Una partícula se mueve a lo largo de la curva y=2 sin(pi x/2). Cuando la partícula pasa por el punto (1/3, 1), su coordenada x aumenta a una velocidad de sqrt{10} cm/s. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre la partícula y el origen en este instante?

1658358832 SOM Questions and Answers

La pregunta tiene como objetivo encontrar la tasa de cambio dentro distancia de la partícula de origen a medida que se mueve a lo largo de los datos curva y su aumenta el movimiento.

Los conceptos básicos necesarios para esta pregunta incluyen los conceptos básicos cálculo, quien comprende derivados y calcular distancia utilizando fórmula de distancia y algo razones trigonométricas.

Respuesta experta

La información proporcionada en la pregunta es la siguiente:

[ Curve y = 2 sin(pi frac{x} {2}) ]

[ A Point on the Curve , p = (1/3, 1) ]

[ Rate of Change of in x-coordinate dfrac{dx}{dt} = sqrt{10} cm/s ]

Para calcular el tasa de cambio dentro distancia, podemos usar el fórmula de distancia los distancia de origen a partícula se da de la siguiente manera:

[ S = sqrt{(x – 0)^2 + (y – 0)^2} ]

[ S = sqrt{ x^2 + y^2 } ]

Tomando el derivado de la distancia $S$ contra tiempo $t$ para calcular el tasa de cambio dentro distancia, se tiene:

[ dfrac{ dS }{ dt } = dfrac{d}{ dt } sqrt{ x^2 + y^2 } ]

Para hacer este calculo derivado, usaremos el cadena de reglas como:

[ dfrac{ dS }{ dt } = dfrac{d}{ d(x^2 + y^2) } (sqrt{ x^2 + y^2 }) times dfrac{ d(x^2 + y^2)}{ dt } ]

Resuelve el derivado, se tiene:

[ dfrac{ dS }{ dt } = dfrac{1}{ 2 sqrt{ x^2 + y^2 }} . Big[ 2x dfrac{ dx }{ dt } + 2y dfrac{ dy }{ dt } Big] hespacio{0,4 pulgadas} (1) ]

Para resolver esta ecuación, necesitamos el valor de $dfrac{ dy }{ dt }$. Podemos calcular su valor por derivar la ecuación dada curva. La ecuación de la curva está dada por:

[ y = 2 sin (pi dfrac{x}{2}) ]

Tomando el derivado de la curva $y$ en comparación con tiempo $t$, obtenemos:

[ dfrac{ dy }{ dt } = dfrac{d}{ dt } 2 sin (pi dfrac{x}{2}) ]

Resolviendo la ecuación, obtenemos:

[ dfrac{ dy }{ dt } = pi cos ( pi dfrac{x}{2}) times dfrac{ dx }{ dt } ]

Sustituyendo los valores obtenemos:

[ dfrac{ dy }{ dt } = pi cos ( pi (dfrac{frac{1}{3}}{2} )) times sqrt{10} ]

Resolviéndolo, obtenemos:

[ dfrac{ dy }{ dt } = dfrac{ pi }{ 2 } sqrt{30} ]

Sustituyendo los valores en la ecuación $(1)$, obtenemos:

[ dfrac{ dS }{ dt } = dfrac{1}{2 sqrt{ (dfrac{1}{3})^2 + (1)^2 }} . Big[ 2 (dfrac{1}{3}) sqrt{10} + 2 (1) (dfrac{ pi } {2} sqrt{30}) Big] ]

Resolviendo la ecuación, obtenemos:

[ dfrac{ dS }{ dt } = 9.2 cm/s ]

resultado numérico

los tasa de cambio de distancia de origen de la partícula moviéndose a lo largo de la curva se calcula en:

[ dfrac{ dS }{ dt } = 9.2 cm/s ]

Ejemplo

Encuéntralo distancia de uno partícula moviéndose a lo largo de la curva $y$ de la origen a indicar $(3, 4)$.

los fórmula de distancia se da de la siguiente manera:

[ S = sqrt{ (x – x’)^2 + (y – y’)^2 } ]

Aquí lo dado Información del contacto somos:

[ (x, y) = (3, 4) ]

[ (x’, y’) = (0, 0) ]

Sustituyendo los valores obtenemos:

[ S = sqrt{ (3 – 0)^2 + (4 – 0)^2 } ]

[ S = sqrt{ 3^2 + 4^2 } ]

[ S = sqrt{ 25 } ]

[ S = 5 units ]

los distancia de la partícula de origen a indicar dado en el curva es $25.