Tautología: definición y ejemplos

Tautología: definición y ejemplos

Una tautología es una afirmación lógica que debe ser cierta en todas las circunstancias.

Las pruebas matemáticas se basan en tautologías. Si se basaran en afirmaciones que pudieran estar equivocadas, habría excepciones a las reglas matemáticas.

Todas las ramas de las matemáticas se basan en tautologías. Sin embargo, son particularmente importantes para la lógica.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es una tautología?
  • Definición de tautología
  • Ejemplo de tautología

¿Qué es una tautología?

Una tautología es una afirmación que siempre es cierta.

En el lenguaje común, la tautología es una declaración redundante como “esto es lo que es”. Claramente, esta afirmación sigue siendo cierta.

Sin embargo, matemáticamente, las tautologías son afirmaciones lógicas que son verdaderas independientemente del tema.

Para comprender mejor esto, es útil observar declaraciones que no son tautologías.

Un ejemplo clásico de una declaración que no es una tautología es “Si $ P $, entonces no $ P $. En lógica formal, esta instrucción es $ P rightarrow neg P $.

En este caso, $ P $ es un evento, como “número par” o “lluvia” o “pez”.

Entonces no tiene sentido decir, “Si $ P $, entonces no $ P $”. ¿Cómo puede algo ser un número par y no un número par? ¿Cómo puede llover y no llover al mismo tiempo? Finalmente, ¿cómo puede un animal ser un pez y no un pez?

Las afirmaciones que a veces son verdaderas, pero no siempre, tampoco son tautologías. Un ejemplo de esto es “$ P $ implica $ Q $”.

Si esta afirmación fuera una tautología, sería cierto si $ P $ fuera cierto o $ Q $ fuera cierto. Este no es el caso.

Es necesario utilizar una tabla de verdad para mostrar esto.

Mesa de la verdad

Una tabla de verdad es una tabla que analiza una declaración lógica para determinar las circunstancias en las que es verdadera. El lado izquierdo incluye una columna para cada evento en la declaración y el lado derecho incluye la declaración final.

A veces hay columnas intermedias para los subenunciados en el enunciado final. Por ejemplo, la instrucción $ ( neg P cup neg Q) cup (P cup Q) $ (lea “no $ P $ o no $ Q $ o $ P $ o $ Q $) incluiría columnas para $ P $, $ Q $, $ neg P cup neg Q $, $ P cup Q $ y $ ( neg P cup neg Q) cup (P cup Q) $.

En el caso de $ P rightarrow Q $, sin embargo, solo se necesitan tres columnas ($ P $, $ Q $ y $ P rightarrow Q $).

Truth table p implies q

Si $ P rightarrow Q $, entonces es posible tener situaciones en las que $ P $ y $ Q $ sean ambos verdaderos o falsos (las filas superior e inferior).

También es posible tener una situación en la que $ P $ sea falso, pero $ Q $ siga siendo cierto. Piense, por ejemplo, en la afirmación “Si es un gato, entonces es un mamífero”. En este caso, $ P $ es “gato” y $ Q $ es “mamífero”. Está claro que hay otros mamíferos además de gatos como perros, etc.

Sin embargo, es imposible tener $ P $ pero no $ Q $ si $ P rightarrow Q $. Por tanto, $ P rightarrow Q $ no es una tautología. Su verdad depende de las declaraciones dadas.

Definición de tautología

Una tautología es una afirmación lógica que siempre es verdadera independientemente de los valores verdaderos o falsos de sus componentes.

Cada tautología constará de uno o más eventos, $ P_k $. Si $ P_1, $…, $ P_n $ son verdaderas, entonces la tautología es verdadera. Si $ P_1, $…, $ P_n $ son falsos, entonces la tautología sigue siendo cierta. Y si hay una combinación de verdadero y falso entre los eventos $ P_k $, la tautología siempre es verdadera.

Ejemplo de tautología

El ejemplo más simple de tautología es $ P cup neg P $, que se lee como “$ P $ o no $ P $”.

En lógica, todos los eventos son verdaderos o falsos. No hay término medio. Por lo tanto, tiene sentido si un evento $ P $ lo es o no.

En esta tabla de verdad, solo hay un evento, $ P $. También está el subevento, $ neg P $, y la instrucción en sí, $ P cup neg P $. Por lo tanto, esta es solo una tabla a $ 3 por $ 3.

p not p truth table

En este caso, el valor de verdad de $ neg P $ depende del valor de verdad de $ P $. Por lo tanto, es imposible que $ P $ y $ neg P $ tengan el mismo valor de verdad.

Entonces, las únicas dos opciones son que $ P $ sea verdadero o $ P $ sea falso. Cuando $ P $ es verdadero, $ P cup neg P $ es verdadero. Cuando $ P $ es falso, $ neg P $ es verdadero, entonces $ P cup neg P $ siempre es verdadero.

Entonces, ya sea que $ P $ sea verdadero o falso, $ P cup neg P $ es verdadero. Esto significa que $ P cup neg P $ es una tautología.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de tautologías y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Utilice la tabla de verdad dada para determinar si la relación $ (Q rightarrow P) cup (P rightarrow Q) $ es una tautología o no.

Tautology example 1 truth table

Solución

Una tautología es cierta en todas las circunstancias. Por tanto, en una tabla de verdad, la tautología siempre será cierta. Es decir, todas las columnas siguientes tendrán una “T”.

En este caso, $ (Q rightarrow P) cup (P rightarrow Q) $ tiene todas las T a continuación. Es decir, siempre es cierto que $ Q rightarrow P $ es verdadero, $ P rightarrow Q $ es verdadero, o ambos.

Ejemplo 2

“El sábado voy a ver una obra de teatro o voy a cenar y ver una obra de teatro”.

Convierte esta oración en notación lógica. ¿Denota una tautología? ¿Por qué o por qué no?

Solución

Aquí hay dos eventos. El primero es “Veré una obra de teatro el sábado”. El segundo es “Iré a cenar el sábado”.

Que el primer evento, “Voy a ver una obra de teatro el sábado”, sea $ P $. Que el segundo evento, “Iré a cenar el sábado”, sea de $ Q $.

Entonces la relación es $ P cup (P cap Q) $.

Si $ P $ es verdadera, la relación es verdadera.

Pero, si $ P $ es falso, tanto $ P $ como $ P cap Q $ son falsos. Es decir, la declaración $ P cup (P cap Q) $ es falsa.

Por tanto, la afirmación no es una tautología.

La tabla de verdad para esta relación se ve así:

Tautology example 2 truth table

Ejemplo 3

Cree una tabla de verdad para $ (P cup Q) cup neg P $. ¿Es $ (P cup Q) cup neg P $ una tautología?

Solución

Si $ P $ es verdadero, $ P cup Q $ también lo es.

Si $ P $ es falso, $ neg P $ es verdadero.

Por lo tanto, esta afirmación sigue siendo cierta. La tabla de verdad está debajo.

Example 3 tautology truth table

Tenga en cuenta que esto es esencialmente lo mismo que $ P cup neg P $ con un evento externo, $ Q $ agregado.

Ejemplo 4

El enunciado $ (P rightarrow Q) cup ( neg Q rightarrow neg P) $ no es una tautología. Explique por qué se utilizan eventos reales.

Solución

Sea $ P $ el evento “es un pez” y $ Q $ el evento “él nada” como anteriormente.

Esta afirmación es falsa cuando $ P $ es verdadera y $ Q $ es falsa. En este caso, “es un pez, pero no nada”. Por tanto, es imposible que sea un pez para dar a entender que está nadando.

Asimismo, la afirmación “no nada, por lo tanto no es un pez” tampoco se sostiene. Recuerde que si $ P $ es verdadero y $ Q $ falso se traduce en “es un pez, pero no nada”. Estas dos declaraciones son contradicciones. Entonces, $ neg Q rightarrow neg P $ también es falso cuando $ P $ es verdadero y $ Q $ es falso.

Por lo tanto, ambos enunciados son falsos, por lo que $ (P rightarrow Q) cup ( neg Q rightarrow neg P) $ es falso.

Ejemplo 5

Cree una tabla de verdad para $ P rightarrow Q cap Q rightarrow P $. ¿Es una tautología?

Solución

Como antes, esta afirmación no es una tautología. De hecho, esto solo es cierto cuando $ P $ y $ Q $ tienen los mismos valores de verdad.

También es un error lógico común que una primera cosa implique una segunda, por lo que la segunda implica la primera.

Aquí está la tabla de verdad para esta situación.

tautology example 5 truth table

Las declaraciones $ P rightarrow Q $ y $ Q rightarrow P $ son ambas verdaderas solo cuando $ P $ y $ Q $ tienen el mismo valor de verdad. Por tanto, no es una tautología.

Problemas de práctica

  1. Demuestre que $ (P rightarrow neg P) cup ( neg P rightarrow P) $ es una tautología usando tablas de verdad.
  2. Mostrar que el enunciado “P y Q son ambos verdaderos o P y Q son ambos falsos” no es una tautología. Luego, ilustre esto con un ejemplo del mundo real.
  3. Si un enunciado condicional $ P rightarrow Q $ es verdadero, entonces su contraposición $ neg Q rightarrow neg P $ también lo es. Demuestre esto mostrando $ P rightarrow Q cap neg P rightarrow neg Q cup neg (P rightarrow Q) cap neg ( neg Q rightarrow neg P) $.
  4. Si $ A, B, $ y $ C $ son eventos, ¿es $ (A cap B) cup (A cap C) cup neg A) $ una tautología?
  5. Si $ A, B, $ y $ C $ son eventos, ¿es $ neg A cup ( neg B cup neg C) cup (A cap B cap C) $ una tautología?

Clave de respuesta

  1. p implies not p and vice versa
  2. P and Q or neither

    Considere una situación en la que P es “gato” y Q es “mamífero”. P y Q pueden suceder, pero Q aún puede ser verdadero si P es falso (por ejemplo, un perro).

  3. Contrapositive tautology truth table
  4. Tautology truth table a and b a and c not a

    Esto no es una tautología porque la afirmación no es verdadera cuando $ A $ es verdadera, pero $ B $ y $ C $ son falsas.

  5. Tautology truth table not a or b or c or and

    Sí, debido a que la afirmación es verdadera, sean verdaderas $ A $, $ B $ y $ C $.