Teorema de proporcionalidad triangular: explicación y ejemplos

El teorema de proporcionalidad del triángulo establece que si trazamos una línea paralela a un lado de un triángulo de modo que corte a los dos lados restantes, entonces los dos lados se dividen en la misma proporción o se dividen por igual.

El teorema de proporcionalidad del triángulo también se conoce como el teorema de separación lateral porque divide los dos lados en partes iguales o proporciones iguales.

Este tema lo ayudará a aprender y comprender el concepto del teorema de proporcionalidad triangular, junto con su demostración y los ejemplos numéricos asociados.

¿Qué es el teorema de proporcionalidad del triángulo?

El teorema de proporcionalidad del triángulo es un teorema que establece que si trazamos una línea paralela a un lado de un triángulo de modo que corte a los dos lados restantes, entonces los dos lados se dividen por igual. Si se dibuja una línea paralela a un lado de un triángulo, se llama segmento de la línea media del triángulo.

El segmento medio de un triangulo divide los dos lados del triangulo en proporciones iguales según el teorema de proporcionalidad del triángulo.

en geometría, dos dígitos pueden ser similares, incluso si tienen diferentes longitudes o dimensiones. Por ejemplo, no importa cuánto difiera el radio de un círculo de otro círculo, la forma se ve igual. Lo mismo ocurre con un cuadrado: independientemente del perímetro de un cuadrado, las formas de los diferentes cuadrados se ven iguales aunque las dimensiones varíen.

Cuando discutimos las similitudes de dos o más triángulos, entonces se deben cumplir ciertas condiciones para que los triángulos se declaren semejantes:

1. Los ángulos correspondientes de los triángulos deben ser iguales.

2. Los lados correspondientes de los triángulos comparados deben ser proporcionales entre sí.

Por ejemplo, si comparamos $triángulo ABC$ con $triángulo XYZ$, entonces se dirá que estos dos triángulos son semejantes si:

1. $ángulo A$ = $ángulo X$ , $ángulo B$ = $ángulo Y$ y $ángulo C$ = $ángulo Z$

2. $dfrac{AB}{XY}$ = $dfrac{BC}{YZ}$ = $dfrac{CA}{ZX}$

Considere este $triángulo XYZ$. Si trazamos una línea $CD$ paralela al lado $YZ$ del triángulo, entonces por la definición del teorema de proporcionalidad del triángulo, el informe de $XC$ para $CY$ sería igual a la razón de $XD$ para $DZ$.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

Teorema de proporcionalidad triangular fig

Cómo usar el teorema de proporcionalidad del triángulo

Los siguientes pasos debe tenerse en cuenta mientras resuelve problemas usando el teorema de proporcionalidad triangular:

  1. Identifica la recta paralela que interseca los dos lados del triángulo.
  2. Identifica triángulos semejantes. Podemos identificar triángulos similares comparando la proporción de los lados de los triángulos o usando el teorema de similitud AA. AA o ángulo, el teorema de similitud de ángulos establece que si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de los otros triángulos, entonces los dos triángulos son similares.
  3. Identifica los lados correspondientes de los triángulos.

Demostración del teorema de proporcionalidad del triángulo

Si se dibuja una línea paralela a un lado de un triángulo para que corte a los otros dos lados, entonces por el teorema de proporcionalidad del triángulo, ambos lados se dividen en proporciones iguales. Necesitamos demostrar que $dfrac{XC}{CY}$ = $dfrac{XD}{DZ}$ para el siguiente triángulo.

Teorema de proporcionalidad triangular fig

No Señor

Declaración

Las razones

1. $ángulo XCDcong ángulo XYZ$ Rectas paralelas forman ángulos congruentes
2. $triángulo XYZ cong triángulo XCD$ La semejanza AA indica que si dos ángulos de los dos triángulos son idénticos, son congruentes.
3. $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ $triangle XYZ cong triangle XCD$, por lo que los lados correspondientes de los dos triángulos son semejantes.
4. $dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$ Aplicación de la propiedad recíproca

Prueba del teorema de proporcionalidad del triángulo de Converse

El teorema de proporcionalidad del triángulo inverso establece que si una línea corta ambos lados de un triángulo para dividirlos en proporciones iguales, entonces esta recta es paralela al tercer o último lado del triángulo.

Tome el mismo número que se usó en la prueba del teorema de proporcionalidad del triángulo. Damos que $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ y tenemos que probar CD $ || YZ$.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

Tomamos el reverso y obtenemos:

$dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$

Ahora agrega “$1$” en ambos lados.

$dfrac{CY}{XC} +1 = dfrac{DZ}{XD} +1$

$dfrac{CY+XC}{XC} = dfrac{DZ+XD}{XD}$

Sabemos que $XY = XC + CY$ y $XZ = DZ + XD$.

$dfrac{XY}{XC} =dfrac{XZ}{XD}$

Dado que $angle X$ está incluido tanto en $triangle XYZ$ como en $triangle XCD$, podemos usar la congruencia SAS para triángulos semejantes para decir que $triangle XYZ cong triangle XCD$. Si los dos triángulos son semejantes, entonces esquina $ánguloXCDcong

Queda pues probado que cuando la recta corta ambos lados de los triángulos en proporciones iguales, es paralela al tercer lado.

Escribe la prueba en forma tabular.

No Señor

Declaración

Las razones

1. $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ Dado
2. $dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$ Aplicación de la propiedad recíproca
3. $dfrac{CY}{XC}+1 = dfrac{DZ}{XD}+1$ Sumar 1 a ambos lados
4. $dfrac{CY+XC}{XC} = dfrac{DZ+XD}{XD}$ Agregar fracciones
5. $dfrac{XY}{XC} =dfrac{XZ}{XD}$ Adición de segmento de línea
6. $ángulo X cong propiedad reflectante
7. $triángulo XYZ cong triángulo XCD$ Propiedad SAS para triángulos semejantes
8. $ángulo XCD cong ángulo XYZ$ Propiedad AA para triángulos semejantes
9. $CD||YZ$ Los ángulos inversos nos dan lados paralelos.

Aplicaciones del teorema de proporcionalidad del triángulo

  1. El teorema de proporcionalidad del triángulo se utiliza con fines de construcción. Por ejemplo, si quieres construir una casa con vigas de soporte triangulares para el techo, usar el teorema de proporcionalidad triangular te ayudará mucho.
  2. Ayuda a construir caminos y cuevas en las montañas triangulares.
  3. Se utiliza en la fabricación de mesas de varios tamaños y longitudes.

Ejemplo 1:

En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $XC = 3 cm$, $CY = 1 cm$ y $XD = 9 cm$. Encuentra la longitud de $DZ$.

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{3}{1} = dfrac{9}{DZ}$

$DZ = dfrac{9}{3}$

$DZ = 3cm$

Ejemplo 2:

En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $XC = 6 cm$, $CY = 1,5 cm$ y $DZ = 3 cm$. Encuentra la longitud de $XD$.

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{6}{1,5} = dfrac{XD}{3}$

$4 = dfrac{XD}{3}$

$XD = 4 x 3$

$DZ = 12 cm$

Ejemplo 3:

Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Ejemplo de teorema de proporcionalidad

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{AX}{XB} = dfrac{AY}{YC}$

$dfrac{3}{6} = dfrac{4}{x-4}$

$ 3 (x-4) = 6veces $4

$ 3x – 12 = $24

$3 = 24 + $12

$3 = $36

$x = dfrac{36}{3} = 12$

Ejemplo 4:

Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Ejemplo de teorema de proporcionalidad

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{6}{1,5} = dfrac{x}{3}$

$4 = dfrac{x}{3}$

$x = 4 veces 3$

$x = 12 cm$

Ejemplo 5:

Un equipo de ingenieros civiles está diseñando un modelo de carretera y quieren construir un túnel dentro de una montaña. Supón que la montaña que detiene el camino parece un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente figura. Se sabe que la altura total de la montaña es de $500 ft.

La distancia desde el punto de partida del túnel hasta la cumbre es de $100 pies. La longitud total del otro lado de la montaña es “$x$”, mientras que conocemos la longitud desde el punto de salida del túnel hasta el pie de la montaña, que es de 500$ft. Necesitas ayudar a los ingenieros a calcular la longitud del tunel.

Solución:

Si resolvemos el triángulo rectángulo usando el teorema de proporcionalidad, se llama teorema de proporcionalidad del triángulo rectángulo.

Sabemos que $AB = AP + PB$.

$AB$ es la longitud total de un lado de la montaña y es igual a $500ft$, mientras que $AP$ es la longitud desde la cima de la montaña hasta el punto de inicio del túnel.

Con esta información, podemos escribir:

$AB = AP + PB$

$500 = 100 + PB$

$PB = 500 – $100

$PB = 400pi$.

Tenemos el valor de $PB$ y ahora calcularemos el valor de “$x$”.

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{AP}{PB} = dfrac{AQ}{QC}$

$dfrac{100}{400} = dfrac{x-500}{500}$

$dfrac{1}{4} = dfrac{x-500}{500}$

$ 1veces 500 = (x-500) $4

$500 = 4x – $2000

$4x = 2000 + $500

$4x = $2500

$x = dfrac{2500}{4} = $625

Entonces el valor desde la cima hasta el fondo de la pendiente de la montaña CAD$ es $625 pi$. Si restamos $QC$ de $AC$, obtendremos la longitud de $AQ$.

$AQ = AC – QC = 625 – 500 = 125 pi$.

Nos pidieron encontrar la longitud del túnel y esta sería la longitud de $PQ$. La longitud de $PQ$ puede ahora se puede calcular fácilmente usando el teorema de Pitágoras.

$AQ^{2}= QP^{2}+ AP^{2}$

$125^{2}= QP^{2}+ $100^{2}

$PQ = sqrt{125^{2}+100^{2}}$

$PQ=sqrt{25625}$

$ PQ = aproximadamente 160 pi$

Cuestiones prácticas:

  1. En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $CY = 6 cm$, $XD = 9 cm$ DZ = 15 cm. Encuentra la longitud de $XC$.
  2. Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Practicaq

3. Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Práctica del teorema de proporcionalidad triangular

clave de respuesta:

1.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{XC}{6} = dfrac{9}{15}$

$XC = (dfrac{9}{15})times 6$

$XC = dfrac{18}{5}$

$XC = 3,6 cm$.

2.

$dfrac{x}{2} = dfrac{8}{x}$

$x^{2} = 8veces 2$

$x^{2} = $16

$x = 4 cm$.

3.

$dfrac{CY}{XY} = dfrac{DZ}{XZ}$

$dfrac{XY-XC}{XY} = dfrac{DZ}{XZ}$

$dfrac{16 – 8 }{16} = dfrac{x}{24}$

$dfrac{8}{16} = dfrac{x}{24}$

$dfrac{1}{2} = dfrac{x}{24}$

$x = dfrac{24}{2} = 12$