Transformaciones

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

los desplazamiento horizontal resalta cómo el valor de entrada de la función afecta su gráfico. Cuando se trata de compensaciones horizontales, la atención se centra únicamente en cómo se comportan el gráfico y la función a lo largo del eje $x$. Es importante entender cómo funcionan las compensaciones horizontales, especialmente cuando se grafican funciones complejas.

El desplazamiento horizontal se produce cuando un gráfico se desplaza a lo largo de la $boldsymbol{x}$-eje por $boldsymbol{h}$ unidades, ya sea izquierda o derecha.

Junto con otras transformaciones, es importante saber identificar y aplicar horizontales en diferentes funciones, incluidas las funciones trigonométricas. Este artículo cubre todos los conceptos clave necesario para dominar este tema!

¿Qué es un desplazamiento horizontal?

Un desplazamiento horizontal es una traslación que mueve la gráfica de la función a lo largo del eje $x$. Describe cómo se mueve una función hacia la derecha o hacia la izquierda para encontrar la posición gráfica de la nueva función. Durante un desplazamiento horizontal, la función $f(x)$ se desplaza horizontalmente en unidades de $h$ y hace que la función se traduzca a $f(x pm h)$.

Examina las gráficas de las tres funciones: $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 3)^2$ y $h(x) = (x – 3)^ 2$. Con $f(x)$ como función madre o función base de funciones cuadráticas, las dos funciones restantes son el resultado de un desplazamiento horizontal $f(x)$.

  • Cuando $f(x) =x^2$ se desplaza $3$ unidades hacia la izquierda, su valor de entrada se desplaza $+3$ unidades a lo largo del eje $x$. Por lo tanto, la función traducida es igual a $g(x) = (x- 3)^2$.
  • De manera similar, cuando la función principal se desplaza $3$ unidades hacia la derecha, el valor de entrada se desplaza $-3$ unidades horizontalmente. Esto da como resultado la función traducida $h(x) = (x -3)^2$.

Este comportamiento es cierto para todos los desplazamientos horizontalespor lo que es mejor establecer una regla general de qué esperar cuando la función $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a la derecha o $h$ unidades a la izquierda.

Reglas para desplazamiento horizontal

Suponga que $h$ es mayor que cero y $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a lo largo del eje $x$, esto da como resultado las siguientes funciones:

1. $boldsymbol{y = f(x – h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia correcto.

2. $boldsymbol{y = f(x + h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia la izquierda.

Cuando mueve una función o su gráfico horizontalmente, el tamaño y la forma de la función siguen siendo los mismos.

Para comprender mejor cómo se ven afectadas las coordenadas de las características después de un desplazamiento horizontal, construir una tabla de valores para $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 1)^2$, y $h(x) = (x – 1)^2$.

begin{alineado} boldsymbol{x} end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=x^2} end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x-1)^2} end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x+1)^2} end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

La tabla de valores confirma que para $y = (x -1)^2$, los valores de la función se desplazan $1$ unidad a la derecha. De manera similar, los valores de la función se desplazan $1$ unidades hacia la izquierda para $y = (x + 1)^2$ con respecto a $y =x^2.

Comprender el desplazamiento horizontal en trigonometría

El desplazamiento horizontal es una técnica útil para graficar y estudiar funciones trigonométricas. En trigonometría, el desplazamiento horizontal a veces se denomina cambio de fase. El proceso sigue siendo el mismo: cuando el valor de entrada de una función trigonométrica se desplaza a lo largo del eje $x$, su gráfico hace lo mismo.

Echa un vistazo a los dos gráficos, $g(x)$ es el resultado de un desplazamiento horizontal $y= sin x$ por $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. De hecho, si el dominio está limitado a $2pi$, $g(x)$ refleja la gráfica de $y = cos x$, confirmando que $cos x = sin left(x – dfrac{ pi}{2} derecho)$.

Graficar funciones trigonométricas es mucho más fácil cuando se realizan transformaciones como se aplican compensaciones horizontales o de fase. Como las gráficas de las funciones trigonométricas fundamentales están estudiadas y bien establecidas, será mucho más fácil graficarlas y luego aplicar los desplazamientos.

Desplazamiento horizontal para trigonometría

Dadas funciones trigonométricas como la forma general de seno que se muestra a continuación:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D end{alineado}

El desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la derecha. Lo mismo se aplica a:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D, end{alineado}

el desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la izquierda.

Esta sección ha cubierto todos los fundamentos del desplazamiento horizontal, por lo que es hora de aprender a aplicar traslaciones horizontales. Las próximas dos secciones establecerán el proceso y cubrirán ejemplos de movimientos horizontales.

¿Cómo encontrar el desplazamiento horizontal?

Para encontrar el desplazamiento horizontal aplicado a un gráfico o función, determinar los cambios de eje $x$.

  • Cuando reciba el gráfico, observe los puntos clave del gráfico original y luego determine cuánto se ha movido el nuevo gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha.
  • Cuando se le dé la función, reescriba la expresión para resaltar $(x – h)$ y el valor de $h$ para determinar el desplazamiento horizontal aplicado a la función.

Reglas y condiciones de uso establecido en el apartado anterior para resolver problemas de desplazamientos horizontales.

Encontrar el desplazamiento horizontal de un gráfico

Cuando se le da un gráficoobservar qué tan lejos de la pre-imagen (normalmente la función principal correspondiente) es la imagen resultante después de ser desplazada horizontalmente por $h$ unidades.

  • Caso 1: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la derecha del gráfico, esto significa que de $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x – h)$.
  • Caso 2: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la izquierda del gráfico $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x + h)$.

Utilice esta guía para describir el desplazamiento horizontal que ha ocurrido en un gráfico dado. Por ejemplo, para conocer el desplazamiento horizontal aplicado en la función madre de la función que se muestra a continuación, observe el movimiento en el gráfico trasladado de $y = x$ con respecto al eje $x$.

Al describir el desplazamiento horizontal, centrarse en cómo se comportan los puntos y la curva de la función a lo largo de la eje $x$. Construya la gráfica de su función principal, $y =x$, para ver cómo se ha movido el punto $(3, 0)$.

A partir de ahí, podemos ver que desde $(0, 0)$, el punto se ha movido a $(3, 0)$ o $3$ unidades a la derecha. Esta observación sigue siendo cierta para los demás puntos de la gráfica. Eso significa que la función principal se desplaza $3$ unidades a la derecha en orden. A partir de esta información, también es posible encontrar la expresión de la función.

begin{alineado}(0, 0) &rightarrow (3, 0)\ x &rightarrow x – 3\y=x &rightarrow y=x – 3end{alineado}

Esto significa que al encontrar el desplazamiento horizontal, se demostró que la función mostrada tiene una expresión de $y = x – 3$.

Hallar el desplazamiento horizontal de una función

Cuando se dan la función y su expresión, encuentre el desplazamiento horizontal por reescribió su expresión para resaltar la diferencia con la función actual de su función madre.

begin{alineado}f(x) rightarrow f(x – h)end{alineado}

Supongamos que $f(x)$ representa la función principal y $f(x –h)$ es la función traducida, el desplazamiento horizontal dependerá de $h$. Es simple cuando se trabaja con funciones más simples como $y = x -3$.

Hay casos, sin embargo, donde es difícil identificar el desplazamiento horizontal inmediatamente. Use la guía a continuación para reescribir la función donde sea fácil identificar el desplazamiento horizontal.

begin{alineado}f(cx pm d) &= f left(cleft(x pm dfrac{d}{c}right)right)end{alineado}

Eso significa que al identificar el desplazamiento horizontal en $(3x + 6)^2$, reescríbelo factorizando los factores como se muestra a continuación.

begin{alineado}(3x + 6)^2 &= [3(x + 2)]^2end{alineado}

Esto destaca la presencia de desplazamiento horizontal y otras transformaciones. presente en la función con respecto a su función madre.

Ejemplo 1

Grafica las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = (x + 1)^3$. Usando el gráfico, describe $g(x)$ en términos de $f(x)$.

Solución

Construye una tabla de valores para las dos funciones. para ayudar a construir sus gráficos. La tabla de valores también dará una pista sobre el desplazamiento horizontal aplicado en $f(x)$ para obtener $g(x)$.

begin{alineado}boldsymbol{x}end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{f(x)}end{alineado}

begin{alineado}-8end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{g(x)}end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}27end{alineado}

La tabla de valores muestra que los valores de la función se han desplazado una unidad a la izquierda. Ahora, volviendo a verificar esto con los gráficos resultantes para ambas funciones, $g(x)$ es el resultado de mover $f(x)$ unidad $1$ a la derecha.

Ejemplo 2

Usa el desplazamiento horizontal para mostrar que $cos left(x- dfrac{pi}{2}right)= sin x$.

Solución

En un plano $xy$, dibujar las curvas de $sen x$ y $cosx$. Utilice la tabla de valores si es necesario. Usa los gráficos resultantes para observar cómo $cos x$ se desplaza para llegar a la curva de $sin x$.

Esto muestra que la curva de $sen x$ es simplemente el resultado de moverse $cos x$ curva $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. Esto significa que en términos de $sin x$, $cos x$ es equivalente a desplazar el valor de entrada de $y =sin x$ por $- dfrac{pi}{2}$.

begin{alineado}cos x = sin left(x – dfrac{pi}{2}right)end{alineado}

Preguntas prácticas

1. Observa las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ como se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $4$ unidades a la derecha.
B. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $4$ unidades a la izquierda.
C. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.
D. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.

2. Suponga que $y = sqrt{x}$ se desplaza $15$ unidades a la izquierda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones muestra la expresión de la función desplazada?

R. $y = sqrt{x} – $15
B. $y = sqrt{x + 15}$
C. $y = sqrt{15 -x}$
D. $y = sqrt{x – 15}$

corregido

1.B

2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

marzo 3, 2022 por Blog Preguntas Transformaciones Unidades

Identidades pares e impares: explicación y ejemplos

Identidades pares e impares: explicación y ejemplos

Las identidades pares e impares para funciones trigonométricas implican el uso de la regularidad o rareza de la función trigonométrica para encontrar los valores trigonométricos de ángulos negativos.

Más precisamente, seno, tangente, cosecante y cotangente son funciones impares. Las funciones coseno y secante son pares.

Como todas las identidades trigonométricas, las identidades pares e impares juegan un papel importante en las ciencias físicas y la ingeniería.

Antes de continuar con esta sección, revise las funciones pares e impares y las identidades de activación.

Esta sección cubre:

  • Incluso identidades
  • ¿Cómo saber si una función sinusoidal es par o impar?

Identidades extrañas

Las identidades impares son identidades trigonométricas que surgen del hecho de que una función trigonométrica dada es una función impar.

Recuerde que una función impar es una función $ f (x) $ tal que $ f (-x) = -f (x) $. Es decir, las correspondientes entradas positivas y negativas tienen salidas con el mismo valor absoluto. Sin embargo, las señales de estas salidas serán diferentes.

Al reflejar una función impar en el eje $ x $ y luego en el eje $ y $ (o viceversa) se asigna la función a sí misma. Es decir, las funciones impares son simétricas con respecto al origen.

En trigonometría, las funciones seno, cosecante, tangente y cotangente son impares. Este hecho da las cuatro extrañas identidades:

  • $ sin (-x) = -sin (x) $
  • $ csc (-x) = -csc (x) $
  • $ tan (-x) = -tan (x) $
  • $ cuna (-x) = -cot (x) $

Las funciones trigonométricas inversas arcoseno y arcotangente también son impares. Por lo tanto, también hay dos identidades trigonométricas inversas impares:

  • $ arcosen (-x) = -arcosen (x) $
  • $ arctan (-x) = -arctan (x) $

Incluso identidades

Incluso las identidades en trigonometría son identidades que surgen del hecho de que una función trigonométrica dada es par.

Recuerde que una función par es una función $ f $ tal que $ f (-x) = f (x) $. Es decir, las correspondientes entradas positivas y negativas tienen la misma salida. Estas funciones son simétricas con respecto al eje y, y al reflejarlas en el eje y, se asignan a sí mismas.

Hay dos funciones trigonométricas pares, coseno y secante. Por tanto, hay dos identidades trigonométricas pares:

  • $ cos (-x) = cos (x) $
  • $ seg (-x) = seg (-x) $

Ni siquiera hay funciones trigonométricas inversas.

¿Cómo saber si una función sinusoidal es par o impar?

Es posible determinar si una función trigonométrica es par o impar algebraicamente o gráficamente.

Hacer esto gráficamente es más fácil. Si el eje y es un eje de simetría para la función, entonces es par. Si la característica es simétrica con respecto al origen (ya sea girándola 180 grados o reflejándola en ambos ejes), entonces es extraña.

Algebraicamente, debemos probar que, para cualquier $ x $, $ f (-x) = f (x) $ para que una función sea par y que $ f (-x) = -f (x) $ para una función sea extraño.

Pruebas algebraicas de pares e impares

Con las funciones trigonométricas, esto se hace observando las definiciones básicas de seno y coseno en el contexto del círculo unitario.

Recuerde que un ángulo negativo en el círculo unitario mide en sentido horario, mientras que un ángulo positivo mide en sentido antihorario.

En el círculo unitario, el seno de un ángulo es igual a la altura del triángulo rectángulo formado con el radio terminal y el eje x. En la figura ilustrada, el seno del ángulo $ BAD $ es $ DI $. El ángulo negativo correspondiente a $ BAD $ mide en el sentido de las agujas del reloj, por lo que es $ BAE $. En la figura, el seno de este ángulo es $ IE $.

Dado que $ DI $ se extiende hacia arriba desde el eje x, su longitud es positiva. Dado que $ IE $ se extiende hacia abajo, su longitud es negativa. Pero sus tamaños serán los mismos.

Asimismo, el seno de $ BAF $ es $ FH $ y el seno de $ BAG $, el ángulo negativo correspondiente, es $ HG $. Estas dos líneas también tienen la misma amplitud pero diferentes senos.

Por lo tanto, los senos de dos ángulos de la misma magnitud pero medidos en la dirección opuesta tendrán la misma magnitud pero diferentes signos. Por tanto, el seno es impar.

Even and Odd Identities Unit Circle

Sin embargo, tenga en cuenta que los cosenos (la línea horizontal del triángulo rectángulo del ángulo) están en el mismo lado del eje x. Para $ BAD $ y $ BAE $, es $ AI $. Para $ BAF $ y $ BAG, es $ AH $. Por tanto, el coseno no cambia según el signo del ángulo. Entonces el coseno es par.

La impar o regularidad de otras funciones trigonométricas se deriva de la impar o regularidad del seno y el coseno.

Transformaciones pares e impares

Tenga en cuenta que las transformaciones de la función pueden afectar si son pares o impares.

En particular, las compensaciones horizontales y verticales pueden hacer que una función impar sea par o una función par impar. Por ejemplo, $ cos (x- frac { pi} {2}) $ coincide con el coseno con el seno. Por lo tanto, $ cos (x- frac { pi} {2}) $ es impar.

Las transformaciones también pueden hacer que una función no sea ni impar ni par. La transformación $ sin (x) -1 $ es un ejemplo.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran identidades trigonométricas pares e impares y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Usa la regularidad y el número impar del seno y el coseno para demostrar que la función tangente es impar.

Solución

Debemos demostrar que la tangente es impar. Es decir que :

$ tan (-x) = -tanx $.

Recuerde que $ tanx = frac {sinx} {cosx} $. Entonces:

$ tan (-x) = frac {sin (-x)} {cos (-x)} $.

Dado que el seno es impar y el coseno es par, esto se simplifica a:

$ tan (-x) = frac {-sinx} {cosx} = – frac {sinx} {cosx} = -tanx $.

Ejemplo 2

¿Es la función $ y = sinx-1 $ par, impar o ninguna de las dos?

Solución

Una manera fácil de probar si una función es par, impar o ninguna es encontrar el valor de la función para un ángulo negativo y un ángulo positivo con la misma amplitud. En este caso, use los ángulos $ frac { pi} {2} $ y $ – frac { pi} {2} $.

En $ frac { pi} {2} $, el seno es igual a $ 1 $. Por lo tanto, $ sinx-1 = $ 0.

En $ – frac { pi} {2} $, el seno es igual a $ -1 $. Por lo tanto, $ sinx-1 = -2 $.

Por tanto, esta función no es ni par ni impar.

Sin embargo, tenga en cuenta que este método puede dar una pista sobre si una función es par o impar, pero no lo prueba. Por ejemplo, $ sin ( pi) = 0 = sin (- pi) $. En estos dos puntos, la función $ sinx-1 $ vale $ 1 $, pero la función no es par.

Ejemplo 3

Encuentra el seno de $ frac { pi} {4} $ y $ – frac { pi} {4} $.

Solución

Recuerda que el seno de $ frac { pi} {4} $ es $ frac { sqrt {2}} {2} $. Además, dado que el seno es impar $ sin (-x) = -sinx $. Por lo tanto, $ sin (- frac { pi} {4}) = -sin ( frac { pi} {4}) $.

Entonces, $ sin (- frac { pi} {4}) = – frac { sqrt {2}} {2} $.

Ejemplo 4

Encuentre la secante de $ – frac { pi} {6} $.

Solución

Recuerde que la función secante es la inversa de la función coseno. Es decir, $ secx = frac {1} {cosx} $. Como el coseno, es uniforme.

Entonces:

$ seg (- frac { pi} {6}) = seg ( frac { pi} {6}) $.

Dado que la secante del ángulo $ frac { pi} {6} $ radianes es $ frac {1} { frac { sqrt {3}} {2}} = frac {2 sqrt {3}} {3} $, la secante del ángulo $ – frac { pi} {6} $ también es $ frac {2 sqrt {3}} {3} $.

Ejemplo 5

Utilice el hecho de que el coseno es par para demostrar que $ cos (xy) = cos (yx) $.

Solución

Para empezar, observe que $ yx = – (xy) $.

Por lo tanto, $ cos (yx) = cos (- (xy)) $. Sin embargo, dado que el coseno es par, $ cos (- (xy)) = cos (xy) $. Por lo tanto, $ cos (yx) = cos (xy) $ para todos los ángulos $ x $ y $ y $.

Problemas de práctica

  1. ¿Es la función $ 4sinx $ impar, par o ninguna de las dos?
  2. Encuentra $ cos (- frac { pi} {3}) $.
  3. Demuestre que la cotangente es impar usando identidades pares e impares.
  4. Encuentra $ csc (- frac { pi} {2}) $.
  5. Utilice las identidades par e impar para demostrar que $ cosxsin ^ 2x $ es una función par.

Clave de respuesta

  1. Impar
  2. $ frac {1} {2} $
  3. $ cot (-x) = frac {cos (-x)} {sin (-x)} = frac {cos (x)} {- sin (x)} = – frac {cosx} {sinx} = -cotx $.
  4. $ -1 $
  5. $ cos (-x) sin ^ 2 (-x) = cos (-x) sin (-x) sin (-x) = cosx (-1) sinx (-1) sinx = cosxsinxsinx = cosxsin ^ 2x $.

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diciembre 10, 2021 por Ángulos Blog Definiciones Impares Pares Transformaciones

Función delta de Dirac: definición, forma y aplicaciones

Función delta de Dirac: definición, forma y aplicaciones

el Función delta de Dirac es una herramienta importante para aprender, especialmente cuando se planea estudiar conceptos avanzados en estadística, ingeniería y física, como distribuciones de probabilidad, funciones de pulso y mecánica cuántica. A primera vista, la función delta de Dirac puede parecer abrumadora, pero una vez que analice los conceptos, el delta de Dirac le ayudará a comprender cómo funcionan las funciones complejas.

La función delta de Dirac es una función generalizada que se utiliza mejor para modelar comportamientos similares a las distribuciones de probabilidad y los gráficos de pulso. También podemos usar la función delta de Dirac para resolver ecuaciones diferenciales más complejas usando transformadas de Laplace.

En este artículo, cubriremos todos los conceptos y propiedades fundamentales necesarios para comprender las funciones delta de Dirac. También relacionaremos estas propiedades para que las aprecies más. También podrá tener en sus manos algunos problemas de valor inicial que involucran la transformada de Laplace y la función delta de Dirac.

¿Qué es una función delta de Dirac?

La función delta de Dirac es una “función” esencial en la informática y la física avanzadas (en particular, la mecánica cuántica). Una excelente manera de visualizar lo que representan las funciones delta de Dirac es modelar una distribución de masa; las funciones delta de Dirac exhibirán comportamientos similares. Esto significa que observamos el comportamiento de una función en estos momentos:

  • comenzando cuando está cerca de cero
  • su aumento es repentinamente drástico, con un período de intervalo, y
  • cuando el aumento se ralentiza y finalmente vuelve a cero.

Podemos representar la función delta de Dirac por $ delta (x) $. Ponemos una cotización en la función ya que el delta de Dirac es técnicamente una herramienta para que generalicemos alguna función que satisfaga la siguiente ecuación.

begin {alineado} int _ {- infty} ^ { infty} delta (x) f (x) phantom {x} dx & = f (0) end {alineado}

Esta relación permanece verdadera siempre que coloquemos la expresión en un intervalo que contenga $ 0 en el medio. Podemos desarrollar aún más esta relación en una función por partes y generalizar los límites superior e inferior como se muestra a continuación.

begin {alineado} int_ {k_1} ^ {k_2} delta (x) = left { begin {matrix} 1, phantom {x} text {when} x in [k_1, k_2]\ 0, text {cuando} x cancelar { in} [k_1, k_2] end {matriz} right. end {alineado}

También podemos ampliar esto para tener en cuenta factores adicionales dentro del integrando, como $ f (x) $ y cuando el dominio se desplaza $ x_0 $ unidades.

begin {alineado} int_ {k_1} ^ {k_2} f (x) delta (x – x_0) = left { begin {matrix} f (x_0), phantom {x} text {when} x_0 in [k_1, k_2]\ 0, text {when} x_0 cancel { in} [k_1, k_2] end {matriz} right. end {alineado}

Ahora que hemos establecido la definición y las condiciones necesarias para la función delta de Dirac, avancemos y profundicemos nuestra comprensión al delinear sus principales propiedades.

Propiedades de la función delta de Dirac

La función delta de Dirac tiene una amplia gama de propiedades que pueden ayudarlo a evaluar integrales, simplificar ecuaciones diferenciales y aplicarlas al modelo de funciones de pulso, así como a otras aplicaciones. Las tres propiedades principales que debe conocer se detallan a continuación.

Propiedad 1: La función delta de Dirac, $ delta (x – x_0) $ es igual a cero cuando $ x $ no es igual a $ x_0 $.

begin {alineado} delta (x – x_0) = 0, text {cuando} x neq x_0 end {alineado}

Otra forma de interpretar esto es que cuando $ x $ es igual a $ x_0 $, la función delta de Dirac devolverá un valor infinito.

begin {alineado} delta (x – x_0) = infty, text {cuando} x = x_0 end {alineado}

La mejor forma de visualizar esta propiedad de la función delta de Dirac es imaginar cómo se comportan los pulsos de luz: hay casos en los que ya no podemos medir la energía emitida por la luz y hay determinadas distancias a las que podemos. En los casos en los que es casi imposible medir la energía, simplemente asumimos que es igual al infinito.

Propiedad 2: Al integrar la función delta de Dirac, podemos demostrar que la función es igual a $ 1 $ en el intervalo permitido.

begin {alineado} int_ {x_0 – epsilon} ^ {x_0 + epsilon} delta (x – x_0) phantom {x} dx = 1, text {cuando} epsilon> 0 end {alineado}

Los límites superior e inferior, $ x_0 – epsilon $ y $ x_0 + epsilon $, representan el rango que cubre $ x $. En el contexto del pulso, este es el rango en el que se puede observar el comportamiento de la función.

begin {alineado} int _ {- infty} ^ { infty} delta (x – x_0) phantom {x} dx = 1, text {cuando} epsilon> 0 end {alineado}

Podemos extender esta propiedad cuando $ epsilon> 0 $ y $ epsilon $ tiende a infinito.

Propiedad 3: Podemos extender la segunda propiedad para tener en cuenta las instancias en las que multiplicamos $ delta (x) $ con una función, $ f (x) $.

begin {alineado} int_ {x_0 – epsilon} ^ {x_0 + epsilon} f (x) delta (x – x_0) phantom {x} dx = f (x_0), text {when} epsilon > 0 end {alineado}

Hay casos en los que $ delta (x) $ es cero en todo el intervalo, por lo que estamos usando funciones distintas de cero como $ f (x) $ evaluadas en $ x_0 $. Estas tres propiedades también destacan la importancia de las funciones delta de Dirac en distribuciones normales y de probabilidad.

A partir de estas propiedades, también podemos ver la importancia de las funciones delta de Dirac en estadística avanzada, mecánica cuántica, etc. La función delta de Dirac siempre tiene una amplia gama de propiedades importantes, pero por ahora centrémonos en aplicar las funciones delta de Dirac y veamos cómo podemos usarlas junto con las transformaciones de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.

¿Cómo utilizar la función delta de Dirac en ecuaciones diferenciales?

Podemos usar la función delta de Dirac para resolver ecuaciones diferenciales relacionando nuestra comprensión de las funciones delta de Dirac y las transformaciones de Laplace. Primero, establezcamos la forma general de la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

begin {alineado} mathcal {L} { delta (x – x_0) } & = int_ {0} ^ { infty} e ^ {- st} delta (x – x_0) phantom {x } dt \ & = e ^ {- como} end {alineado}

Tenga en cuenta que nuestras condiciones para las transformaciones de Laplace deben mantenerse, por lo que $ a> 0 $. Aquí hay algunos ejemplos de cómo podemos aplicar esta fórmula y para ser consistentes con nuestras notaciones de la transformada de Laplace usaremos $ t $ en lugar de $ x $ en la función delta de Dirac.

begin {alineado} mathcal {L} { delta (t + 6) } & = mathcal {L} { delta (t – -6) } \ & = e ^ {6s} fin {alineado}

begin {alineado} mathcal {L} {3 delta (t – 4) } & = 3 mathcal {L} { delta (t – 4) } \ & = 3e ^ {- 4s } end {alineado}

begin {alineado} mathcal {L} {- 2 delta (t +8) } & = -2 mathcal {L} { delta (t – -8) } \ & = – 2e ^ {8s} end {alineado}

Ahora, al combinar esto con nuestras fórmulas anteriores de la transformada de Laplace, ahora podemos usar estos dos conceptos para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Antes de trabajar en un ejemplo, observemos primero las funciones de transformación de Laplace para $ f ^ { prime}
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diciembre 9, 2021 por Blog Transformaciones Unidades

Transformada de Laplace – Definición, fórmula y aplicaciones

Transformada de Laplace – Definición, fórmula y aplicaciones

el Transformación de Laplace es un operador esencial que transforma expresiones complejas en expresiones más simples. Gracias a las transformaciones de Laplace, resolver ecuaciones diferenciales lineales puede ser un proceso sencillo. Los métodos numéricos aprendidos en física, ingeniería y matemáticas avanzadas siempre utilizarán transformadas de Laplace. De hecho, el análisis de circuitos y el estudio de las oscilaciones en física no estaría completo sin las transformadas de Laplace.

La transformada de Laplace nos permite resolver fácilmente ecuaciones diferenciales lineales constantes. Podemos evaluar la transformada de Laplace de una función evaluando su representación integral impropia.

En este artículo estableceremos la definición y fórmula de la transformada de Laplace. También le mostraremos cómo evaluar las transformadas de Laplace de diferentes funciones. Saber cómo trabajar con integrales incorrectas se supone conocimiento en este artículo, pero no se preocupe, hemos agregado algunos enlaces importantes a lo largo de la discusión. ¡Por ahora, entendamos cómo funciona la transformación de Laplace!

¿Qué es una transformación de Laplace?

La transformada de Laplace es un operador importante al reescribir integrales y resolver ecuaciones diferenciales. Dado que las transformaciones de Laplace se usan principalmente cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales que representan relaciones que involucran tiempo, usamos $ t $ y $ f
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diciembre 9, 2021 por Blog Transformaciones

Sobre mí

Carlos Huertas

Carlos Huertas

Matemático

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