- Un avión que tiene una velocidad de 600 millas por hora vuela a una altura de 5 millas en la dirección de un observador de acuerdo con la figura. ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo de elevación cuando el ángulo de visualización $theta$ sea:
$a)$ $theta = 30°$
$b)$ $theta = 75°$
Como sabemos, si un objeto se mueve horizontalmente a una cierta altura constante con respecto a un punto base, el ángulo del objeto con respecto a la línea de base cambia continuamente. Si el objeto se aleja del punto de observación, el ángulo disminuye. Si el objeto se mueve hacia el punto de observación, el ángulo aumenta.
Respuesta experta
Dado como:
Altitud de la aeronave $y=5mi$
Distancia horizontal desde el observador $=$ $x$
Velocidad del avión $=$ $-600$ $dfrac{mi}{h}$ hacia el observador.
usando ecuación trigonométrica:
[tan{theta=frac{y}{x}}]
Sustituyendo los valores dados:
[tan{theta}= frac{5 mi}{x}]
Como la velocidad se define como la tasa de cambio de la distancia $dfrac{dx}{dt}$, entonces
[frac{dx}{dt}= -600 frac{mi}{h}]
Derivando $ tan{theta}= dfrac{5 mi}{x} $ con respecto al tiempo $t$.
[frac{d}{dt} ( tan{theta}= frac{5 mi}{x} )]
Se tiene,
[sec^2{(theta)} frac{(dtheta)}{dt}= frac{-5 mi}{x^2} times frac{dx}{dt} ]
[frac{dtheta}{dt} = frac{-5 mi}{sec^2{left(thetaright)} times x^2} times frac{dx}{dt} ]
[frac{dtheta}{dt} = frac{-5 mi times cos^2{left(thetaright)} }{ x^2} times (- 600frac{ mi}{h} )]
Ahora resolvamos $ tan{theta}= dfrac{5 mi}{x} $ para $x$
[tan{theta}=frac{5 mi}{x}]
[x =frac{5 mi}{tan{theta}}]
Pon el valor de $x$
[frac{dtheta}{dt} = frac{-5 mi times cos^2{left(thetaright)} }{ {( dfrac{5 mi}{tan{theta}} )}^2} times (- 600frac{ mi}{h} )]
[frac{dtheta}{dt} = frac{-5 mi times cos^2{left(thetaright)} }{(25 {rm mi}^2) {( dfrac{1}{tan{theta}} )}^2} times (- 600frac{ mi}{h} )]
Al simplificar la ecuación y negar ${rm mi}^2$,
[frac{dtheta}{dt} = frac{-1 times cos^2{left(thetaright)} }{5 {( dfrac{1}{tan{theta}} )}^2} times (- 600 h^{-1} )]
Como $dfrac{1}{tan{theta}} =cot{theta}$
[frac{dtheta}{dt} = frac{-1 times cos^2{left(thetaright)} }{5 {( cot{theta} )}^2} times – (600 h^{-1} )]
[frac{dtheta}{dt} = 120 frac{ cos^2{left(thetaright)} }{ {( cot{theta} )}^2} h^{-1} ]
Como $cot{theta}= dfrac{cos{theta}}{sin{theta}}$
[ frac{dtheta}{dt} = 120 dfrac{ cos^2{left(thetaright)} }{ {( cot{theta} )}^2} h^{-1} ]
[ frac{dtheta}{dt} = 120 timessin^2{( theta )} h^{-1} ]
Los resultados numéricos
$a)$ Para $ theta = 30° $
[ frac{dtheta}{dt} = 120 timessin^2{( 30° )} h^{-1} ]
[ frac{dtheta}{dt} = frac{30°}{h} ]
$b)$ Para $ theta = 75° $
[ frac{dtheta}{dt} = 120 timessin^2{( 75 )} h^{-1} ]
[ frac{dtheta}{dt} = frac{111.96°}{h} ]
Ejemplo:
Pour la question ci-dessus, trouvez la vitesse à laquelle l’angle $theta$ change lorsque l’angle est $dfrac{pi}{4}$, l’altitude $4$ miles et la vitesse $400$ miles par hora.
[ tan{theta}= frac{4 mi}{x} ]
[ frac{dtheta}{dt} = frac{-4 mi times cos^2{left(thetaright)} }{ {( dfrac{4 mi}{tan{theta}} )}^2} times (- 400frac{ mi}{h} )]
[ frac{dtheta}{dt} = 100 timessin^2{( theta )} h^{-1} ]
[ frac{dtheta}{dt} = 100 timessin^2{( dfrac{pi}{4} )} h^{-1} ]
[ frac{dtheta}{dt} = frac{50°}{h} ]
Los dibujos de imágenes/matemáticas se crean en Geogebra.
