La ley de los cosenos o teorema del coseno es una regla que nos proporciona la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La relación se describe usando la fórmula:
$c^2 = a^2 + b^2 -2abcos (z)$ o $c = sqrt{a^2 + b^2 -2abcos (z)}$,
donde $a$, $b$ y $c$ son los tres lados del triángulo y $z$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$, como se muestra en la siguiente figura:
Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos, y nosotros usar la trigonometría para encontrar las relaciones entre los lados y los ángulos del triangulo Por ejemplo, si nos dan dos lados y un ángulo de un triángulo, el teorema del coseno nos ayudará a encontrar el ángulo desconocido.
Del mismo modo, si nos dan los valores de los tres lados de un triángulo, puede usar el teorema del coseno para encontrar los tres ángulos interiores del triángulo. En este tema, discutiremos en detalle la ley de los cosenos, cómo son útiles para calcular las incógnitas de un triángulo y cuándo usar la ley de los cosenos.
¿Qué es la ley de los cosenos?
La ley de los cosenos se usa para ayudarnos desarrollar las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. En otras palabras, nos ayuda a resolver datos desconocidos o faltantes relacionados con los lados y ángulos de un triángulo.
En términos trigonométricos, la ley de los cosenos establece que el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo será igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los lados restantesmientras se resta el doble del producto de los lados restantes por el coseno del ángulo.
Considere un triángulo ABC; si nos dan los valores del lado “a” y “b” y el valor del ángulo “z” entre ellos, entonces el valor del lado “c” se puede calcular usando la regla del coseno.
- $c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} cos( z)$
De manera similar, si se dan los lados “a” y “c” junto con su ángulo correspondiente, entonces podemos calcular el lado “b” como:
- $b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2achspace{1mm} cos(y)$
De manera similar, si necesitamos calcular el lado “a”:
- $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bchspace{1mm} cos(x)$
Del mismo modo, si nos dan todos los lados, entonces podemos calcular el ángulo entre cualquiera de los dos lados.
- $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
- $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
- $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$
Cuándo usar la ley de los cosenos
La ley de los cosenos se usa normalmente para encontrar un lado desconocido o un ángulo desconocido de un triángulo cuando algunos de los datos del triángulo están disponibles. Más específicamente, la ley de los cosenos se utiliza para los siguientes propósitos:
- Para hallar el tercer lado de un triángulo, cuando se dan las longitudes de dos lados y sus correspondientes ángulos interiores.
- Encuentra todos los ángulos interiores faltantes de un triángulo cuando se dan las longitudes de los tres lados.
Tenga en cuenta que cuando se dan dos ángulos y un lado de un triángulo, entonces usamos la ley de los senosno la ley de los cosenos.
Cómo usar la ley de los cosenos
La ley de los cosenos está hecha para determinar los parámetros faltantes de un triángulo dados ciertos datos requeridos. vamos a discutir pasos para usar la regla del coseno encontrar los valores faltantes de un triangulo.
Etapa 1: Escriba todos los datos dados relacionados con el triángulo. Si te dan dos lados y sus ángulos correspondientes, ve al paso 2, y si te dan todos los lados y necesitas encontrar los ángulos, ve al paso 3.
2do paso: Aplicar las fórmulas de la regla del coseno:
- $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc hspace{1mm}cos(x)$
- $b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cos(y)$
- $c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} cos(z)$
donde a, b y c son los lados del triángulo y x, y y z son los ángulos entre los lados bc, ca y ab respectivamente.
Paso 3: Aplicar las fórmulas de la regla del coseno:
- $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
- $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
- $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$
Prueba del teorema del coseno
Derivamos la fórmula de la ley de los cosenos.
Considere la figura de arriba para el triángulo ABC
$sen A = dfrac{BC}{AB} = dfrac{h}{a}$ (1)
y,
$cos A = dfrac{AC}{AB} = dfrac{g}{a}$ (2)
De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos $h = a(sen A)$ y $g = a(cos A)$
Si aplicamos el teorema de Pitágoras sobre ΔBCD,
$b^{2} = h^{2} + (c – g)^{2}$ (3)
Aquí, la longitud de “c” es mayor que la de “g”.
Sustituyendo $h = a(sen A)$ y $g = a(cos A)$ en la ecuación (3):
$b^{2} = (a(senA))^{2} + (c – a(cosA))^{2}$
$b^{2} = a^{2}sen^{2}A + c^{2} + a^{2}cos{2}A – 2ac hspace{1mm}cosA$
$b^{2} = a^{2}(sen^{2}A + cos^{2}A) + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cosA$
$b^{2} = a^{2}(1) + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cosA$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2bc hspace{1mm}cosA$
Ejemplo 1:
Considere un triángulo ABC cuyos lados a $ = 5 cm $, b $ = 6 cm $ y c $ = 4 cm $. ¿Cuál será el valor de los ángulos x, y y z de dicho triángulo?
Solución:
Nos dan los valores de los tres lados del triángulo y tenemos que calcular el valor de los tres angulos. Usando la fórmula de la regla del coseno, sabemos que:
- $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
- $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
- $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$
$cos (x) = dfrac{(6^{2} + 4^{2} – 5^{2})}{2times6times4}$
$cos(x)= dfrac{(36 + 16 – 25)}{48}$
$cos(x)=dfrac{27}{48}$
$x = cos^{-1} (0,5625) $
$x = 55,77^{o}$
$cos(y) = dfrac{(5^{2} + 4^{2} – 6^{2})}{2times5times4}$
$cos(y) = dfrac{(25 + 16 – 36)}{40}$
$cos(y) = dfrac{5}{40}$
$y = cos^{-1}( 0,125)$
$y = 82,82^{o}$
$cos(z) = dfrac{(5^{2} + 6^{2} – 4^{2})}{2veces5veces6}$
$cos(z) = dfrac{(25 + 36 – 16)}{60}$
$cos(z) = dfrac{45}{60}$
$z = cos^{-1} (0,75)$
$z = 41,41^{o}$
Por lo tanto, el valor de los tres ángulos x, y y z son $55,77^{o}$, $82,82^{o}$ y $41,41^{o}$.
Ejemplo 2:
La medida de los dos lados de un triángulo es $5cm$ y $8cm$, respectivamente. El ángulo entre estos dos lados es $45^{o}$. Encuentra la longitud del tercer lado del triángulo.
Solución:
Nos dan los valores de ambos lados y su ángulo correspondiente, y tenemos que hallar la longitud del tercer lado del triangulo.
Sean a $= 5cm$ , b $= 8cm$ y “x” $= 45^{o}$. Aquí, “x” es el ángulo entre los dos lados. La fórmula de la ley de los cosenos viene dada por:
$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab hspace{1mm}cos (x)$
Aquí, a $= 5cm$ , b $= 8cm$ y x $= 45^{o}$
$c^{2} = 5^{2} + 8^{2} – 2times5times8 hspace{1mm}cos(45)$
$c^{2} = 5^{2} + 8^{2} – 80 (0,7071)$
$c^{2} = 25 + 64 – $56,56
$c^{2} = $32,44
$c = sqrt{32.44} = 5.69cm$
Ejemplo 3:
Una escalera se coloca en diagonal contra la pared, formando una forma triangular. La distancia desde el pie de la escalera hasta el pie de la pared es de 6 pies, mientras que la longitud diagonal de la escalera es de 7 pies. Por lo tanto, el ángulo formado en la base de la escalera es $60^{o}$. Calcula la longitud que falta del triángulo.
Solución:
Sea la distancia entre la base de la escalera y la base de la pared AB $= 6 pi$ y el ángulo en el punto A $= 60^{o}$ mientras que la longitud AC $= 7pi$ y tienes que encontrar el lado BC.
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} – 2times ABtimes AC hspace{1mm}cos( a)$
$BC^{2} = 6^{2} + 7^{2} – 2times5times 8 cos(60)$
$BC^{2} = 36+49 – 80 (0,5)$
$CB^{2} = 36 + 49 – $40
$BC^{2} = $45
$BC = sqrt{45} = 6,71 pi$
Ejemplo 4:
Considere un jardín triangular: la longitud de los tres lados AB, BC y CA del jardín triangular son respectivamente $4 cm$, $6 cm$ y $7 cm$. Debes encontrar todos los ángulos del jardín triangular.
Solución:
Nos dan los valores de los tres lados del triángulo, y tenemos que calcular el valor de los tres angulos. Sean x, y y z los ángulos en los puntos A, B y C. Usando la fórmula de la regla del coseno, podemos encontrar todos los ángulos.
- $cos (x) = dfrac{(AB^{2} + BC^{2} – CA^{2})}{2times ABtimes BC}$
- $cos (y) = dfrac{(BC^{2} + CA^{2} – AB^{2})}{2veces BCveces CA}$
- $cos (z) = dfrac{(AB^{2} + CA^{2} – BC{2})}{2times ABtimes AC}$
$cos (x) = dfrac{(4^{2} + 6^{2} – 7^{2})}{2veces 4veces 6}$
$cos(x) = dfrac{(16 + 36 – 49)}{48}$
$cos(x) = dfrac{3}{48}$
$x = cos^{-1} (0,0625)$
$x = 86,41^{o}$
$cos(y) = dfrac{(6^{2} + 7^{2} – 4^{2})}{2times6times7}$
$cos(y) = dfrac{(36 + 49 – 16)}{84}$
$cos(y) = dfrac{69}{84}$
$y = cos^{-1}( 0,8214)$
$y = 33,77^{o}$
$cos(z) = dfrac{(5^{2} + 4^{2} – 6^{2})}{2veces5veces4}$
$cos(z) = dfrac{(25 + 16 – 36)}{40}$
$cos(z) = dfrac{5}{40}$
$z = cos^{-1}(0,125)$
$z = 82,82^{o}$
Por lo tanto, el valor de los tres ángulos x, y y z son $41,45^{o}$, $55,77^{o}$ y $82,82^{o}$.
Cuestiones prácticas
- Una niña se para en lo alto de un edificio, sea el punto A, y dos niñas se paran en el suelo fuera del edificio en los puntos B y C. Las tres niñas se paran de tal manera que forman un triángulo ABC. Si la longitud del lado AB$ = 5cm$ y BC $= 7cm$ mientras que el ángulo en el punto B es $60^{o}$, ¿cuál será la longitud del lado AC?
- Allan tiene un muro perimetral de forma triangular a través de su casa. Quiere cercar el muro perimetral con un sistema de tres hilos. La longitud de los dos lados del muro limítrofe es de $200 pies y $250 pies respectivamente, mientras que el ángulo entre los lados es de $30^{o}$. Calcula el alambre total necesario para la cerca.
- Eche un vistazo al paralelogramo ABCD a continuación. La longitud de los lados AB, CD, BD y AC son respectivamente $12cm$, $12cm$, $13 cm$ y $13 cm$. La medida del ángulo a $= 112,62^{o}$. Calcular la longitud de la diagonal BC.
clave de respuesta:
1. Nos dan la longitud de los lados AB y BC y el valor del ángulo entre estos dos lados. Así, por usando la fórmula de la regla del cosenopodemos encontrar fácilmente los datos que faltan para el lado de CA.
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} – 2times ABtimes AC hspace{1mm}cos a$
$AC^{2} = 5^{2} + 7^{2} – 2times5times 7 hspace{1mm}cos 60^{o}$
$CA^{2} = 25 +49 – 70 (0,5)$
CAD$^{2} = 25 + 49 – $35
CAD$^{2} = 39$
$AC = sqrt{39} = 6,24 cm$
2. Nos dan la longitud de ambos lados del límite triangular así como el ángulo entre los lados. Sea el lado a = 200 pies, b $= 250 pies$ y el ángulo “x” $= 30^{o}$. Supongamos que el lado que falta es “c”. Ahora resolvamos el lado que falta usando la ley de los cosenos.
$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2times abtimes AC hspace{1mm}cos x$
$c^{2} = 200^{2} + 250^{2} – 2times200times 250 cos 30^{o}$
$c^{2} = 40000 +62500 – 100000 (0,866)$
$c^{2} = 102500 – $86600
$c^{2} = $15900
$c = sqrt{15900} = aproximadamente 126 pi$.
Ahora tenemos la longitud de todos los lados del triangulo La longitud total requerida para cercar todos los límites es igual al perímetro del triángulo.
Perímetro del triángulo $= a+b+c = 200 + 250 + 126 = 576ft$. Como necesitamos alambre de $3 para las cercas, debemos multiplicar el perímetro por $3.
Cable total requerido $= 3 times hspace{1mm}perímetro hspace{1mm} del triángulo hspace{1mm} = 3 times 576 = 1728ft.$
3. Nos dan la longitud de todos los lados y la medida del ángulo “a”. nos deja dibujar una diagonal del punto B al punto C.
Como podemos ver, la diagonal ha dividido el cuadrilátero ABCD en dos triángulos ABC y BDC. Como tenemos la longitud de ambos lados del triángulo BDC, vamos a calcular la longitud del tercer lado BC utilizando el teorema del coseno.
Para calcular la longitud de la diagonal BC, usaremos triángulo abc ya que tenemos la longitud de dos lados de este triángulo y también el valor de un ángulo del triángulo. Por lo tanto, la fórmula del coseno se puede escribir:
$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} – 2times ABtimes AC cos a$
$BC^{2} = 13^{2} + 12^{2} – 2times12 times 13 hspace{1mm} cos (112,62^{o})$
$CB^{2} = 169 +144 – 312 (-0,384)$
$BC^{2} = 169 + 144 + $120
$BC^{2} = $432,83
$BC = sqrt{252} = 20,80cm$
Las imágenes/dibujos matemáticos se crean usando Geogebr
