

Opuesto = $b$

Contiguo = $a$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

¿Cuál es la fórmula de la tangente?

La siguiente figura 5-5 ilustra un Comparación cómo determinamos las proporciones de función tangente desde perspectiva desde dos ángulos$alfa$ y $beta$.

Figure 5 5 shows a comparison of cosine function with the reference angles alpha beta

La comparación indica claramente que la función tangente se define como la relación que se obtiene al dividir la longitud del lado opuesto al mencionado ángulo de referencia por la longitud del lado adyacente.

Aquí mismo:

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De la misma forma,

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

De este modo,

${displaystyle tan beta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

¿Cómo recordar la fórmula de la función tangente?

Creamos el SOH-CAH-TOA gráfico de lecciones anteriores para recordar fórmulas para funciones trigonométricas. Necesitas memorizar la tercera parte – TOA – palabra clave SOH-CAH-TOA recuerda la fórmula función tangente.

Aquí está la tabla:

SOL

HAC

TOA

Seno

Coseno

Tangente

Delante de la hipotenusa

Adyacente a la hipotenusa

Opuesto por Adyacente

${displaystyle sin theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle cos theta ={frac {mathrm {adyacente} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle tan theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

??

¡ESTÁS AHÍ!

Ejemplo $1$

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

3 Example 1

Solución:

Mirando el diagrama, es claro que la longitud del lado $12$ es la lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$. El lado de longitud $5$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $13$ es el hipotenusa. De este modo,

Contiguo = $ 12

Opuesto = $5$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {5}{12}}}$

Ejemplo 2

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

5 Example 2

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $20$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$. Además, la longitud del lado $29$ es la hipotenusa.

Es necesario determinar la tangente del ángulo $alpha$. Muy bien, aquí está la parte difícil.

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente, pero falta la longitud del lado adyacente. ¿Qué debemos hacer?

Etapa 1: Determine el lado desconocido pero relevante: el lado adyacente.

Para determinar el lado adyacente, necesitamos usar el teorema de Pitágoras,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $a = $20

Hipotenusa $c = $29

Adyacente $b =$ ?

Sustituye $a = $20 y $c = $29 en la fórmula

$29^{2}=20^{2}+b^{2}$

$841=400+b^{2}$

$b^{2}=441$

$b = 21$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es de $21.

2do paso: Determinar la tangente del ángulo. $alfa$.

Ahora tenemos:

Adyacente $= $21

opuesto $= $20

Usar la fórmula de la función tangente

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {20}{21}}}$

Ejemplo 3

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Qué opción representa la razón trigonométrica de ${frac {7}{24}}$?

a) $pecadoalfa$

b) $cosalfa$

c) $bronceadoalfa$

d) $cot alpha$

3 Example 3

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $7$ es el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $24$ es el lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$.

De este modo,

Opuesto = $7$

Contiguo = $24$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {7}{24}}}$

Por lo tanto, la opción c) es la elección real.

Ejemplo 4

En la figura se muestra un triángulo rectángulo.

a) ¿Cuál es el lado que falta aquí desde el ángulo $beta$

b) Determinar la tangente del ángulo $beta$

Solución:

Parte a) Determinación del lado faltante desde el punto de vista del ángulo $beta$

El diagrama indica claramente que $15$ el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y $17$ es la hipotenusa.

Entonces el adyacente Costa este desaparecido desde el punto de vista del ángulo de referencia beta$.

Sea $x$ el lado adyacente faltante.

Usando el teorema de Pitágoras para resolver el lado que falta.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $b = $15

Hipotenusa $c = 17$

Adyacente $a =$ ?

Sustituye $b = $15 y $c = $17 en la fórmula

$17^{2}=a^{2}+$15^{2}

$289=uno^{2}+$225

$a^{2}=64$

$a = 8$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es $8$.

Parte b) Determinación de la tangente del ángulo $beta$

Ahora tenemos:

Adyacente = $8$

Opuesto = $15$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

reemplazar adyacente = $8$, opuesto = $15$ en la fórmula

Por lo tanto, la tangente de ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {15}{8}}}$