Teorema de la bisectriz perpendicular: explicación y ejemplos

El teorema de la bisectriz perpendicular establece que si un punto se encuentra en la bisectriz perpendicular de un segmento de línea, estará a una distancia igual/equidistante de ambos extremos de ese segmento de línea.

¿Qué es el teorema de la bisectriz perpendicular?

El teorema de la bisectriz perpendicular es un teorema que establece que si tomamos cualquier punto en la bisectriz perpendicular de un segmento de línea, entonces este punto será equidistante de ambos extremos del segmento de línea. Esto se ilustra en la siguiente figura.

¿Qué es el teorema de la bisectriz perpendicular?

Por el teorema de la bisectriz perpendicular:

CA$ = BC$

$DA = DB$

$EA = EB$

bisectriz perpendicular

Considere dos segmentos de línea, “$AB$” y “$CD$”. Si los dos segmentos se intersecan en un ángulo de $90^{o}$, entonces son perpendiculares entre si.

Si el segmento de recta “$AB$” se interseca con el segmento de recta “$CD$” de tal manera que divide al segmento de recta “$CD$” en dos partes iguales, entonces diremos que estas dos rectas se cortan por la mitad . Por lo tanto, si el segmento de línea “$AB$” biseca al segmento de línea “$CD$” en un ángulo de $90^{o}$, esto nos dará la bisectriz perpendicular.

higuera del teorema de la bisectriz

Notar: En el ejemplo anterior, podemos tomar una línea o un rayo en lugar del segmento de línea “$AB$” siempre y cuando biseque el segmento de línea “$CD$” en un ángulo de $90^{o}$. Pero no podemos tomar una línea/rayo en lugar del segmento de línea “$CD$” porque una línea/rayo tiene una longitud infinita y no se puede dividir en dos mitades iguales.

Cómo usar el teorema de la bisectriz perpendicular

Podemos usar el teorema de la bisectriz perpendicular para encontrar las longitudes que faltan de los lados de un triángulo si ya se proporcionaron suficientes datos sobre el triángulo. El teorema de la bisectriz perpendicular también se puede usar con otros teoremas para resolver las longitudes de un triángulo.

Considere el ejemplo de una torre de vigilancia meteorológica erigida en un ángulo de 90 $^{o}$ en el centro de un campo. El terreno tiene 800$m de largo, mientras que la altura de la torre es de 250$m, y queremos conectar dos cables de sujeción desde la parte superior de la torre hasta el final del suelo. Teorema de la bisectriz perpendicular y teorema de Pitágoras nos ayudará a determinar la longitud de los cables de sujeción.

La torre es como una bisectriz perpendicular al terreno, por lo que divide la tierra en dos partes iguales de $400 metros. La altura de la torre es de 250 metros, así que calculemos la longitud de un hombre usando el teorema de Pitágoras.

$c^{2}= 400^{2} + 250^{2}$

$c^{2} = 160 000 + $62 500

$c^{2} = $222,500

$c = sqrt{222,500} = 472$ metro aprox.

Sabemos que cualquier punto de la mediatriz es equidistante de ambos extremospor lo que la longitud del otro tipo también es de aproximadamente $ 472 metros.

Usamos el teorema de la bisectriz perpendicular para calcular la longitud que falta de los lados del triangulo en el ejemplo anterior. Las condiciones de uso de la bisectriz son simples y puede enunciarse de la siguiente manera:

  1. La recta, el rayo o el segmento de recta debe bisecar al otro segmento de recta en un ángulo de $90^{o}$.
  2. Debemos tener suficientes datos sobre el problema a resolver para los lados restantes del triángulo.

Prueba del teorema de la bisectriz perpendicular

Esta es una prueba bastante simple. Dibujemos una bisectriz en el segmento de línea XY. El lugar donde la bisectriz toca el segmento de línea es My tenemos que probar que las rectas trazadas desde el punto C de la bisectriz hasta los extremos X e Y son congruentes o iguales entre sí.

higuera bisectriz perpendicular

Si asumimos que la línea CM es una bisectriz perpendicular del segmento de línea XY, significa biseca el XY en uno $90^${0} ángulo y el punto M es el punto medio del segmento de recta XY. Luego, por la definición de bisectriz perpendicular, hemos dividido el segmento de línea en dos partes iguales, por lo que XM y MY son congruentes.

$XM = MI$

Si trazamos dos rectas desde el punto $C$ hasta los extremos de los segmentos de recta $X$ y $Y$, obtendremos dos triángulos rectángulos $XMC$ y $YMC$. Ya hemos concluido que XM y MY son congruentes. Del mismo modo, la longitud de la bisectriz de los dos triángulos también será la misma.

$CM = CM$ (para ambos triángulos)

Hemos establecido que dos lados y un angulo (el de $90^{0}$) de los dos triangulos $XMC$ y $YMC$ son iguales. Entonces, a partir del criterio de congruencia de SAS, sabemos que los ángulos $XMC$ y $YMC$ son congruentes.

Esto nos da la conclusión de que los lados $CX$ y $CY$ son congruentes.

Prueba del teorema de la bisectriz perpendicular de Converse

El teorema de la bisectriz perpendicular inversa invierte la suposición del teorema original. Se afirma que si el punto M es equidistante de los dos extremos del segmento de línea $XY$, es una bisectriz perpendicular a este segmento de línea.

Usando la misma imagen de arriba, si $CX = CY$,

A continuación, debemos probar que $XM = YM$.

Dibuja una línea perpendicular desde el punto $C$ tal que interseque el segmento de línea en el punto M.

Ahora compare $triangle XMC$ y $triangle YMC$:

$CX = CY$

$CM = CM$ (para ambos trenes)

$ángulo XMC = ángulo YMC = 90^{o}$

Entonces $triangle XMC cong triangle YMC$ según el criterio congruente de SAS. Por lo tanto, $XM = YM$ está probado.

Aplicaciones del teorema de la bisectriz perpendicular

Los usos de este teorema son múltiples en nuestra vida diaria, algunos de los cuales incluyen:

1. Es ampliamente utilizado en la construcción de puentes.

2. También se utiliza para erigir torres e instalar cables de sujeción alrededor de ellas.

3. Se utiliza para hacer mesas de distintos tamaños y largos.

Ejemplo 1:

Para la siguiente figura, calcule el valor de “$x$”.

Ejemplo

Solución:

Sabemos que para una bisectriz perpendicular, el lado $AC = BC$.

$6xhespacio{1mm} +hespacio{1mm}12 = 24$

$6x = 24hespacio{1mm} -hespacio{1mm}$12

$6 x = $12

$x = dfrac{12}{6} = 2$

Ejemplo 2:

Resuelva los valores desconocidos del triángulo usando las propiedades del Teorema de la bisectriz perpendicular.

Ex

Solución:

Sabemos que el ángulo donde se biseca la mediatriz es igual a $90^{o}$.

$4xhespacio{1mm} + hespacio{1mm}10 = $90

$4 x = $80

$x = 40^{o}$

La bisectriz dividirá la longitud dada de $40 cm$ en dos partes iguales de $20 cm cada una. Entonces $2y – $4 será igual a $20 cm$.

$2 años – 4 = $20

$2 año = $24

$y = 12 cm$

Ejemplo 3:

Usando las propiedades del teorema de la bisectriz perpendicular, calcula el valor de “x” para la figura a continuación.

bisectriz perpendicular ex

Solución:

De las propiedades del teorema de la bisectriz perpendicular, sabemos que el lado $AB = BC$.

$6xhspace{1mm} +hspace{1mm}4 = 8xhspace{1mm} -hspace{1mm}2$

$8xhspace{1mm} – hspace{1mm}6x = 4hspace{1mm}+hspace{1mm}2$

$2 x = $6

$x = dfrac{6}{2} = 3$

Ejemplo 4:

Calcula las longitudes de los lados desconocidos del triángulo usando el teorema de la bisectriz perpendicular.

bisectriz perpendicular ex

Solución:

De las propiedades del teorema de la bisectriz perpendicular, sabemos que el lado $AD = BD$.

$10xhespacio{1mm} +hespacio{1mm}5 = 15x -25$

$15x – 10x = 5hespacio{1mm}+hespacio{1mm}25$

$5 x = $30

$x = dfrac{30}{5} = 6$

Ejemplo 5:

Mason está de pie en un patio de recreo. El campo de juego se utiliza para jugar al fútbol y tiene un par de postes de portería. La distancia entre los dos postes es de $6$ pulgadas. Supongamos que Mason estaba parado en el punto C, y va en línea recta y termina en el punto M entre los dos polos. Si la distancia de un polo al punto C es $-2xhspace{1mm} +hspace{1mm}6$ y la distancia del otro polo al punto C es $10xhspace{1mm} –hspace{ 1mm} 6$ pulgadas, luego calcula la distancia que recorrió Mason desde el punto C hasta el punto M.

bisectriz perpendicular ex

Solución:

Dibujemos la figura para el problema dado. Cuando Mason se mueve en línea recta desde el punto C hasta el punto M, forma una bisectriz perpendicular a los dos polos. Supongamos que un polo es X y el otro es Y.

$-2x +6 = 10x – $6

$10x + 2x = 6+6$

$12 x = $12

$x = dfrac{12}{12} = 1$

Pon el valor de “$x$” en las dos ecuaciones:

$-2 (1) hspace{1mm}+hspace{1mm} 6 = -2 hspace{1mm}+ hspace{1mm}6 = 4$ pulgadas

$10(1) hspace{1mm}–hspace{1mm} 6 = 10hspace{1mm} – hspace{1mm}6 = 4$ pulgadas

Como m es el punto medio de XY y divide a XY por la mitad en partes igualespor lo que la longitud de XM y YM es igual a $3$ pulgadas cada uno.

Aplicación del teorema de Pitágoras a Calcular la distancia recorrida por Mason desde el punto C al M:

$XC^{2} = XM^{2}hspace{1mm} +hspace{1mm} CM^{2}$

$CM = sqrt{XC^{2}hspace{1mm}- hspace{1mm}XM^{2}}$

$CM = sqrt{4^{2}hspace{1mm}-hspace{1mm} 20^{2}}$

$CM = sqrt{16 hespacio{1mm}-hespacio{1mm} 9}$

$CM = sqrt{7} = aproximadamente $2,65 pulgadas.

Preguntas prácticas

  1. Usando las propiedades del teorema de la bisectriz perpendicular, calcula el valor de “x” para la figura a continuación.
  2. Demostrar que el vértice entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles se encuentra en la mediatriz de la base.

Cuestión práctica

corregido

1.

De las propiedades del teorema de la bisectriz perpendicular, sabemos que el lado $AC = BC$.

$12x hspace{1mm}+hspace{1mm} 4 = 8xhspace{1mm} +hspace{1mm}12$

$12xhspace{1mm} –hspace{1mm} 8x = 12hspace{1mm} –hspace{1mm} 4$

$4 x = $8

$x = dfrac{8}{4} = 2$

2.

Dibujemos una perpendicular desde el vértice $A$ al punto $M$ al segmento de recta $BC$. Como el triángulo es isósceles, $AB$ y CAD$ son iguales. Entonces el punto $A$ es equidistante de los extremos de $BC$. Por el teorema de la bisectriz perpendicular inversa,

$BM = CM$

De este modo, el vértice está en la mediatriz de la base $BC$.