Teorema de Rolle – Explicación y ejemplos

El teorema de Rolle establece que si una función de valor real es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y es diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ siempre que $f(a) = f(b)$, entonces debe haber un punto “$c$” en el intervalo abierto $(a ,b )$ tal que $f'(c) = 0$.

La representación gráfica del teorema de Rolle se da a continuación.

rolle final pic

El teorema de Rolle es una variación o caso del teorema del valor medio de Lagrange. El teorema del valor medio sigue dos condiciones, mientras que el teorema de Rolle sigue tres condiciones.

Este tema se Ayudarte a entender el teorema de Rolle., su interpretación geométrica y sus diferencias con el teorema del valor medio. También estudiaremos ejemplos numéricos relacionados con el teorema de Rolle.

¿Qué es el teorema de Rolle?

El teorema de Rolle es un teorema que establece que si una función continua alcanza dos valores iguales en dos puntos distintos o definidos, entonces debe haber un punto entre estos dos puntos donde la derivada de la función será cero. Como se indicó anteriormente, el teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio o el teorema del valor medio de Langerange.

Antes de estudiar la interpretación gráfica del teorema de Rolle, es instructivo conocer el diferencia entre el teorema de Rolle y el teorema de la media de Lagrange.

teorema de rolle

Teorema del valor medio de Lagrange

La función “$f$” es continua en un intervalo cerrado $[a,b]ps La función “$f$” es continua en un intervalo cerrado $[a,b]ps
La función “$f$” es diferenciable en un intervalo abierto $(a,b)$ La función “$f$” es derivable en un intervalo abierto $(a,b)$
Si $f(a) = f(b)$, hay un punto “$c$” entre a y b tal que $f'(c) = 0$ Hay un punto “$c$” entre a y b tal que $f'(c) = dfrac{f(a)hspace{1mm} –hspace{1mm} f(b)}{bhspace{ 1mm}-hespacio{1mm}a}$

Cómo usar el teorema de Rolle

El teorema de Rolle es fácil de usar; todo lo que tenemos que hacer es cumplir las tres condiciones del que hablábamos antes. Tome una función $f (x) = x^{2}- 3x$ en un intervalo cerrado $[0,3]$ y vea cómo podemos usar el teorema de Rolle en esta función.

Aquí, $a = 0$ y $b = 3$ los extremos del intervalo.

Etapa 1:

El primer paso es satisfacer esta función $f(x) = x^{2}hspace{1mm}-hspace{1mm} 3x$ debe ser continuo. Una función es continua si su gráfica es continua sin cortes ni saltos. Podemos ver que $f(x)$ es un polinomio simple y todas las funciones polinómicas simples son continuas.

2do paso:

La función f(x) debe ser una función diferenciable. Todas las funciones continuas se pueden diferenciar. Como $f(x) = x^{2}hspace{1mm}-hspace{1mm} 3x$ es una función continua, entonces se puede diferenciar.

$f'(x) = 2xhespacio{1mm} –hespacio{1mm} 3$

Paso 3:

El tercer paso es satisfaciendo la condición $f(a) = f(b)$. Entonces pondremos los valores de dos extremos en la función $f(x)$ y veremos si $f(a)$ y $f(b)$ son iguales o no. Si no son iguales, no se puede aplicar el teorema de Rolle.

$f(0) = (0)^{2}hspace{1mm} – hspace{1mm}3(0) = 0$

$f(3) = (3)^{2}hspace{1mm} – hspace{1mm}3(3) = 9hspace{1mm} – hspace{1mm}9 = 0$

Entonces, $f(a) = f(b)$

Paso 4:

El cuarto y último paso es encontrar un valor “$x$” Entre ps[a,b]$tsombrero hecho $f'(x) = 0$.

Sabemos:

$f'(x) = 2x hespacio{1mm} –hespacio{1mm} 3$

Entonces si $f'(x) = 0$, entonces

$2x – 3 = $0

$2x = $3

$x = dfrac{3}{2}$

Entonces $f'(x) = 0$ a $x = dfrac{3}{2}$.

Prueba del teorema de Rolle

Prueba —- Si una función (real) es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en un intervalo abierto $(a,b)$, entonces debe haber un punto “$c$” (que está entre a y b) en el que la derivada de dicha función es cero.

Para demostrar el teorema de Rolle, Usaremos otros dos teoremas:

  1. teorema del valor extremo establece que si una función es continua en un intervalo cerrado, debe tener tanto un máximo como un mínimo.
  2. teorema de Fermat indica que la derivada de una función es cero en su máximo (o mínimo).

Supongamos ahora que una función (con valores reales) es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y es diferenciable en un intervalo abierto $(a,b)$. Por el teorema del valor extremo, debe tener un máximo y un mínimo en el intervalo cerrado ps[a,b]ps Ahora supongamos que $f(a) = f(b)$, entonces los extremos no pueden ser tanto un máximo como un mínimo a menos que la función sea una constante.

De este modo, tenemos dos posibilidades:

1. Nos dan una función constante.

2. Nos dan una función no constante.

función constante

La función constante solo nos da una linea rectay en este caso, cada punto satisface el teorema de Rolle porque la derivada de una función constante es cero.

Función no constante

Para una función no constante, por el teorema del valor extremo, debe haber al menos un punto $c$ dentro ps[a,b]ps que es el máximo o el mínimo de la función. En ambos casos, según el teorema de Fermat, el valor de la derivada debe ser cero en $c$, lo que demuestra el teorema de Rolle.

Aplicaciones del teorema de Rolle

teorema de rolle tiene varias aplicaciones reales. Algunos de ellos se dan a continuación.

1. Podemos usar el teorema de Rolle para encontrar un punto máximo o extremo de la trayectoria de un proyectil de diferentes objetos.

2. El teorema de Rolle juega un papel vital en la construcción de cúpulas curvas sobre museos u otros edificios.

3. Es extremadamente útil para determinar los valores máximos de funciones gráficas complejas.

Ejemplo 1

Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = -3x^{2}+ 6x + 12$ en un intervalo cerrado $[0,2]ps

Solución:

La función es una función polinomial simple, por lo que es continua en el intervalo ps[0,2]$, y es derivable en el intervalo $(0,2)$.

Verifiquemos la tercera condición $f(a) = f(b)$.

$f(0) = -3(0)^{2}hspace{1mm}+hspace{1mm} 6(0) hspace{1mm} +hspace{1mm} 6 = 0hspace{1mm} + hespacio{1mm} 0 hespacio{1mm}+ hespacio{1mm}12 = 12$

$f(2) = -3 (2)^{2}hspace{1mm} +hspace{1mm} 6(2) hspace{1mm} +hspace{1mm} 12$

$f(2) = -3 (4) hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 12hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 12$

$f(2) = -12hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 12hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 12 = $12

Entonces $f(0) = f(3)$

ahora déjanos calcular el valor de “$x$” o $f'(x) = 0$.

$f'(x) = -6xhespacio{1mm} +hespacio{1mm} 6$

pon $f'(x) = 0$

$-6x + 6 = $0

$x = dfrac{-6}{-6}$

$ x = $ 1

Por lo tanto, $x = 1$ es la tangente de la función donde la pendiente es igual a cero.

numeric example 1

Ejemplo 2:

Verifica el teorema de Rolle para la función $f(x) = – x^{2}+ 5x – 5$ en un intervalo cerrado $[1,4]ps

Solución:

la funcion es una función polinomial simplepor lo tanto es continua en el intervalo $[1,4]$, y es derivable en el intervalo $(1,4)$.

Verifiquemos la tercera condición $f(a) = f(b)$.

$f(1) = – (1)^{2}hspace{1mm}+hspace{1mm} 5(1) hspace{1mm} + hspace{1mm}5 = -1hspace{1mm} + hspace{1mm}5 hspace{1mm}- hspace{1mm}5 = 4 hspace{1mm}– hspace{1mm}5 = -1$

$f(4) = -(4)^{2}hspace{1mm}hspace{1mm} +hspace{1mm}5(4) hspace{1mm} – hspace{1mm}5$

$f(3) = -16hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 20hespacio{1mm} –hespacio{1mm} 5$

$f(3) = 4hespacio{1mm} -hespacio{1mm} 5 = -1 $

Entonces, $f(1) = f(4)$.

ahora déjanos calcular el valor de “X” o f'(x) = 0.

$f'(x) = -2xhespacio{1mm} +hespacio{1mm} 5$

pon $f'(x) = 0$

$-2xhespacio{1mm} +hespacio{1mm} 5 = 0$

$x = dfrac{-5}{-2}$

$x =dfrac{5}{2}$

numeric example 2 rolle

Ejemplo 3:

Verifica el teorema de Rolle para la función $f(x) = cos(x) hspace{1mm} +hspace{1mm} 4$ en un intervalo cerrado $[0,2pi]ps

Solución:

La función es continua en el intervalo $[0,2pi]$ y es derivable en el intervalo $(0,2pi)$. Según el teorema de Rolle, debe haber al menos un punto “c” donde $f'(c) = 0$ Si $f(a) = f(b)$.

$f(0) = cos(0) hspace{1mm} +hspace{1mm} 4 = 1 hspace{1mm}+hspace{1mm} 4 = 5$

$f(2pi) = cos(2pi) hspace{1mm} +hspace{1mm} 4 = 1hspace{1mm} +hspace{1mm} 4 = 5$

$f'(x) = -senx = 0$

-sinx es igual a cero en los puntos $x_1 = 0$, $x_2 = pi$ y $x_3 = 2pi$

Entonces las tangentes de la función f(x) donde la pendiente es cero en ambos extremos son $a = 0$, $b = 2pi$ y à $c = pi$.

rolle example 2

Ejemplo 4:

Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = sin(x) + 6$ en un intervalo cerrado $[0,2pi]ps

Solución:

La función es continua en el intervalo $[0,2pi]$ y es diferenciable en el intervalo $(0,2pi)$. Según el teorema de Rolle, debe haber al menos un punto “c” donde $f'(c)$ = 0 Si $f(a) = f(b)$.

$f(0) = sin(0) hspace{1mm} +hspace{1mm} 6 = 0 hspace{1mm}+ hspace{1mm}6 = 6$

$f(2pi) = sin(2pi) hspace{1mm} +hspace{1mm} 6 = 0hspace{1mm} + hspace{1mm}6 = 6$

$f'(x) = cos(x) = 0$

$cos(x)$ es igual a cero en los puntos $c_1 = dfrac{pi}{2}$ y $c_2 = dfrac{3pi}{2}$

example 3 rolles

Ejemplo 5:

Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = x^{2}-6x + 5$ en un intervalo cerrado $[1,5]ps

Solución:

la funcion es una función polinomial simplepor lo tanto es continua en el intervalo $[1,5]$, y es diferenciable en el intervalo $(1,5)$.

Verifiquemos la tercera condición $f(a) = f(b)$.

$f(1) = (1)^{2}hspace{1mm}- hspace{1mm}6(1) hspace{1mm} + hspace{1mm}5 = 1hspace{1mm} – hspace {1mm}6 +hespacio{1mm} 5 = 5hespacio{1mm} –hespacio{1mm} 5 = 0$

$f(5) = (5)^{2} – 6(5) + $5

$f(3) = 25hespacio{1mm} – hespacio{1mm}30hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 5$

$f(3) = -5hespacio{1mm} +hespacio{1mm} 5 = 0$

Entonces $f(1) = f(5)$

ahora déjanos calcular el valor de “$x$” o $f'(x) = 0$.

$f'(x) = 2x – $6

pon $f'(x) = 0$

$2x – 6 = $0

$x = dfrac{6}{2}$

$x = $3.

example 5 rolle

Preguntas prácticas

1. ¿Cuál de las siguientes funciones satisface las tres condiciones del teorema de Rolle?

  • $f(x) = sin(2x)$ en un intervalo cerrado $[0,2pi]ps
  • $f(x) = |x-4|$ en un intervalo cerrado $[0,8]ps
  • $f(x) = |cos(2x)|$ en un intervalo cerrado $[0,pi]ps
  • $f(x) = dfrac{1}{x^{4}}$ en un intervalo cerrado $[0,2]ps

2. Comprueba el teorema de Rolle para la función $f(x) = x^{2}hspace{1mm}-hspace{1mm} 5$ en un intervalo cerrado $[-4 , 4]ps

Claves de respuesta:

1.

  • $Sin(2x)$ es continua en un intervalo cerrado $[0,2pi]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(0.2pi)$ y $f(0) = f(2pi ) = 0$. Por lo tanto, satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.
  • $f(x)=|x-4|$ nos da un gráfico en forma de V y tenemos un vértice en $x = 4$. Esta función es, por tanto, indistinguible y no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.
  • La función $f(x)= |cos(2x)|$ no es diferenciable en $x = dfrac{pi}{2}$. Por tanto, no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.
  • La función $f(x) = dfrac{1}{x^{4}}$ da un valor indefinido a $x = 0$, por lo que no es una función continua. Por tanto, esta función no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.

2.

la funcion es una función polinomial simplepor lo tanto es continua en el intervalo $[-4,4]$, y es diferenciable en el intervalo $(-4,4)$.

Verifiquemos la tercera condición $f(a) = f(b)$.

$f(-4) = (-4)^{2}hspace{1mm}-hspace{1mm} 5 = 16 – 5 = 11$

$f(4) = (4)^{2}-hespacio{1mm} 5 = 16hespacio{1mm} –hespacio{1mm} 5 = 11$

Entonces, $f(-4) = f(4)$

ahora déjanos calcular el valor de “$x$” o $f'(x) = 0$.

$f'(x) = 2x$

pon $f'(x) = 0$

$2x = $0

$x = 0$