Teorema de la bisagra: explicación detallada y ejemplos detallados

El teorema de la bisagra establece que si dos lados de un conjunto dado de dos triángulos son congruentes, el triángulo con un ángulo interno mayor tendrá el tercer lado más largo o el restante.

Tomemos el ejemplo de una grúa con una viga que puede moverse en diferentes ángulos. Ahora supongamos dos grúas tienen la misma longitudy su longitud de haz también es la misma.

La longitud entre la parte superior de la viga y el techo de la grúa será dependen del ángulo creado por el haz.

En este ejemplo, el ángulo formado por las vigas de la grúa es $75^{o}$ y $25^{o}$, respectivamente. Se puede ver en la figura que la distancia entre la parte superior de la viga y la parte superior de la grúa es más grande para la grúa con el ángulo de $ 75 ^ {o} $.

Este tema te ayudará a comprender problemas con la desigualdad triangular y resolverlos usando el teorema de la bisagra.

¿Qué es el teorema de la bisagra?

El teorema de la bisagra es un teorema que compara dos triángulos y establece que si ambos lados de dos triángulos son iguales, entonces la longitud/medida del tercer lado dependerá de la medida del ángulo interior. Cuanto mayor sea el ángulo interior, mayor será la longitud del lado restante. El teorema de la bisagra también se conoce como el teorema de la desigualdad.

Así que en resumen, el triángulo con un ángulo interior más grande también tendrá un tercer lado más largo.

Tomemos el ejemplo de un $triángulo ABC$ y un $triángulo XYZ$. Sean $ AB = XY$ y $ AC = XZ$ mientras que la longitud del lado $BC$ y $YZ$ dependerá del ángulo interior. Por ejemplo, el ángulo interior del $triángulo ABC$ es $30^{o}$ mientras que el ángulo interior del $triángulo XYZ$ es $60^{o}$, entonces los dos triángulos se pueden dibujar como se muestra a continuación:

Ahora toma los mismos triángulos $triangle ABC$ y $triangle XYZ$; se dan las longitudes de los tres lados de los triángulos, y se le pide que diga qué triángulo tiene el mayor ángulo interior. Ambos lados de los triángulos son idénticos, mientras que la longitud del tercer lado varía. Usando el teorema de la bisagra, puedes decir fácilmente que el triángulo con el tercer lado más largo tendrá el ángulo interior más grande. El teorema de la bisagra también se conoce como el teorema de la desigualdad o la desigualdad del teorema de la bisagra.

Cómo usar el teorema de la bisagra

Los siguientes pasos debe tenerse en cuenta mientras usa el teorema de Hinge para comparar triángulos.

1. Identifique los lados similares mirando la marca o midiendo la longitud de los lados. Los lados con las mismas marcas son congruentes entre sí.
2. El siguiente paso es identificar el ángulo interior de los dos triángulos. Si los ángulos son iguales, el postulado SAS establece que los dos triángulos son congruentes, pero si los ángulos difieren, el triángulo con un ángulo interior mayor tendrá un tercer lado más largo.

Prueba del teorema de la bisagra

Para probar el teorema de la bisagra, necesitamos demostrar que si dos lados de un triángulo son similares/congruentes con otro triángulo, entonces el triángulo con mayor ángulo interior tendrá un tercer lado más grande.

Considere esta imagen de una combinación de triángulos:

Demostrar que $PA > AC$, si $PB cong BC$

Prueba del inverso del teorema de la bisagra

Si dos lados de dos triángulos son congruentes, entonces el triángulo con el tercer lado más largo tendrá el ángulo interior más grande. Entonces, en el teorema inverso, tenemos identificar dos lados congruentes de los triángulos dados y probar que el ángulo interior de este triángulo es mayor, cuyo tercer lado es más largo que el otro triángulo.

Para el teorema inverso, adoptaremos un enfoque de prueba indirectaes decir, prueba por contradicción como se describe a continuación:

Considere dos triángulos $triangle ABC$ y $triangle XYZ$.

Dado:

$AB cong XY$

$AC cong XZ$

$BC > YZ$

Probar:

Tenemos que probar que $mángulo A > mángulo X$

Nosotros tomaremos dos supuestos falsos y luego trazar una contradicción contra ellos.

Hipótesis 1:

Si $mángulo A = mángulo X$, entonces podemos decir que $mángulo A cong mángulo X$.

Los dos lados de los triángulos ya son iguales o congruentes entre sí. Entonces, por el postulado SAS, podemos decir que $triangle ABC congXYZ$, pero es en contra de nuestra declaración dadalo que indica que el lado $BC>YZ$ y por tanto los dos triángulos no son congruentes entre sí.

Entonces, usando la hipótesis de $1$, concluimos que $triangle ABC cong XYZ$ y $BC = YZ$.

$BC =YZ$ (con respecto a la declaración dada y entonces no es cierto).

Hipótesis 2:

Si $mángulo A < mángulo X$, entonces por la definición del teorema de la bisagra $ BC < YZ$

Por las declaraciones anteriores sabemos que $AB =XY$ y $AC = XZ$ y por la definición del teorema de Hinge, el tercer lado del triángulo que tiene el ángulo interior más grande sería más largo. En nuestra hipótesis, $mángulo X > mángulo A$, por lo tanto lado $ YZ > BC$.

La conclusión es que el lado $YZ> BC$ está en contra de nuestra declaración dada $BC>YZ$, por lo que se dibuja una contradicción.

Consideramos dos casos en los que $mángulo A$ es igual o menor que $mángulo X$ y ambos resultaron ser falsos, por lo que la única condición real es $mángulo A > mángulo X$.

Así, hemos probado que $mángulo A > mángulo X$.

Aplicaciones del teorema de la bisagra

La principal aplicación del teorema de la bisagra es estudio de desigualdades triangulares. Se puede utilizar para indicar la proximidad de objetos/elementos si forman una forma triangular.

El teorema de la bisagra y el teorema de la bisagra inversa son utilizado por los ingenieros civiles durante su estudio de la tierra, donde intentan determinar la longitud estimada de ciertas áreas.

Ejemplo 1:

Si te dan dos triángulos triangle ABC y triangle XYZ con los siguientes datos:

$AB cong XY$

$AC cong XZ$

$BC = 14$ pulgadas

$mángulo A = 45 ^{o}$

$mángulo X = 60^{o}$

Elija el valor correcto para el lado $YZ$ de los valores que se muestran a continuación.

9$ pulgadas, 10$ pulgadas, 15$ pulgadas y 5$ pulgadas.

Solución:

Gracias al teorema de la bisagra, sabemos que el triángulo que tiene un ángulo interior mayor tendrá el tercer lado más largo en comparación con el otro triángulo. Entonces, en este caso, la longitud del lado $YZ$ debe ser mayor que la del lado $BC$ como $mángulo X$ es mayor que $mángulo A$. Por lo tanto, el valor de $YZ$ es 15.

$YZ = 15$ pulgadas.

Ejemplo 2:

Si te dan dos triángulos $triangle ABC$ y $triangle XYZ$ con los siguientes datos:

$AB cong XY$

$AC cong XZ$

$BC = 14$ pulgadas

$YZ = 9$ pulgadas

$mángulo A = 45 ^{o}$

Elija el valor correcto de $mangle X$ de los valores que se dan a continuación.

$^{o}$50, $^{o}$60, $^{o}$70 y $^{o}$30.

Solución:

Gracias al teorema de la bisagra inversa, sabemos que el triángulo que tiene un tercer lado más largo que el otro triángulo tendrá un ángulo interior mayor. En este caso, largo de lado $BC$ es mayor que la del lado $YZ$, entonces el $mángulo X$ debe ser menor que el de $mángulo A$.

$mángulo X = 30^{o}$

Ejemplo 3:

Debe encontrar la restricción en el valor de “x” usando el teorema de la bisagra para la figura a continuación.

Solución:

Nos dieron dos triángulos, $triangle ABC$ y $triangle XBC$.

O:

$AB cong BX$

$BC cong BC$

$XC = 5 cm$

$mángulo ABC = 60^{o}$ mientras que $mángulo XBC = 50^{0}$

Como $mángulo ABC$ es superior a la de $mangle XBC$, por lo que el valor de “$x$” debe ser mayor que $5$ cm.

$x > 5cm$

Ejemplo 4:

Necesitas encontrar la restricción en el valor de “x” usando el teorema de la bisagra para la misma figura dada en el ejemplo 3. El único cambio es que $XC = x+7$ y $AC = 4x – 8 $

Solución:

Nos dieron dos triángulos, triangle ABC y triangle XBC.

O:

$AB cong BX$

$BC cong BC$

$XC = x + 7cm$

CAD = 4x – $8

$mángulo ABC = 60^{o}$ mientras que $mángulo XBC = 50^{0}$

Como $mángulo ABC$ es superior a la de $mángulo XBC$, por lo que el lado $AC$ debe ser mayor que el lado $XC$

$4x – 8 > x + $7

Restar “$x$” a ambos lados :

$3x – 8 > $7

Agregar “8$$” a ambos lados:

$3 > $15

Al dividir ambos lados por “$3$”:

$x > $5

Cuestiones prácticas:

1. Se dan dos triángulos, $triangle ABC$ y $triangle XBC$, tales que $ AB cong XC$ y $ BCcong BC$. Necesitas comparar el $mangle XCB$ y el $mangle ABC$ usando el teorema de la bisagra.

2. Se dan dos triángulos, $triangle ABC$ y $triangle XBC$, tales que $ AB cong BX$. Necesitas comparar el lado $CX$ y $AC$ usando el teorema de la bisagra inversa.

clave de respuesta:

1.

La longitud de dos lados $BX$ y $AC$ es respectivamente $10$ cm y $9$ cm, mientras que el lado $AB$ es igual a $XC$ y $BCcong BC$ por propiedad reflexiva. Entonces, gracias al teorema de la bisagra, el triángulo con el tercer lado más largo tendrá el ángulo interior más grande. De este modo$mángulo XCB > mángulo ABC$.

2.

La medida de dos ángulos $mangle ABC$ y $mangle XBC$ está dada por $60^{o}$ y $70^{o}$, respectivamente, mientras que $ ABcong BX$ y $ BC cong BC $ por propiedad reflectante. Entonces, por el teorema inverso de Hinge, el triángulo con un ángulo interior mayor tendrá una longitud mayor para el tercer lado que otros triángulos. Entonces, en este caso, largo de lado $CA