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Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

los desplazamiento horizontal resalta cómo el valor de entrada de la función afecta su gráfico. Cuando se trata de compensaciones horizontales, la atención se centra únicamente en cómo se comportan el gráfico y la función a lo largo del eje $x$. Es importante entender cómo funcionan las compensaciones horizontales, especialmente cuando se grafican funciones complejas.

El desplazamiento horizontal se produce cuando un gráfico se desplaza a lo largo de la $boldsymbol{x}$-eje por $boldsymbol{h}$ unidades, ya sea izquierda o derecha.

Junto con otras transformaciones, es importante saber identificar y aplicar horizontales en diferentes funciones, incluidas las funciones trigonométricas. Este artículo cubre todos los conceptos clave necesario para dominar este tema!

¿Qué es un desplazamiento horizontal?

Un desplazamiento horizontal es una traslación que mueve la gráfica de la función a lo largo del eje $x$. Describe cómo se mueve una función hacia la derecha o hacia la izquierda para encontrar la posición gráfica de la nueva función. Durante un desplazamiento horizontal, la función $f(x)$ se desplaza horizontalmente en unidades de $h$ y hace que la función se traduzca a $f(x pm h)$.

Examina las gráficas de las tres funciones: $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 3)^2$ y $h(x) = (x – 3)^ 2$. Con $f(x)$ como función madre o función base de funciones cuadráticas, las dos funciones restantes son el resultado de un desplazamiento horizontal $f(x)$.

  • Cuando $f(x) =x^2$ se desplaza $3$ unidades hacia la izquierda, su valor de entrada se desplaza $+3$ unidades a lo largo del eje $x$. Por lo tanto, la función traducida es igual a $g(x) = (x- 3)^2$.
  • De manera similar, cuando la función principal se desplaza $3$ unidades hacia la derecha, el valor de entrada se desplaza $-3$ unidades horizontalmente. Esto da como resultado la función traducida $h(x) = (x -3)^2$.

Este comportamiento es cierto para todos los desplazamientos horizontalespor lo que es mejor establecer una regla general de qué esperar cuando la función $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a la derecha o $h$ unidades a la izquierda.

Reglas para desplazamiento horizontal

Suponga que $h$ es mayor que cero y $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a lo largo del eje $x$, esto da como resultado las siguientes funciones:

1. $boldsymbol{y = f(x – h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia correcto.

2. $boldsymbol{y = f(x + h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia la izquierda.

Cuando mueve una función o su gráfico horizontalmente, el tamaño y la forma de la función siguen siendo los mismos.

Para comprender mejor cómo se ven afectadas las coordenadas de las características después de un desplazamiento horizontal, construir una tabla de valores para $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 1)^2$, y $h(x) = (x – 1)^2$.

begin{alineado} boldsymbol{x} end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=x^2} end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x-1)^2} end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x+1)^2} end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

La tabla de valores confirma que para $y = (x -1)^2$, los valores de la función se desplazan $1$ unidad a la derecha. De manera similar, los valores de la función se desplazan $1$ unidades hacia la izquierda para $y = (x + 1)^2$ con respecto a $y =x^2.

Comprender el desplazamiento horizontal en trigonometría

El desplazamiento horizontal es una técnica útil para graficar y estudiar funciones trigonométricas. En trigonometría, el desplazamiento horizontal a veces se denomina cambio de fase. El proceso sigue siendo el mismo: cuando el valor de entrada de una función trigonométrica se desplaza a lo largo del eje $x$, su gráfico hace lo mismo.

Echa un vistazo a los dos gráficos, $g(x)$ es el resultado de un desplazamiento horizontal $y= sin x$ por $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. De hecho, si el dominio está limitado a $2pi$, $g(x)$ refleja la gráfica de $y = cos x$, confirmando que $cos x = sin left(x – dfrac{ pi}{2} derecho)$.

Graficar funciones trigonométricas es mucho más fácil cuando se realizan transformaciones como se aplican compensaciones horizontales o de fase. Como las gráficas de las funciones trigonométricas fundamentales están estudiadas y bien establecidas, será mucho más fácil graficarlas y luego aplicar los desplazamientos.

Desplazamiento horizontal para trigonometría

Dadas funciones trigonométricas como la forma general de seno que se muestra a continuación:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D end{alineado}

El desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la derecha. Lo mismo se aplica a:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D, end{alineado}

el desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la izquierda.

Esta sección ha cubierto todos los fundamentos del desplazamiento horizontal, por lo que es hora de aprender a aplicar traslaciones horizontales. Las próximas dos secciones establecerán el proceso y cubrirán ejemplos de movimientos horizontales.

¿Cómo encontrar el desplazamiento horizontal?

Para encontrar el desplazamiento horizontal aplicado a un gráfico o función, determinar los cambios de eje $x$.

  • Cuando reciba el gráfico, observe los puntos clave del gráfico original y luego determine cuánto se ha movido el nuevo gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha.
  • Cuando se le dé la función, reescriba la expresión para resaltar $(x – h)$ y el valor de $h$ para determinar el desplazamiento horizontal aplicado a la función.

Reglas y condiciones de uso establecido en el apartado anterior para resolver problemas de desplazamientos horizontales.

Encontrar el desplazamiento horizontal de un gráfico

Cuando se le da un gráficoobservar qué tan lejos de la pre-imagen (normalmente la función principal correspondiente) es la imagen resultante después de ser desplazada horizontalmente por $h$ unidades.

  • Caso 1: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la derecha del gráfico, esto significa que de $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x – h)$.
  • Caso 2: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la izquierda del gráfico $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x + h)$.

Utilice esta guía para describir el desplazamiento horizontal que ha ocurrido en un gráfico dado. Por ejemplo, para conocer el desplazamiento horizontal aplicado en la función madre de la función que se muestra a continuación, observe el movimiento en el gráfico trasladado de $y = x$ con respecto al eje $x$.

Al describir el desplazamiento horizontal, centrarse en cómo se comportan los puntos y la curva de la función a lo largo de la eje $x$. Construya la gráfica de su función principal, $y =x$, para ver cómo se ha movido el punto $(3, 0)$.

A partir de ahí, podemos ver que desde $(0, 0)$, el punto se ha movido a $(3, 0)$ o $3$ unidades a la derecha. Esta observación sigue siendo cierta para los demás puntos de la gráfica. Eso significa que la función principal se desplaza $3$ unidades a la derecha en orden. A partir de esta información, también es posible encontrar la expresión de la función.

begin{alineado}(0, 0) &rightarrow (3, 0)\ x &rightarrow x – 3\y=x &rightarrow y=x – 3end{alineado}

Esto significa que al encontrar el desplazamiento horizontal, se demostró que la función mostrada tiene una expresión de $y = x – 3$.

Hallar el desplazamiento horizontal de una función

Cuando se dan la función y su expresión, encuentre el desplazamiento horizontal por reescribió su expresión para resaltar la diferencia con la función actual de su función madre.

begin{alineado}f(x) rightarrow f(x – h)end{alineado}

Supongamos que $f(x)$ representa la función principal y $f(x –h)$ es la función traducida, el desplazamiento horizontal dependerá de $h$. Es simple cuando se trabaja con funciones más simples como $y = x -3$.

Hay casos, sin embargo, donde es difícil identificar el desplazamiento horizontal inmediatamente. Use la guía a continuación para reescribir la función donde sea fácil identificar el desplazamiento horizontal.

begin{alineado}f(cx pm d) &= f left(cleft(x pm dfrac{d}{c}right)right)end{alineado}

Eso significa que al identificar el desplazamiento horizontal en $(3x + 6)^2$, reescríbelo factorizando los factores como se muestra a continuación.

begin{alineado}(3x + 6)^2 &= [3(x + 2)]^2end{alineado}

Esto destaca la presencia de desplazamiento horizontal y otras transformaciones. presente en la función con respecto a su función madre.

Ejemplo 1

Grafica las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = (x + 1)^3$. Usando el gráfico, describe $g(x)$ en términos de $f(x)$.

Solución

Construye una tabla de valores para las dos funciones. para ayudar a construir sus gráficos. La tabla de valores también dará una pista sobre el desplazamiento horizontal aplicado en $f(x)$ para obtener $g(x)$.

begin{alineado}boldsymbol{x}end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{f(x)}end{alineado}

begin{alineado}-8end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{g(x)}end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}27end{alineado}

La tabla de valores muestra que los valores de la función se han desplazado una unidad a la izquierda. Ahora, volviendo a verificar esto con los gráficos resultantes para ambas funciones, $g(x)$ es el resultado de mover $f(x)$ unidad $1$ a la derecha.

Ejemplo 2

Usa el desplazamiento horizontal para mostrar que $cos left(x- dfrac{pi}{2}right)= sin x$.

Solución

En un plano $xy$, dibujar las curvas de $sen x$ y $cosx$. Utilice la tabla de valores si es necesario. Usa los gráficos resultantes para observar cómo $cos x$ se desplaza para llegar a la curva de $sin x$.

Esto muestra que la curva de $sen x$ es simplemente el resultado de moverse $cos x$ curva $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. Esto significa que en términos de $sin x$, $cos x$ es equivalente a desplazar el valor de entrada de $y =sin x$ por $- dfrac{pi}{2}$.

begin{alineado}cos x = sin left(x – dfrac{pi}{2}right)end{alineado}

Preguntas prácticas

1. Observa las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ como se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $4$ unidades a la derecha.
B. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $4$ unidades a la izquierda.
C. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.
D. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.

2. Suponga que $y = sqrt{x}$ se desplaza $15$ unidades a la izquierda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones muestra la expresión de la función desplazada?

R. $y = sqrt{x} – $15
B. $y = sqrt{x + 15}$
C. $y = sqrt{15 -x}$
D. $y = sqrt{x – 15}$

corregido

1.B

2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

marzo 3, 2022 por Blog Preguntas Transformaciones Unidades

Perímetro de un Triángulo – Explicación y Ejemplos

Perímetro de un Triángulo – Explicación y Ejemplos

El perímetro de un triángulo se puede definir como la longitud total a través de todos los límites de un triángulo.

perimeter of a triangle definition

Suponga que las longitudes de los tres lados de un triángulo son $a$, $b$ y $c$, como se muestra en la figura anterior. Con esta información, el el perímetro se calcula como:

$Perímetro = a + b + c$

el triangulo es una figura geométrica de tres lados, y se puede clasificar en diferentes tipos según las medidas de sus lados y ángulos. Modificaremos ligeramente la fórmula del perímetro para cada tipo de triángulo. En este tema, veremos cómo calcular el perímetro de diferentes tipos de triángulos.

En términos generales, el perímetro te dará la longitud total de un polígono dado. El perímetro se calcula simplemente sumar todos los lados de un polígono. Para un triángulo, todos los lados y ángulos no tienen que ser iguales. La relación entre los ángulos y los lados varía según el tipo de triángulo, por lo que la fórmula del perímetro difiere según el tipo de triángulo.

¿Cuál es el perímetro de un triángulo?

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. Para calcular el perímetro de un triángulo, necesitamos calcular la longitud total a través de los límites del triángulo. Dado que el perímetro se calcula sumando, esto hace que el perímetro sea una medida lineal.

Entonces, las unidades perimetrales son las mismas como la unidad de los lados dados, es decir, centímetros, metros, pulgadas, etc.

Como hallar el perimetro de un triangulo

Para calcular el perímetro de un triángulo, suma los tres lados del triángulo, como vimos anteriormente.

Considere la imagen de un triángulo dada a continuación:

perimeter of triangle example

Aquí, los lados del triángulo son respectivamente $7$, $8$ y $9$ cm. Entonces el perímetro de este triángulo estará dado por:

Perímetro $= 7 + 8+ 9 = $24 cm

Perímetro de una fórmula triangular

La fórmula del perímetro de un triángulo será depende del tipo de triangulo. Analicemos los tipos de triángulos y cómo derivar sus fórmulas.

tipos de triangulos

Hay Tres tipos diferentes de triángulos.s dependiendo de la relación entre sus lados.

  1. Triángulo equilátero
  2. Triángulo isósceles
  3. Triángulo escaleno

– Triángulo equilátero

Un triángulo se considera un triángulo equilátero si las longitudes de los tres lados son iguales. Para un triángulo equilátero, la medida de cada ángulo interior será de 60 grados. A continuación se muestra la figura de un triángulo equilátero.

equilateral triangle 1

Perímetro de un triángulo equilátero

Un triángulo equilátero es un triángulo con tres lados iguales. Entonces, si los lados son $a$, $b$ y $c$, escribiremos el perímetro del triángulo como

Perímetro del triángulo equilátero $= a + b + c$

Como sabemos que $a = b = c$, entonces

Perímetro del triángulo equilátero $= 3a = 3b = 3c$

Ejemplo 1:

Si el lado de un triangulo equilatero mide 6 cm ¿cual sera el perimetro del triangulo?

Solución:

Nos dan el valor de un lado del triángulo equilátero, pero como sabemos los tres lados del triángulo equilátero son igual. Por lo tanto, el perímetro del triángulo se calculará de la siguiente manera:

Perímetro del triángulo equilátero $= 3times a$

Perímetro del triángulo equilátero $= 3times 6$

Perímetro del triángulo equilátero $= 18cm$

– Triángulo isósceles

Se dice que un triángulo es un triángulo isósceles si las longitudes y los ángulos de dos lados son iguales entre sí mientras que el tercer lado difiere del resto. A continuación se muestra la figura de un triángulo isósceles.

parts of isosceles triangles

Perímetro de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales. Entonces, si los lados son $a$, $b$ y $c$ y $a = b$, entonces escribiremos el perímetro del triángulo como

Perímetro del triángulo $= a + b + c$

Perímetro del triángulo isósceles $= a + a + c$

Perímetro del triángulo isósceles $= 2a + c$

Ejemplo 2:

Si el perímetro de un triángulo es de 40 cm y la longitud de dos de sus lados es de 8 cm cada uno, ¿cuál será la longitud del tercer lado del triángulo?

Solución:

Nos dan el valor de dos lados del triangulo que son iguales; por lo tanto, es un triángulo isósceles.

Perímetro de un triángulo isósceles $= 2a + b$

$48 = (2 por 8) + b $

$b = dfrac{48}{16}$

$b = 3 cm $

– Triángulo escaleno

Se dice que un triángulo es un triángulo escaleno si la longitud de los tres lados son diferentes entre si. Esto significa que ningún lado será igual a otro lado. Por ejemplo, la siguiente figura de un triángulo escaleno muestra que ninguno de sus lados es igual.

Scalene Triangle

Perímetro de un triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es un triángulo que tiene tres lados diferentes. Como todos los lados son diferentes, incapaz de cambiar la fórmula para el perímetro del triángulo como lo hicimos para los triángulos equiláteros e isósceles. Por lo tanto, la fórmula sigue siendo la misma que la fórmula estándar, es decir,

Perímetro del triángulo $= a + b + c$.

Ejemplo 3:

Si la longitud de los tres lados de un triángulo es de 5 cm, 6 cm y 4 cm respectivamente, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Como la longitud de todo los tres lados de un triangulo son diferentes, es un triángulo escaleno. La fórmula para el perímetro del triángulo escaleno está dada por

P$= a + b+ c$

$P = $5+6+4

$P = 15cm $

Perímetro de un triángulo rectángulo

Un triangulo se llama triangulo rectangulo si uno de sus angulos es recto. Esto significa que uno de los ángulos del triángulo es $90^{o}$. El perímetro de dicho triángulo también se calcula sumando todos los lados del triángulo, por lo que si la longitud de alguno de los lados no está disponible, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar este valor. Por ejemplo, considere un triángulo rectángulo dado a continuación.

Aquí “b” es la base, “a” es perpendiculary “c” es el hipotenusa.

Según la definición del teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de la base y la perpendicular.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

$c = sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

Entonces, si el valor del lado “c” es desconocidoentonces podemos escribir la fórmula del perímetro como

Perímetro del triángulo rectángulo $= a+b+sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

Ejemplo 4:

Considere un triángulo rectángulo ABC cuyo lado AC es la hipotenusa. Si las medidas de los lados AB y BC son 8 cm y 6 cm respectivamente, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Necesitamos el valores en tres lados para calcular el perímetro del triángulo rectángulo. Como es un triángulo rectángulo, podemos calcular la longitud del lado AC usando el teorema de Pitágoras.

$AC^{2} = AB^{2}+BC^{2}$

$AC = sqrt{(AB^{2}+BC^{2})}$

$CA = sqrt{(8^{2}+6^{2})}$

$AC = sqrt{64+36}$

$AC = sqrt{100}$

CAD = 10 cm$

Perímetro $= AB + BC+ AC $

$ perímetro = 8+6+$10

$ perímetro = 24 cm $

Perímetro de un triángulo rectángulo isósceles

Se dice que un triángulo es un triángulo rectángulo isósceles si dos lados y dos ángulos son iguales, y el tercer angulo es un angulo recto. Por ejemplo, considere la imagen de un triángulo rectángulo isósceles que se muestra a continuación.

perimeter of isoceles right angle triangle

Aquí, la base y las perpendiculares son iguales y anotó “a”, mientras que “c” es el triángulo hipotenusa.

Escribiremos el perímetro del triángulo como:

Perímetro del triángulo rectángulo $= 2a+c$

Si no se conoce la hipotenusa del triángulo, se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

Aquí a = b

$c = sqrt{(a^{2}+a^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(2veces a^{2})}$

$c = sqrt{2}veces un $

Por lo tanto, si se desconoce el valor de “c”, podemos escribir la fórmula de la siguiente manera:

Perímetro del triángulo rectángulo $= 2a+ sqrt{2}times a $

Ejemplo 5:

Considere un triángulo ABC. La longitud de los dos lados AB y CA del triángulo es de 8 cm cada uno mientras que los dos ángulos son $45^{o}$ cada uno. ¿Cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Sabemos que el triángulo rectángulo cuyos dos lados y dos ángulos interiores son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles. Para calcular el perímetro del triángulo, necesitamos saber la longitud del tercer lado. La longitud del tercer lado “BC” se puede calcular usando la fórmula:

$BC = sqrt{2}veces AB $

$BC = 1.414 times $8

$BC = $11.31 aprox.

El perímetro del triángulo será:

Perímetro $= 8 + 8 + 11.31 = 27.31 cm$ aprox.

Cuestiones prácticas

1. Considera un triángulo cuyos lados miden $5cm$, $6cm$ y $8cm$. ¿Cuál será el perímetro del triángulo?

2. Si los tres lados de un triángulo miden $7 cm$, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

3. Nathan diseña un jardín triangular. Ayuda a Nathan a calcular el perímetro del jardín usando los siguientes datos:

  • El valor de las longitudes de los dos lados es $= 6 cm$ cada uno, y los ángulos interiores son $45^{o}$ cada uno.
  • El valor de las longitudes de ambos lados es $6 cm$ y $8 cm$. Por lo tanto, un ángulo del triángulo es un ángulo recto.
  • El valor de las longitudes de los dos lados es $= 6 cm$ cada uno, y la longitud del tercer lado es $10 cm$

4. Alex recibe un alambre triangular con una longitud de 99 cm$.

  • Calcula la longitud de los lados del triángulo si el triángulo es equilátero.
  • Calcula la longitud del tercer lado si la longitud de los dos lados restantes es de 30 cm$ cada uno

corregido

1. Sabemos la fórmula del perímetro del triangulo:

Perímetro del triángulo $= a+b+c$

Perímetro del triángulo $= 5cm + 6cm + 8cm$

Perímetro del triángulo $= 19 cm$

2. Conocemos la fórmula del perímetro de un triángulo cuando todos los lados son iguales se da de la siguiente manera:

Perímetro $= 3times a$

Perímetro $= 3times $7

Perímetro $= 21 cm$.

3.

  • Dado que los dos ángulos de un triángulo son iguales a $45^{o}$, entonces el tercero debe ser $90^o$ porque la suma de los tres ángulos de un triángulo siempre es igual a $180^o$. Por lo tanto, tenemos un triángulo rectángulo isósceles y la longitud de ambos lados es de 6 cm cada uno.

Lo primero que hay que hacer es calcular la longitud del tercer lado.

Sean los lados a y b = 6 cm y necesitamos encontrar la longitud del lado “c” usando el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

Aquí a = b

$c = sqrt{(a^{2}+a^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(2veces a^{2})}$

$c = sqrt{2}veces un $

$c = 1,41veces $6

$c = 8,46 cm$

El perímetro del triángulo será:

Perímetro $= 6 + 6 + 8.46 = 20.46 cm$ aprox.

  • Uno de los ángulos es $90^{o}$, por lo que es un triángulo rectángulo.

Nos dan dos lados y nosotros calcular la longitud del tercer lado.

Sean un lado a $= 5 cm$ y b $= 8 cm$ y tenemos que encontrar la longitud del lado “c” usando el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

$c = sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(5^{2}+8^{2})}$

$c = sqrt{25+64}$

$c =raíz cuadrada{89}$

$c = 9,43 cm$ aprox.

Perímetro $= a + b+ c $

Perímetro $= 5+ 8 + $9.43

Perímetro $= 22.43 cm $ aprox.

  • La longitud de los dos lados del triángulo es la misma, mientras que la longitud del tercer lado es diferente, por lo que es un triángulo isósceles. Que el lado “a” y “b” $= 6cm$ mientras que el lado “c” $= 10 cm$.

Podemos calcular el perímetro usando la fórmula:

Perímetro del triángulo $ = a+b+c $

Aquí a = b

Perímetro del triángulo $ = 2a +c $

Perímetro del triángulo $ = (2 times 6) + 10$

Perímetro del triángulo $ = 12 + 10$

Perímetro del triángulo $ = 22 cm$

4.

  • Se nos da la longitud total de un alambre de forma triangularpor lo tanto, el perímetro de la figura triangular es de 99 cm.

Si todos los lados del triángulo son iguales, es un triángulo equilátero. El perímetro de un triángulo equilátero es:

Perímetro $ = 3 veces un $

$99 = 3 veces un $

a$ = dfrac{99}{3}$

uno $ = 33 cm $

Por lo tanto, la longitud de todos los lados del triángulo es de 33 cm cada uno.

  • Nos dan la longitud total de un alambre de forma triangular y la longitud de los dos lados del triángulo. Ambos lados del triángulo son iguales, entonces es un triangulo isosceles. Podemos calcular la longitud del tercer lado usando la fórmula del perímetro de un triángulo isósceles.

Sea $a = b = 30 cm$ y perímetro$ = 99cm$

Perímetro de un triángulo isósceles $= 2a + c$

$99 = (2veces 30) + c$

$c = 99 – $60

$c = 39cm$

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febrero 25, 2022 por Ángulos Blog Unidades

Perímetro de un cuadrado – Explicaciones y ejemplos

Perímetro de un cuadrado – Explicaciones y ejemplos

El perímetro de un cuadrado es la longitud total medida a través de sus límites.

Sea $x$ la longitud de cada lado del cuadrado, como se muestra en la siguiente figura:

perimeter of square

El perímetro se calcula según la fórmula:

$textrm{Perímetro} = 4x$

La palabra perímetro es la combinación de dos palabras griegas, “Peri” que significa rodear o encerrar un área, y “Metro” que significa medida; entonces perímetro significa medida total de los límites de una superficie.

Se calcula por sumar todos los lados de una figura geométrica dada, por lo que si sumamos todos los lados de un cuadrado, esto nos dará el perímetro de ese cuadrado. Este tema te ayudará a comprender el concepto del perímetro de un cuadrado y cómo calcularlo.

¿Cuál es el perímetro de un cuadrado?

El perímetro de un cuadrado es la distancia total recorrida alrededor de sus límites. Un cuadrado es un polígono cerrado de cuatro lados iguales, por lo que si multiplicamos 4 por uno de los lados, nos dará el perímetro del cuadrado.

A veces nos dan la diagonal o el área de un cuadrado, y nos piden que calculemos el perímetro. Veremos cómo encontrar un perímetro en estos escenarios.

Las unidades perimetrales son el mismo como unidades de longitud de los lados de un cuadrado y se expresan en centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.

Cómo encontrar el perímetro de un cuadrado

Para calcular el perímetro de un cuadrado necesitamos suma todos los lados del cuadrado. Considere la imagen de un cuadrado a continuación.

Perimeter of a square

Si sumamos todas las longitudes, esto nos dará el perímetro del cuadrado. Este método es aplicable sólo si se da la longitud de cualquier lado de la plaza En otros casos, el perímetro se puede calcular usando:

  1. La diagonal del cuadrado
  2. El área de la plaza.

Los datos proporcionados determinarán qué método usar para calcular el perímetro del cuadrado.

Perímetro de un cuadrado usando la longitud de sus lados

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de los lados del cuadrado. Para calcular el perímetro usando este método seguimos los siguientes pasos:

  1. Anota la medida de cualquier lado del cuadrado (para un cuadrado, todos los lados son iguales).
  2. Multiplica la longitud del lado dado por “4”.
  3. Exprese el perímetro calculado en las unidades deseadas.

Perímetro de un cuadrado usando la diagonal del cuadrado

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de la diagonal de la plaza

Perimeter of a square diagonal method

Para calcular el perímetro usando este método, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Tenga en cuenta la medida de la diagonal del cuadrado.
  2. Calcula la longitud de los lados del cuadrado dividiendo la diagonal por $sqrt{2}$. $Lado = dfrac{diagonal} {sqrt{2}}$.
  3. El perímetro se calcula multiplicando la fórmula del paso 2 por “4”. Perímetro $ = 4times dfrac{diagonal}{sqrt{2}}$.

Perímetro $= (2times 2) dfrac{diagonal}{sqrt{2}}$

Perímetro $= (2 sqrt{2}) times diagonal$

Perímetro de un cuadrado usando área

Este método se utiliza cuando nos dan el area del cuadrado y no se dan datos sobre la longitud del lado del cuadrado. Para calcular el perímetro usando este método, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Anota el valor del área del cuadrado.
  2. Calcula la longitud de un lado del cuadrado usando la siguiente fórmula: Lado $= sqrt{área}$.
  3. El perímetro se calcula multiplicando el valor del lado obtenido en el paso 2 “4”. Perímetro $= 4veces sqrt{área}$.

Perímetro de una fórmula cuadrada

El perímetro de un cuadrado es muy fácil de encontrar. Como vimos anteriormente, el perímetro se calcula por suma todos los lados del cuadrado.

Perímetro del cuadrado = lado + lado + lado + lado

Lado = x

Perimeter of a square

El perímetro de un cuadrado es $= x+x+x+x$

Perímetro del cuadrado $= 4times x$

Aplicaciones reales del perímetro de un cuadrado

El perímetro de un cuadrado se puede utilizar en muchas aplicaciones reales. A continuación se dan varios ejemplos:

  • Podemos usar el perímetro de un cuadrado para determinar o estimar la longitud de un jardín que tiene forma cuadrada.
  • La fórmula del perímetro también es útil para diseñar una mesa cuadrada, armarios y una piscina cuadrada.
  • También es útil en planos de construcción de oficinas cuadradas o un límite cuadrado alrededor de una casa.
  • Es extremadamente útil cuando los agricultores quieren estimar el costo de cercar una parcela cuadrada o una finca cuadrada.
  • Esta fórmula será útil al construir un establo cuadrado para caballos. El perímetro de la plaza te ayudará en la construcción del granero.

Ejemplo 1:

Si la longitud de un lado del cuadrado es $7 ,cm$, ¿cuál es la longitud de los lados restantes?

Solución:

Sabemos que todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud, por lo que la longitud de los tres lados restantes también es $7,cm$ cada uno.

Ejemplo 2:

Calcula el perímetro de un cuadrado de la siguiente figura.

perimeter of a square

Solución:

Nos dan la longitud de un lado de un cuadrado y sabemos que todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud.

Perímetro del cuadrado $= 4times side$

Perímetro del cuadrado $= 4times 6$

Perímetro del cuadrado $= 24,cm$

Ejemplo 3:

Supongamos que el perímetro de un cuadrado es de $60,cm$, ¿cuál será la longitud de todos los lados del cuadrado?

Solución:

Nos dan el perímetro del cuadrado. Podemos calcular la longitud de un lado de un cuadrado usando la fórmula del perímetro

Perímetro del cuadrado $= 4times side$

$60 = 4veces lado$

Lado $= dfrac{60}{4}$

Lado $= dfrac{60}{4}$

Lado $= 15 ,cm$

Sabemos que todos los lados del cuadrado tienen la misma longitud, por lo que todos los lados del cuadrado miden $15 ,cm$ cada uno.

Ejemplo 4:

Si la longitud del lado de un cuadrado es $11 ,cm$, ¿cuál será el perímetro del cuadrado?

Solución:

Perímetro del cuadrado $= 4times side$

Perímetro del cuadrado $= 4times 11$

Perímetro del cuadrado $= 44,cm$

Ejemplo 5:

Un jardín cuadrado tiene un área de $49, metro^{2}$. ¿Cuál será el perímetro del jardín?

Solución:

Como el jardín tiene forma cuadrada, podemos calcular la longitud de cualquier lado del jardín usando la fórmula.

Lado $= sqrt{área}$

Lado $= sqrt{49}$

Lado $= 7 ,m$

Perímetro cuadrado del jardín $= 4times side$

Perímetro del jardín cuadrado $= 4 times 7$

Perímetro de jardín cuadrado $= 28, m$

Ejemplo 6:

Nina planea diseñar un jardín cuadrado. Si la longitud de la diagonal del jardín es $4veces sqrt{2},metros$, ¿cuál será el perímetro del jardín?

Solución:

Nos dan la medida de la diagonal del jardín.

Diagonal del jardín $= 4times sqrt{2}$ m

Podemos calcular el perímetro del jardín cuadrado usando la siguiente fórmula.

Perímetro del jardín $= (2sqrt{2})times hspace{1mm} diagonal$

Perímetro del jardín $= (2sqrt{2})times 4 sqrt{2}$

Perímetro del jardín $= 8times 2$

Perímetro del jardín $= 16,metros$

Cuestiones prácticas

1. Si un lado del cuadrado mide $10 .cm$, ¿cuál será la longitud de los lados restantes y el valor del perímetro del cuadrado?

2. Si el perímetro de un cuadrado es $72, cm$, ¿cuál será la longitud de los lados del cuadrado?

3. Allan diseña una mesa cuadrada. Ayuda a Allan a calcular el perímetro de la pintura usando los datos a continuación.

  • El largo de un lado de la mesa es de 20 $,cm$.
  • La diagonal de la matriz es $10sqrt{2},cm$.
  • El área de la mesa es $36, cm^{2}$.

4. Nina planea construir un establo cuadrado para sus caballos. Ayuda a Nina a calcular el perímetro del granero en centímetros usando los datos a continuación.

  • La medida de un lado del granero es 7 $,metros$.
  • La diagonal del granero es 5 $sqrt{2},meters$.
  • El área del granero es de 25 $ metros^{2}$.

corregido

1. Nos dan la longitud de un lado del cuadrado y sabemos que todos los lados del cuadrado son iguales, por lo que cada lado mide = 10 cm.

Perímetro del cuadrado $= 4times side$

Perímetro del cuadrado $= 4times 10$

Perímetro del cuadrado $= 40 ,cm$

2. Nos dan el perímetro del cuadrado, así que necesitamos encontrar la longitud de un lado del cuadrado. Usando la fórmula del perímetro:

Perímetro del cuadrado $= 4times side$

$72 = 4veces lado$

Lado $= dfrac{72}{4}$

Lado $= dfrac{60}{4}$

Lado $= 18 ,cm$

Como todos los lados del cuadrado tienen la misma longitud, la longitud de cada lado del cuadrado es $= 18 ,cm$.

3.

  • Se da la longitud de un lado de la mesa cuadrada, por lo que podemos calcular el perímetro usando la fórmula:

Perímetro de la mesa $= 4times side$

Perímetro de la mesa $= 4times 20$

Perímetro de la mesa $= 80, cm$

  • La longitud de la diagonal de la matriz $= 10sqrt{2}, cm$

El perímetro de la matriz se puede calcular usando la fórmula:

Perímetro $= (2sqrt{2})timeshspace{1mm} diagonal$

Perímetro de la mesa cuadrada $= (2sqrt{2})times 10 sqrt{2}$

Perímetro de la mesa $= (10times 2) ( sqrt{2}times sqrt{2})$

Perímetro de la mesa $= (20) ( 2)$

Perímetro de la mesa $= 40, cm$

  • área de la matriz = $36, cm^{2}$

    Podemos calcular la longitud de un lado de la mesa usando la fórmula:

    Lado $= sqrt{área}$

    Lado $= sqrt{36}$

    Lado $= 6, cm$

    Perímetro de la mesa $= 4times side$

    Perímetro de la mesa $= 4 times 6$

    Perímetro de la mesa $= 24 ,cm$

4.

  • Un lado del granero $= 7m$

Perímetro del granero $= 4times side$

Perímetro del granero $= 4times 7$

Perímetro del galpón $= 28 ,metros$

Pero se nos pide que calculemos el perímetro en centímetros, por lo que debemos convertir la respuesta a centímetros.

Perímetro del granero $= 28 times 100 = 2800$ cm

  • La longitud de la diagonal del granero $= 5 sqrt{2}, metros$

Perímetro $= (2sqrt{2})timeshspace{1mm} diagonal$

Perímetro de la mesa cuadrada $= (2sqrt{2})times 5 sqrt{2}$

Perímetro del granero $= (5times 2) ( sqrt{2}times sqrt{2})$

Perímetro del granero $= (10) ( 2)$

Perímetro del granero $= 20, m$

Perímetro del granero $= 20 times 100 = 2000, cm$

  • área del granero = $25 ,m^{2}$

Podemos calcular la longitud de un lado de la mesa usando la fórmula

Lado $= sqrt{área}$

Lado $= sqrt{25}$

Lado $ = $ 5 millones

Perímetro del granero $= 4times side$

Perímetro del granero $= 4 times 5$

Perímetro del granero $= 20; metros$

Perímetro del granero $= 20 times 100 = 2000 ;cm$

febrero 25, 2022 por Blog Unidades

Perímetro de un rombo – Explicación y ejemplos

Perímetro de un rombo – Explicación y ejemplos

El perímetro de un rombo es la longitud total medida a través de sus límites.

perimeter of rhombus

Todos los lados de un rombo son iguales entre sí. Si la longitud de un solo lado es igual a $x$, como se muestra en la figura anterior, el perímetro está dado por

Perímetro $=4x$

El perímetro de un rombo se obtiene por agregar valor desde todos los lados. Este tema te ayudará a comprender las propiedades de un rombo y calcular su perímetro.

Antes de pasar al tema, debes saber la diferencia entre un rombo, un cuadrado y un paralelogramo, ya que todos ellos son cuadriláteros (es decir, figuras geométricas de cuatro lados) y comparten algunos puntos en común. los las diferencias entre ellos se muestran en la siguiente tabla.

Paralelogramo

Cuadrado

Rombo
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales Todos los lados de un cuadrado son iguales Todos los lados de un rombo son iguales
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, mientras que los ángulos adyacentes se complementan. Todos los ángulos (interiores y adyacentes) son iguales. Todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, 90 grados. La suma de dos ángulos interiores de un rombo es igual a 180 grados. Por lo tanto, si todos los ángulos de un rombo son iguales, serán $90^o$ cada uno, lo que lo convierte en un cuadrado.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Las diagonales del cuadrado tienen la misma longitud. Las diagonales del rombo se bisecan entre sí y tienen la misma longitud.
No todo paralelogramo es un rombo. Todo rombo es un paralelogramo.
Los cuatro lados de un cuadrado son perpendiculares entre sí. Los lados de un rombo no son necesariamente perpendiculares.

¿Cuál es el perímetro de un rombo?

El perímetro de un rombo es la distancia total recorrida alrededor de sus límites. Un rombo es una figura geométrica plana de cuatro lados, y si sumamos la longitud de los cuatro lados, esto nos dará el perímetro del rombo.

Todos los lados de un rombo son iguales, similares a un cuadrado, y el perímetro se calcula por multiplica 4 por la longitud de un solo lado.

Tenga en cuenta que, a diferencia de un cuadrado, los cuatro ángulos de un rombo no son necesariamente iguales para $90^{o}$. Un rombo es una mezcla de un rectángulo y un cuadrado, y las propiedades de un rombo se dan a continuación.

1. Los cuatro lados de un rombo son iguales.

2. Los lados opuestos de un rombo son paralelos.

3. Las diagonales de un rombo se bisecan en 90 $^{0}$.

4. Los ángulos opuestos de un rombo son iguales.

5. Como un rectángulo, la suma de dos ángulos adyacentes de un rombo es $180^{o}$.

el perímetro es una medida linealpor lo tanto, las unidades del perímetro son las mismas que las unidades de las longitudes de cada lado, es decir, centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.

Cómo encontrar el perímetro de un rombo

El perímetro de un rombo se define como la suma de todos los lados de un rombo. Si sumamos todos los lados, esto nos dará el perímetro del rombo. Este método solo es aplicable si nos dan la longitud de un lado de un rombo.

A veces nos dan las diagonales de un rombo y nos piden encontrar el perímetro. Así, los datos proporcionados determina qué método debemos usar calcular el perímetro de un rombo.

Perímetro de un rombo usando el método lateral

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de cualquier lado de un rombo. Como se dijo anteriormente, todos los lados de un rombo son iguales. Por lo tanto, si un lado de un rombo es “x”, entonces podemos calcular el perímetro del rombo multiplicando “x” por 4.

Perímetro de un rombo por el método de las diagonales

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de las diagonales de un rombos y no hay datos disponibles sobre las longitudes de los lados del rombo. Sin embargo, sabemos que las diagonales de un rombo se intersecan en ángulos rectos, por lo que cuando dibujamos las diagonales de un rombo, nos da cuatro triángulos rectángulos congruentes, como se muestra en la imagen de abajo.

Perimeter of rhombud diagonal method

Para calcular el perímetro usando este método, seguimos los pasos que se detallan a continuación:

  1. Primero, anota las medidas de las diagonales del rombo.
  2. Luego aplica el teorema de Pitágoras para obtener el valor de cualquier lado del rombo.
  3. Finalmente, multiplique el valor calculado en el paso 2 por “4”.

Perímetro de una fórmula de rombo

Podemos derivar la fórmula para el perímetro de un rombo por multiplica la longitud de uno de los lados por “4”. Sabemos que todos los lados de un rombo son iguales y podemos escribir la fórmula para el perímetro de un rombo como:

Perímetro de un rombo $= x + x + x + x$

Perímetro de un rombo $= 4times x$

Perímetro de un rombo cuando se dan dos diagonales

Derivemos la fórmula para el perímetro de un rombo cuando nos dan la longitud de las diagonales. Considere esta imagen de un rombo con los valores de las dos diagonales disponibles.

perimeter of rhombus diagonal example

Podemos toma uno de los cuatro triángulos para resolver la fórmula. Tome el triángulo ABP. Conocemos las diagonales del rombo en $90^{o}$, por lo que podemos escribir AP y BP como $dfrac{a}{2}$ y $dfrac{b}{2}$ respectivamente. Ahora bien, si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ABP:

$c^{2} = (dfrac{a}{2})^{2} + (dfrac{b}{2})^{2}$

$c^{2} = (dfrac{a^{2}}{4}) + (dfrac{b^{2}}{4})$

$ c = dfrac{sqrt{(a^{2}+ b^{2})}}{2}$

Sabemos que podemos escribir la fórmula del perímetro del rombo cuando un lado (en este caso el lado “c”) viene dado por:

Perímetro de un rombo $= 4 times c$

Introduzca el valor de “c” en la fórmula anterior:

Perímetro de un rombo $= 4 times dfrac{sqrt{(a^{2}+ b^{2})}}{2}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Notar: También puedes usar la fórmula anterior para calcular el perímetro del rombo si tienes la longitud de una diagonal con el área del rombo. Fórmula para el área del rombo $= dfrac{diagonalhspace{1mm} 1times diagonal hspace{1mm} 2}{2}$. Para que podamos calcular la longitud de la segunda diagonal usando la fórmula del área, luego usa la fórmula del perímetro dada arriba para calcular el perímetro del rombo.

Aplicaciones reales del perímetro de un rombo

La palabra perímetro es una combinación de dos palabras griegas: “Peri”, que significa el entorno o los límites de una superficie u objeto, y “Metro”, que significa la medida de la superficie u objeto. , por lo que el perímetro significa la extensión total de los límites de una superficie dada.

Con esta información, podemos usar el perímetro de un rombo en muchas aplicaciones reales. Varios ejemplos se dan a continuación:

  • Por ejemplo, podemos usar el perímetro de un diamante para calcular la distancia desde la punta de un lanzador hasta el jugador ofensivo en béisbol si todo el campo tiene la forma de un diamante.
  • La fórmula del perímetro también es útil para diseñar mesas y armarios en forma de diamante.
  • También es útil en la construcción de oficinas y salas en forma de diamante.

Ejemplo 1:

Si la longitud de un lado de un rombo es de 11 cm, ¿cuál será la longitud del resto de los lados?

Solución:

Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitudpor lo que la longitud del resto de los tres lados también es de 11 cm cada uno.

Ejemplo 2:

Calcula el perímetro de un rombo de la siguiente figura.

perimeter of rhombus example

Solución:

Nos dan la longitud de un lado de un rombo y sabemos que todos los lados tienen la misma longitud.

Perímetro del diamante $= 4times 8$

Perímetro del diamante $= 32 cm$

Ejemplo 3:

Si el perímetro de un rombo es de 80 cm, ¿cuál será la longitud de todos los lados del rombo?

Solución:

Nos dan el perímetro del rombo. Podemos calcular la longitud de cada lado de un rombo por usando la fórmula del perímetro:

Perímetro de un rombo $= 4times side$

$80 = 4veces lado$

Lado $= frac{80}{4}$

Lado $= frac{80}{4}$

Lado $= 20 cm$

Todos los lados del diamante miden 20 cm.

Ejemplo 4:

Si la longitud de las diagonales de un rombo es de 9 cm y 11 cm, ¿cuál será el perímetro del rombo?

Solución:

Nos dan la longitud de las dos diagonales del rombo: sean “a” y “b” las dos diagonales del rombo. Entonces podemos calcular el perímetro del rombo por utilizando la siguiente fórmula.

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{(9^{2}+ 11^{2})}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{99 + 121}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{220}$

Perímetro del diamante $= 2 times 14.83$

Perímetro del diamante $= 29.67 cm $ aprox.

Ejemplo 5:

Un rombo tiene un área de $64 cm^{2}$ y la longitud de una diagonal del rombo es de $8 cm$. ¿Cuál será el perímetro del rombo?

Solución:

Sea diagonal “a” = 8cm y debemos encontrar “b”

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

$64 = dfrac{8veces b}{2}$

$128 = 8 veces b$

$b = dfrac{128}{8}$

$ b = 16 cm $

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(8^{2}+ 16^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{64 + 256}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{320}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 17.89$

Perímetro de un diamante $= 35.78 cm $ aprox.

Cuestiones prácticas

  1. Si un lado de un rombo mide $20 cm$, ¿cuál es la longitud de los lados restantes y el perímetro del rombo?
  2. Si el perímetro de un rombo es de $100 cm$, ¿cuál es la longitud de los lados del rombo?
  3. Si la longitud de las diagonales de un rombo es $9 cm$ y $12cm$, ¿cuál será el perímetro y el área del rombo?
  4. Considere un rombo con un área de $36 cm ^{2}$ mientras que la longitud de una de las diagonales es de $4 cm$. ¿Cuál será el perímetro del rombo?

corregido

1. Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitud. Si la longitud de un lado del rombo es de 20 cm, la longitud de los tres lados restantes también será la misma, es decir, 20 cm.

Perímetro del diamante $= 4times side$

Perímetro del diamante $= 4times 20$

Perímetro del diamante $= 80 cm$

2. Nos dan el perímetro del rombo. Podemos calcular la longitud de cada lado del rombo por usando la fórmula del perímetro:

Perímetro de un rombo $= 4times side$

$100 = 4veces lado$

Lado $= frac{100}{4}$

Lado $= 25 cm$

Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitud, por lo que todos los lados del rombo miden 25 cm de largo.

3. Nos dan las longitudes de las dos diagonales del rombo. Sean “a” y “b” las dos diagonales. Entonces podemos calcular el perímetro y el área del rombo por usando los valores de las diagonales.

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

Área del rombo $ = dfrac{9times 12}{2}$

Área del rombo $ = 9times 6 = 54 cm^{2}$

Ahora calculemos el perímetro del rombo.

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(9^{2}+ 12^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{81 + 144}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{225}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 15$

Perímetro de un diamante $= 30 cm $ aprox.

4. Sea la diagonal “a” $= 4 cm$ y debemos encontrar “b”

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

$36 = dfrac{4 veces b}{2}$

$72 = 4 veces b$

$b = dfrac{72}{4}$

$ b = 18 cm $

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(4^{2}+ 18^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{16 + 324}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{340}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 18.44$

Perímetro de un diamante $= 36.88 cm $ aprox.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean utilizando GeoGebra.

febrero 25, 2022 por Ángulos Blog Unidades

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.

La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.

Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir

(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo

De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,

(a – B) × contra = corriente alterna – antes de Cristo

Propiedad distributiva con variables

Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.

Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

  • Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
  • Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
  • Resuelve la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con exponentes

La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.

Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:

  • Expande la ecuación dada.
  • Encuentra todos los productos.
  • Sumar o restar términos similares.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con fracciones

Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.

Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:

  • Identifica las fracciones.
  • Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
  • Encuentre los productos.
  • Aislar términos con variables y términos con constantes.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Ejemplos

Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

9 (X – 5) = 81

Solución

  • Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.

9 (X) – 9 (5) = 81

9x – 45 = 81

  • Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.

9X – 45 + 45 = 81 + 45

9X = 126

  • Paso 3: Resuelve la ecuación.

9X = 126

X = 126/9

X = 14

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

(sieteX + 4)2

Solución

  • Paso 1: Expande la ecuación.

(sieteX + 4)2 = (7X + 4) (7X + 4)

  • Paso 2: Encuentra todos los productos.

(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X2 + 28X + 28X + 16

  • Paso 3: Agregue términos similares.

49X2 + 56X + 16

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

X – 5 = X/5 + 1/10

Solución

  • Paso 1: Identifica las fracciones.

Hay dos fracciones en el lado derecho.

  • Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.

Multiplica con MCM en ambos lados.

diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)

diezX – 50 = 2X + 1

  • Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.

diezX – 2X = 1 + 50

8X = 51

X = 51/8

Ejemplo 4

Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?

Solución

Hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.

$12 + $20 = $32

  • Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.

$32 × 2

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$32 × 2 = $64

Método 2:

  • Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.

$12 × 2 = $24

  • Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.

$20 × 2 = $40

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$24 + $40 = $64

Ejemplo 5

Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?

Solución

Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.

Diez centavos:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Níquel:

3 × 5¢ = 15¢

Centavos:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

  • Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.

Diez centavos:

3 × 20¢ = 60¢

Níquel:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Centavos:

3 × 10¢ = 30¢

  • Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.

60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Método 2:

  • Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

  • Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.

2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢

  • Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.

45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢

  • Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Ejemplo 6

El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Solución

  • Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.

La longitud está representada por X.

Entonces ancho = X + 3

  • Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.

área = largo × ancho

X(X + 3) = 18

  • Paso 3: Usa la propiedad distributiva.

X2 + 3X = 18

  • Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.

X2 + 3X – 18 = 0

  • Paso 5: factoriza y resuelve.

X2 + 6X – 3X – 18 = 0

X(X + 6) – 3(X + 6) = 0

(X – 3)(X + 6) = 0

x = 3, −6

  • Paso 6: Indique la respuesta.

La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6

febrero 11, 2022 por Blog Ejemplos Fracciones Multiplicación Resta Suma Unidades

Ecuación Polar a Rectangular – Ecuaciones, Gráficos y Ejemplos

Ecuación Polar a Rectangular – Ecuaciones, Gráficos y Ejemplos

Podemos convertir ecuaciones polares en forma rectangular para reescribir una ecuación rectangular en términos de $x$ y $y$ en una ecuación de la forma $r$ y $theta$. Saber cómo convertir ecuaciones a formas rectangulares y polares ayudará a observar múltiples relaciones entre dos conjuntos de datos.

Convertir la ecuación polar en una ecuación rectangular requerirá que usemos la relación entre $boldsymbol{x}$ y $boldsymbol{costheta}$ tan bueno como $boldsymbol{y}$ y $boldsymbol{sin theta}$.

Este artículo se enfoca en aprender a reescribir una ecuación polar en su forma rectangular. Para aprovechar al máximo nuestra discusión, asegúrese de repasar los siguientes temas:

Por ahora, podemos refrescar nuestro conocimiento sobre la conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y ver cómo podemos extenderlo a la conversión de ecuaciones polares.

¿Cómo convertir una ecuación polar a forma rectangular?

Recuerda que podemos convertir una coordenada polar, $(r, theta)$, a su forma rectangular usando las propiedades que se muestran a continuación.

review on polar coordinates

Podemos extender estas propiedades para encontrar expresiones de $r$ y $theta$ en términos de $x$ y $y$. Por lo tanto, tenemos las siguientes ecuaciones:

begin{alineado}x&= rcos theta\y&= rsin theta\\r^2 &= x^2 + y^2\tan theta &= dfrac{y} {x}end{alineado}

Esto significa que cada vez que se nos da una ecuación polar, podemos convertirla en forma rectangular usando una de las cuatro ecuaciones anteriores.

  • Reescribe la ecuación polar para que sea en términos de $rcos theta$, $rsin theta$ y $tan theta$.
  • Reemplace las expresiones polares con su equivalente rectangular.
  • Simplifique la ecuación resultante siempre que sea necesario.

Por ejemplo, si queremos cambiar $r = 2csc theta$ en su forma rectangular, tendríamos que reescribir $2csc theta$ en términos de $sin theta$. Recuerda que $csc theta = dfrac{1}{sin theta}$, así que usemos esta identidad recíproca para reescribir la expresión.

begin{alineado}r &= 2csc theta \r&= 2cdot dfrac{1}{sin theta}end{alineado}

Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $sin theta$ y luego reemplazar $rsin theta$ con su forma rectangular, $y$.

begin{aligned}r color{blue}{cdot sin theta}&= 2cdot dfrac{1}{sin theta}color{blue}{cdot sin theta}\ rsin theta &= 2\y &= 2end{alineado}

Esto significa que la forma rectangular de $r = 2csc theta$ es $y = 2$. Esta ecuación representa una recta horizontal que pasa por el punto $(0, 2)$.

graphing a linear equation from a polar equation

Esto muestra que aún es posible graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas $xy$ convirtiendo la ecuación polar a su forma rectangular.

Conversión de ecuaciones polares a rectangulares para graficar la ecuación resultante

Como mencionamos en la sección anterior, graficamos las ecuaciones polares en un sistema de coordenadas rectangulares reescribiendo primero las ecuaciones polares en su forma rectangular.

  • Reescribe la ecuación en términos de $x$ y $y$ usando las cuatro ecuaciones que discutimos.
  • Identifique la función principal que representa la ecuación para tener una idea del mejor enfoque para graficar la ecuación.
  • Asigne valores clave para $(x,y)$ para guiarlo al graficar la ecuación rectangular.

Digamos que queremos graficar $tan theta = 4$ en el plano $xy$. Podemos reemplazar $tan theta$ con $dfrac{y}{x}$ y convertir la ecuación polar a su forma rectangular.

begin{alineado}tan theta &= 4\dfrac{y}{x} &= 4\y &= 4xend{alineado}

La ecuación, $y = 4x$, es una ecuación lineal, por lo que podemos usar $(-2, -8)$ y $(2, 8)$ para guiarnos al graficar $y = 4x$ como se indica a continuación.

graphing a slanted linear graph from its polar equation

Eso es todo lo que necesitamos para graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas rectangulares. ¿Estás listo para probar más problemas? No te preocupes; ¡Hemos preparado más problemas de muestra para que trabajes en ellos!

Ejemplo 1

Convierte la ecuación polar, $r = -6sec theta$ en una ecuación rectangular. Grafica la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $xy$.

Solución

Podemos reescribir $sec theta$ en términos de cosenos usando la identidad recíproca, $sec theta = dfrac{1}{cos theta}$. Reescribamos la ecuación polar como se muestra a continuación.

begin{alineado}r&=-6 seg theta \r&= -6 cdotdfrac{1}{cos theta} end{alineado}

Entonces podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $cos theta$. Reemplaza el lado izquierdo de la ecuación con el equivalente rectangular de $r cos theta$.

begin{alineado}r color{azul}{cdot cos theta}&= -6 cdotdfrac{1}{cos theta}color{azul}{cdot cos theta} r cos theta &= -6\x &= -6 end{alineado}

Esto significa que la forma polar de $r = -6sec theta$ es igual a $x = -6$. Podemos ver que la ecuación $x = -6$ es una función lineal vertical que pasa por el punto $(-6, 0)$.

graphing a vertical line from a polar equation

Ejemplo 2

Convierta las siguientes ecuaciones polares a sus formas rectangulares. Asegúrate de que la ecuación rectangular resultante esté en su forma estándar.

  1. $r = 4 cos theta$
  2. $r = -6 sin theta$

Solución

Será necesario manipular ambas ecuaciones para que representen una de las cuatro ecuaciones que se muestran a continuación.

begin{alineado}x&= rcos theta\y&= rsin theta\\r^2 &= x^2 + y^2\tan theta &= dfrac{y} {x}end{alineado}

El enfoque más simple para nosotros es multiplicar ambos lados de la ecuación por $r$, por lo que terminamos con $r^2$ en el lado derecho de la ecuación.

begin{alineado}r&=2 cos theta\r color{blue}{cdot r} &= (2 cos theta)color{blue}{cdot r}\r^2 & = 2rcosthetaend{alineado}

¿Notas dos expresiones que podemos convertir a sus formas polares? Podemos reescribir $r^2$ a $x^2 + y^2$ y $r cos theta$ a $x$.

begin{alineado}color{azul}{r^2}&= 4color{azul}(rcos theta)\color{azul}{x^2 + y^2} &= 4 { color{azul}x} \x^2 + y^2 &= 4xend{alineado}

Podemos transponer $4x$ al lado izquierdo de la ecuación y luego completar el cuadrado para $x^2 – 4x$. Luego podemos factorizar el trinomio cuadrado perfecto para llegar a una ecuación que nos sea familiar.

begin{alineado}x^2 -4x + y^2 &= 0\ (x^2 – 4x {color{azul} + 4}) + y^2 &= 0 {color{azul} + 4 }\(x^2 – 4x + 4)+ y^2 &= 4\(x-2)^2 + y^2 &= 4end{alineado}

Esto muestra que la forma rectangular de $r = 4 cos theta$ es equivalente a $(x – 2)^2 + y^2 = 4$, que es la ecuación de un círculo con centro en $(2, 0) $ y un radio de $2$ unidades.

Aplicaremos un proceso similar para convertir $r = -6 sin theta$ a su forma rectangular:

  • Multiplica ambos lados de la ecuación por $r$.
  • Reemplace $r^2$ y $rsin theta$ con $x^2 + y^2$ y $y$, respectivamente.

begin{alineado}r&=-6 sin theta \r {color{verde}cdot r}&=-6 {color{verde} r}sin theta\r^2 &=- 6rsentheta\ {color{vert}x^2 + y^2} &= -6({color{vert}y})\x^2 + y^2 &= -6yend {alineado}

Luego podemos reorganizar la ecuación y encontrar una ecuación rectangular en forma rectangular.

  • Mueve $-6y$ al lado izquierdo de la ecuación.
  • Completa el cuadrado perfecto para $y^2 + 6y$.
  • Exprese $y^2 + 6y + 9$ como un cuadrado perfecto.

begin{alineado}x^2 + y^2 + 6y &=0\x^2 + (y^2 +6y {color{verde} + 9} )&= {color{verde} 9} x^2 + (y +3)^2 &= 9 end{alineado}

Esto significa que $r = -6 sin theta$ es equivalente a $x^2 + (y+ 3)^2 =9$ en forma rectangular.

Ejemplo 3

Convierte la ecuación polar $r^2 sin 2theta = 8$ en una ecuación rectangular. Grafica la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $xy$.

Solución

No tenemos una conversión directa para $sin 2theta$ si queremos convertir la ecuación a forma rectangular. En cambio, lo que podemos hacer es expresar $sin 2theta$ en términos de $cos theta$ y $sin theta$ usando la identidad de doble ángulo para el seno como se muestra a continuación.

begin{alineado}r^2 {color{verde}(sin 2theta) }&= 8\r^2 {color{verde}(2sin theta cos theta)}&= 8 end{alineado}

Entonces podemos distribuir $r^2 = rcdot r$ a $cos theta$ y $sin theta$. Reorganicemos la ecuación y terminemos con $r cos theta$ y $rsin theta$ en el lado izquierdo de la ecuación.

begin{alineado}(r cdot r)(2sin theta cos theta)&= 8\2(rcos theta)(rsin theta)&= 8\dfrac{ 2(rcos theta)(rsin theta)}{2}&= dfrac{8}{2}\(r cos theta)(r sin theta) &= 4 end {alineado}

Ahora tenemos expresiones polares que podemos reemplazar con sus formas rectangulares, así que reemplacemos $rcos theta$ y $rsin theta$ con $x$ y $y$, respectivamente. Aísle $y$ del lado izquierdo de la ecuación para escribir la ecuación en forma estándar.

begin{alineado}({color{azul}r cos theta})({color{azul}r sin theta}) &= 4\({color{azul}x})({ color{azul}y}) &= 4\xy&=4\y&= dfrac{4}{x} end{alineado}

Esto significa que cuando se convierte a una ecuación rectangular, $r^2 sin 2theta = 6$, es equivalente a la función recíproca, $y = dfrac{4}{x}$.

El valor de $x$ nunca puede ser cero, por lo que esperamos que $x = 0$ y $y = 0$ sean asíntotas. Asignemos valores a $x$ para encontrar puntos para $(x, y)$.

begin{alineado}boldsymbol{x}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{y}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{(x, y)}end{alineado}

begin{alineado} -2end{alineado}

begin{alineado} dfrac{4}{-2} &= -2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{(-2, -2)}end{alineado}

begin{alineado} -1end{alineado}

begin{alineado} dfrac{4}{-1} &= -4end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{(-1, -4)}end{alineado}

begin{alineado} 1end{alineado}

begin{alineado} dfrac{4}{1} &= 4end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{(1, 4)}end{alineado}

begin{alineado} 2end{alineado}

begin{alineado} dfrac{4}{2} &= 2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{(2, 2)}end{alineado}

Podemos graficar estos puntos como una guía para graficar la función recíproca, $y=dfrac{4}{x}$.

converting the polar equation to a reciprocal function

Esto muestra que podemos convertir ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y graficarlas utilizando nuestro conocimiento previo de funciones.

enero 26, 2022 por Blog Unidades

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Podemos encontrar la distancia entre las coordenadas polares revisando la fórmula de la distancia. Conocer esta técnica será útil cuando queramos encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares, y no queramos convertirlas a sus formas rectangulares.

Podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando los valores de sus radios y sus argumentos.

Este artículo mostrará cómo podemos derivar la fórmula de la distancia a partir de coordenadas polares y aprenderá cómo aplicarla en diferentes ejemplos y problemas. Antes de hacerlo, asegúrese de revisar sus notas sobre los siguientes puntos:

  • Asegúrese de comprender los diferentes componentes necesarios para que apliquemos el fórmula de distancia en coordenadas rectangulares.
  • Mejora tu conocimiento de las formas polares y convierte expresiones rectangulares en sus formas polares.
  • Refresca tus conocimientos de los más comunes. identidades trigonométricas has aprendido en el pasado.

Avancemos y sumerjámonos directamente en la fórmula y el proceso de encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares.

¿Cómo encontrar la distancia entre coordenadas polares?

La mejor manera de entender cómo podemos aplicar la fórmula de distancia para coordenadas polares es derivar la fórmula de la fórmula de distancia para coordenadas rectangulares.

visualizing two polar coordinates

Aquí hay una visualización de cómo dos coordenadas polares están en un sistema de coordenadas $xy$. Recuerda que la distancia entre dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, es igual a $sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}$.

Podemos expresar los dos puntos como dos coordenadas polares, $(r_1 cos theta_1, r_1 sin theta_1)$ y $(r_2 cos theta_1, r_2 sin theta_1)$. Luego podemos reescribir la fórmula de la distancia como una función del argumento del radio y las coordenadas polares.

begin{alineado}d &= sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}\d &= sqrt{(r_2 sintheta_2 – r_1 sintheta_1)^2 + (r_2 cos theta_2 – r_1 cos theta_1)^2}end{alineado}

Podemos expandir los términos dentro de la raíz cuadrada usando la propiedad algebraica, $(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2$, y luego simplificar los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{(r_2^{phantom{x}2} sintheta_2 -2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 + r_1^{phantom{x}2} sin ^2theta_1) + (r_2^{phantom{x}2} costheta_2 -2 r_1r_2sintheta_1costheta_2 + r_1^{phantom{x}2} cos^2theta_1) }\&= sqrt{ (r_1^{phantom{x}2}cos^2theta_1 + r_1^{phantom{x}2} sin^2theta_1) + (r_2^{phantom {x}2}cos^2theta_2 + r_2^{phantom{x}2} sin^2theta_2) -(2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 +2 r_1r_2sintheta_1cos theta_2) }\&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (cos^2theta_1 + sin^2theta_1) + r_2^{phantom{x}2}(cos ^2theta_2 + sin^2theta_2)-2r_1r_2(costheta_1sintheta_2 +sintheta_1costheta_2) }end{alineado}

¿Te resulta familiar la pareja? Esto se debe a que podemos reescribirlos usando las siguientes identidades trigonométricas:

  • $sin^2 A + cos^2 A = 1$
  • $cos(A -B) = cos A cos B + sin A sin B$

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (1) + r_2^{phantom{x}2}(1) -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } \&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Por lo tanto, le mostramos que podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando la fórmula de distancia de coordenadas polares que se muestra a continuación:

begin{alineado}&fantasma{xxxxx}(r_1, theta_1)\ &fantasma{xxxxx}(r_2, theta_2)\\d &= sqrt{ r_1^{fantasma{x}2 } + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Aplicación de fórmula de distancia entre coordenadas polares

La fórmula anterior indica que no es necesario para nosotros convertir las coordenadas polares en coordenadas rectangulares para que podamos calcular su distancia. Dados dos puntos, $(r_1, theta_1)$ y $(r_2, theta_2)$, podemos aplicar los siguientes pasos:

  • Encuentra los valores de $r_1$ y posiblemente el valor de $r_1^{phantom{x}2}$ .
  • Podemos hacer lo mismo para $r_2$ y $ r_2^{phantom{x}2}$.
  • Encuentra la diferencia entre sus ángulos, $(theta_1 – theta_2)$.
  • Usa estos componentes para encontrar la distancia entre dos puntos usando la fórmula, $d = sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos (theta_1 – theta_2) }$.

Digamos que tenemos $(-3, 75^{circ})$ y $(6, 45^{circ})$, podemos determinar la distancia entre los dos puntos usando la fórmula de distancia en coordenadas polares. Podemos comenzar identificando los componentes y valores esenciales de la fórmula:

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1 &=-3\r_1^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}r_2 &= 6\r_2^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 75^{circ} – 45^{circ}\&= 75^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {9 + 36 -2(-3)(6)cos 30^{circ} }\&=sqrt{45+36cos30^{circ}}\ &=sqrt{45+36 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}}\&=sqrt{45 + 18sqrt{3}}end{alineado}

También podemos usar nuestra calculadora para estimar el valor exacto de la distancia entre las dos coordenadas polares. Esto significa que $d = sqrt{45 + 18sqrt{3}} approx 8,73$ unidades.

Ahora le mostramos cómo derivar y aplicar la fórmula para la distancia a partir de coordenadas polares, por lo que es hora de que pruebe sus conocimientos respondiendo a los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Determina la longitud del segmento de recta que une las coordenadas polares $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$.

Solución

Comience por identificar los valores importantes que necesitamos para calcular la distancia entre las dos coordenadas polares.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 80^{circ}$
  • $r_2 = 3$, $theta_2 = 20^{circ}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 80^{circ} – 20^{circ}\&= 60^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 9 -2(6)(3)cos 60^{circ} }\&=sqrt{45 – 36cos 60^{circ}}\ &=sqrt{45 – 36 cdot dfrac{1}{2}}\&=sqrt{45 – 18}\&= sqrt{27}\&= 3sqrt{3} end{alineado}

Esto significa que la distancia entre las dos coordenadas polares, $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$, es igual a $3sqrt{3}$ o aproximadamente 5 .20 $$ unidades.

Ejemplo 2

Dados dos puntos polares, $P_1$ y $P_2$, calcula la distancia entre los puntos.

begin{alineado}P_1 &= left(4, dfrac{2pi}{3}right)\P_2 &= left(8, dfrac{pi}{6}right)end {alineado}

Solución

Aplicaremos la misma fórmula para encontrar la distancia entre $P_1$ y $P_2$, pero esta vez estamos trabajando con ángulos en radianes. Como antes, tomemos nota de los componentes importantes que necesitaremos para la fórmula de la distancia.

  • $r_1 = 4$, $theta_1 = dfrac{2pi}{3}$
  • $r_2 = 8$, $theta_2 = dfrac{pi}{6}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 16end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 64end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= dfrac{2pi}{3} – dfrac{pi}{6}\&= dfrac{pi}{2}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {16 + 64 -2(4)(8)cosdfrac{pi}{2} }\&=sqrt{80 – 64cos dfrac{pi}{2}}\ &= sqrt{80 – 0}\&=sqrt{80}\&= 4sqrt{5}end{alineado}

Esto significa que la distancia entre $P_1$ y $P_2$ es igual a $4sqrt{5}$ o aproximadamente 8,94$ unidades.

Antes de pasar al tercer ejemplo, tenga en cuenta lo importante que es familiarizarse con el ángulos especiales en trigonometría. Conocer sus valores trigonométricos hará que calcular la distancia sea mucho más rápido. Otro consejo: verifica el modo de grado de tu calculadora ($text{DEG}$ para $^{circ}$ y $text{RAD}$ para radianes).

Ejemplo 3

Las cuatro coordenadas polares, $A$, $B$, $C$ y $D$, se trazan en un sistema de coordenadas $xy$ como se muestra a continuación.

finding the distances of polar coordinates

Halla las distancias de los siguientes pares de puntos.
una. Distancia entre $A$ y $C$.
B. Distancia entre $B$ y $C$.
contra Distancia entre $B$ y $D$.
Usa el resultado para encontrar cuál de los tres segmentos, $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$, es el más corto y el más largo.

Solución

Podemos encontrar las distancias de todos los pares usando la misma fórmula de distancia para coordenadas polares como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }end{alineado}

Podemos comenzar con el primer par de coordenadas polares: $A$ y $C$.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 150^{circ}$
  • $r_2 = 6$, $theta_2 = 240^{circ}$

Ingrese estos valores en la fórmula de distancia y obtenga los siguientes resultados:

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 36 -2(6)(6)cos(240^{circ}-150^{circ})}\&=sqrt{72 – 72cos 90^{circ}} &=raíz cuadrada{72 – 0}\&=raíz cuadrada{72}\&= 6raíz cuadrada{2}end{alineada}

De esto podemos ver que la distancia entre $A$ y $B$ es igual a $6sqrt{2}$ unidades o aproximadamente, $8.49$ unidades. Podemos aplicar un enfoque similar para encontrar las distancias entre b) $B$ y $C$ yc) $B$ y $D$. Podemos resumir los resultados en una tabla como se muestra a continuación:

Primera coordenada polar

Segunda coordenada polar

Distancia

Valor aproximado

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= 300^{circ}end{alineado }

begin{alineado}C&= (6 cos 240^{circ}, 6 sin 240^{circ})\r_2&= 6\theta_2 &= cos 240^{circ}end{ alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 36 -2(8)(6)cos(300^{circ}-240^{circ})}\&=sqrt{100 – 96cos 60^{circ}} &=raíz cuadrada{100 – 96cdotdfrac{1}{2}}\&=raíz cuadrada{100-48}\&=raíz cuadrada{52}\&=2raíz cuadrada{13} end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 7,21end{alineado}

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= cos 300^{circ}end {alineado}

begin{alineado}D&= (8 cos 30^{circ}, 8 sin 30^{circ})\r_2&= 8\theta_2 &= 30^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 64 -2(8)(8)cos(300^{circ}-30^{circ})}\&=sqrt{128 – 128cos 270^{circ}} &=sqrt{128 – 0}\&=sqrt{128}\&=8sqrt{2}end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 11,31end{alineado}

Te hemos mostrado las distancias entre los dos pares de puntos. Ahora, para responder a la pregunta de seguimiento, podemos comparar las distancias de $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$.

begin{alineado}overline{AC} &= 8,49text{ unidades}\overline{BC} &= 7,21text{ unidades}\overline{BD} &= 11,31text{ unidades}end {alineado}

Al comparar los tres, podemos ver que el segmento más largo será $overline{BD}$ y el segmento más corto será $overline{BC}$.

enero 26, 2022 por Ángulos Blog Pares Unidades

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

La forma rectangular de los números complejos es la primera forma que encontraremos cuando aprendamos números complejos. Esta forma depende de su coordenada cartesiana y aprenderá por qué en la siguiente sección.

Las formas rectangulares de los números complejos representan estos números resaltando las partes real e imaginaria del número complejo.

Las operaciones básicas son mucho más fáciles cuando los números complejos están en forma rectangular. Es más intuitivo para nosotros graficar números complejos en forma rectangular ya que estamos más familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas.

Este artículo refrescará nuestros conocimientos sobre:

  • Los componentes que forman un número complejo.
  • Graficar números complejos en un plano complejo.
  • Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  • Manipulación de números complejos en forma rectangular.

Asegúrese de tomar notas y revisar estos conceptos, ya que los necesitaremos a medida que aprendamos más sobre los números complejos en forma rectangular.

¿Cuál es la forma rectangular?

La forma rectangular se basa en su nombre: un sistema de coordenadas rectangulares. Esto quiere decir que son números complejos de la forma $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ representa la parte imaginaria. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos en forma rectangular.

  • $-3 + 4i$: $-3$ representa la parte real mientras que $4i$ representa la parte imaginaria.
  • $-6i$: Este es un número imaginario que contiene solo una parte imaginaria, $-6i$.
  • $5$: Como $5$ es un número contable y por lo tanto un número real, $5$ es siempre un número complejo cuya parte imaginaria es igual a $0$.

Los números complejos de la forma $a + bi$ se pueden graficar en un plano complejo simplemente trazando $(a,b)$, donde $a$ es la coordenada del eje real y $b$ es la coordenada del eje imaginario .

Aquí hay un gráfico de cómo se grafica $a + bi$ en un plano complejo. Como se mencionó, $a$ representa la distancia a lo largo del eje real y $b$ representa la distancia a lo largo del eje imaginario, un enfoque similar cuando mostramos coordenadas rectangulares.

La distancia formada por $a + bi$ desde el origen es igual a $sqrt{a^2 + b^2}$ o también llamado módulo o valor absoluto del número complejo.

¿Cómo convertir una forma rectangular?

Como se mencionó, la forma rectangular es la primera forma de números complejos que veremos, pero los números complejos también se pueden reescribir en sus formas trigonométricas o polares.

Forma rectangular Forma polar
$-3 + $3i $3sqrt{2}(cos 135^{circ} + isin135^{circ})$
$-2sqrt{3} – 2i$ $4(cos 210^{circ} + isen 210^{circ})$
$4 – $4i $4sqrt{2}(cos 315^{circ} + isen 315^{circ})$
$5 + $5sqrt{3}i $10(cos 60^{circ} + isen 60^{circ})$

Estos son solo algunos ejemplos de pares de números complejos en sus dos formas: forma rectangular y forma polar. Actualicemos lo que hemos aprendido sobre escribir números complejos en estas dos formas.

¿Cómo convertir forma rectangular a forma polar?

Hemos discutido en detalle la conversión de números complejos en forma rectangular, $a + bi$, a forma trigonométrica (también conocida como forma polar). Asegúrese de revisar sus notas o consulte el enlace que adjuntamos en la primera sección.

Esta sección será un breve resumen de lo que hemos aprendido en el pasado:

  • Encuentra el módulo, $r = sqrt{a^2 + b^2}$, del número complejo.
  • Determina el argumento, $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$, y asegúrate de elegir el ángulo que está en el cuadrante derecho.
  • Usa estos valores y escribe el número complejo como $r(cos theta + isin theta)$.

¿Cómo convertir una forma polar en una forma rectangular?

Cambiar números complejos a forma polar es mucho más fácil porque nos obliga a evaluar solo el coseno y el seno en diferentes valores de $theta$.

  • Cuando se le da un número complejo de la forma $r(cos theta + isin theta)$, evalúe los valores de $sin theta$ y $cos theta$.
  • Distribuya $r$ a cada uno de los valores evaluados de $cos theta$ y $isin theta$.
  • Asegúrese de devolver los valores del formulario, $a + bi$.

No te preocupes. Hemos preparado algunos ejemplos para que trabajes y practiques tus conocimientos de conversión de números complejos a forma polar.

Resumen de definición y propiedades de formas rectangulares

¿Por qué no recapitular lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma rectangular antes de profundizar en los diversos problemas que hemos preparado?

  • La forma rectangular general (o estándar) de los números complejos es $a + bi$.
  • Podemos convertir números complejos a forma rectangular, encontrando $r = sqrt{a^2 + b^2}$ y $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
  • Recuerda que cuando trabajes con ecuaciones que involucran números complejos, las partes del número real y las partes del número imaginario deben ser iguales para que la ecuación sea válida.

También podemos hacer muchas cosas cuando se nos da un número complejo en forma rectangular, y enumeramos algunas que aprendimos en el pasado. ¿No tienes tus notas de práctica contigo? No se preocupe, también hemos agregado algunos enlaces para que los consulte.

  • Es más fácil sumar y restar números complejos en forma rectangular ya que combinamos las partes real e imaginaria de los números.
  • Sí, también podemos multiplicar y dividir números complejos en forma rectangular mediante manipulación algebraica.
  • El producto de a $a + bi$ y su conjugado, $a – bi$, es igual a $a^2 + b^2$, lo que puede ayudar a simplificar el cociente de dos números complejos.

Apliquemos todo lo que hemos aprendido de este artículo y probemos estos problemas de muestra.

Ejemplo 1

Grafica los siguientes números complejos en el plano complejo e incluye su valor absoluto correspondiente.

una. $6 – $6i
B. $-4sqrt{3} – 4i$
contra $-5i$

Solución
Dado que también necesitamos el número de valor absoluto de estos tres números complejos, ¿por qué no comenzar con eso usando el hecho de que $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$?

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{|a + bi| PS
$6 -6i$ $sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4sqrt{3} -4i$ $cuadrado{(-4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} = 8$
$-5i$ $sqrt{(0)^2 + (-5)^2} = 5$

Ahora que tenemos el valor absoluto de los tres números complejos, representemos gráficamente los tres números complejos en un plano complejo.

  • Para $6 – 6i$, grafica las coordenadas $(6, -6)$ o $6$ unidades hacia la derecha ya lo largo del eje real y seis unidades hacia abajo ya lo largo del eje imaginario.
  • De manera similar, podemos graficar $-4sqrt{3} – 4i$ graficando $(-4sqrt{3}, -4)$ en el plano complejo.
  • Dado que $-5i$ contiene solo una parte numérica imaginaria, trazamos $-5i$ en el eje imaginario y deberíamos encontrar unidades de $5$ debajo del eje real.

Conecte cada número complejo al origen y etiquete el segmento con el número de valor absoluto correspondiente.

Ejemplo 2

Evalúa las siguientes operaciones con los siguientes números complejos.

una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i)$
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i)$

Solución
Recuerda que sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar binomios. Combinamos términos con números reales y números imaginarios. Esta es la misma forma en que combinamos “términos similares”.

Primero trabajemos en el primer elemento: $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$.

$begin{alineado} (8 – 8i) + (-6 + 12i) &= [8 + (-6)] + (-8 + 12)i\&= 2 + 6iend{alineado}$

Asegúrese de distribuir uniformemente el signo negativo al restar dos números complejos.

$begin{alineado} (-3sqrt{3} + 5i) – (4sqrt{3} – 6i) &=-3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} -(-6i )\&= -3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} + 6i\&= (-3sqrt{3} – 4sqrt{3}) + (5 + 6)i \&=-7sqrt{3} + 11i end{alineado}$

Para el tercer elemento, primero multiplica los dos números complejos.

  • Aplicar el método FOIL para distribuir términos.
  • Reemplace $i^2$ con $-1$.
  • Combinar partes de números reales e imaginarios.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) &= (-4)(-2)+ (-4)(-i) + (2i)(-2) + (2i)( -i)\&=8 + 4i – 4i- 2i^2\&=8 + 4i – 4i -2(-1)\&=8 + 4i – 4i + 2\&= (8 + 2 ) + (4 -4)i\&=10 end{alineado}$

Reemplace $(-4 + 2i)(-2 – i)$ con su producto y luego simplifique aún más la expresión.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) + (2 – 3i) &= 10 + (2 – 3i)\&= (10 + 2) – 3i\&= 12 – 3iend{alineado}$

Listando los resultados para las tres operaciones, tenemos lo siguiente:
una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i) = 2 + $6i
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i) = -7raíz cuadrada{3} + 11i $
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i) = 12 – 3i $

Ejemplo 3

Convierta los siguientes números complejos en forma polar a forma rectangular.

una. $-4(cos 90^{circ} + isen 90^{circ})$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right)$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4}$

Solución
Evalúe los valores de coseno y seno entre paréntesis al convertir números complejos a forma rectangular. Distribuya el módulo en cada uno de los valores de adentro para simplificar la expresión como $a +bi$.

Comenzando con $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ})$, $cos 90^{circ} = 0$ y $sin 90^{circ} = $1. Reemplace los términos entre paréntesis con estos valores y luego distribuya $-4$.

$begin{alineado} -4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) &= -4(0 + i)\&=0 – 4i\&= -4i end{alineado}$

El segundo elemento requerirá que realicemos un proceso similar, solo que esta vez estamos trabajando con ángulos en términos de $pi$. Recuerda que $cos dfrac{pi}{3} = dfrac{1}{2}$ y $sin dfrac{pi}{3}= dfrac{sqrt{3}}{ $2} .

$begin{alineado} 6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) &= 6left( dfrac{1}{2 } + idfrac{sqrt{3}}{2}right)\&=6 cdot dfrac{1}{2} – 6 cdot i dfrac{sqrt{3}}{2} \&= 3 – 3sqrt{3}iend{alineado}$

Para el tercer elemento, asegúrese de reescribir $r text{cis } theta$ a $r(cos theta + i sin theta)$.

$begin{alineado} -sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} &= -sqrt{3}left(cos dfrac{3pi}{4} + isen dfrac{3pi}{4}right)\ &= -sqrt{3}left( -dfrac{sqrt{2}}{2} + idfrac{sqrt {2}}{2}right)\&=-sqrt{3} cdot -dfrac{sqrt{2}}{2} – sqrt{3} cdot i dfrac{sqrt{ 2}}{2}\&= dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en sus formas rectangulares:

una. $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) = -4i$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) = 3 – 3sqrt{3}i$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} = dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}$

enero 23, 2022 por Ángulos Blog Operaciones Pares Unidades

Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Raíces de Números Complejos – Ejemplos y Explicación

Los números complejos, como los números reales, también tienen raíces. Aprendimos a resolver ecuaciones en el pasado, pero ignoramos las raíces complejas. Esta vez centraremos nuestra atención en encontrar todas las raíces, tanto reales como complejas.

Podemos encontrar fácilmente las raíces de los números complejos tomando la raíz del módulo y dividiendo el argumento de los números complejos por la raíz dada.

Esto significa que podemos encontrar fácilmente las raíces de diferentes números complejos y ecuaciones con raíces complejas cuando los números complejos están en forma polar.

Asegúrate de revisar los siguientes conceptos antes de pasar directamente a encontrar las raíces de diferentes números complejos:

  1. Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  2. Comprender cómo funciona el teorema de De Moivre y cómo se aplica para encontrar las raíces de un número complejo.

Consulte también los enlaces que hemos proporcionado en caso de que necesitemos refrescar nuestra memoria. Por ahora, ¿por qué no seguir adelante y sumergirse directamente en los fundamentos de los números complejos y sus raíces?

¿Cuál es la raíz de los números complejos?

Dado un número complejo $z = a + bi$ o $z = r(cos theta + isin theta)$, las raíces de los números complejos son iguales al resultado de elevar $z$ a la potencia $ dfrac{1}{n}$.

Las raíces de los números complejos son el resultado de encontrar $z^{frac{1}{n}}$ o $z^n$. Tenga en cuenta que al encontrar la raíz $n$ésima de $z$, también esperamos raíces $n$.

Esto significa que la raíz cúbica de $8$, somos tres raíces incluyendo las raíces reales y complejas. De hecho, estas tres raíces son: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Aprenderá cómo encontrar estas raíces complejas en las siguientes secciones, entonces, ¿por qué no continúa y se lanza directamente?

¿Cómo encontrar las raíces de los números complejos?

Usando el teorema de De Moivre, hemos mostrado cómo encontrar las raíces de números complejos en forma polar. Digamos que tenemos $z =r(cos theta + i sin theta)$, podemos encontrar $sqrt[n] z$ utilizando la siguiente fórmula.

$boldsymbol{theta}$ en grados $boldsymbol{theta}$ en radianes
$sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n}right)$ $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$

Dado que buscamos un total de $n$ raíces para $sqrt[n]{z}$, $k$ debe ser igual a ${0, 1, 2, 3, …, n – 1}$.

También podemos encontrar las raíces de números complejos trazando gráficamente las raíces en un plano complejo y trazando cada raíz $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ}}{n} $ aparte.

No te preocupes. Desglosaremos los pasos importantes en la siguiente sección para asegurarnos de que sabemos cómo encontrar las raíces de números complejos de forma algebraica y geométrica.

Encontrar las raíces de números complejos

Como mencionamos, podemos encontrar las raíces usando la fórmula derivada del teorema de De Moivre, o podemos encontrar las raíces graficándolas en un plano complejo.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

Aquí hay algunos pasos útiles para recordar al encontrar las raíces de números complejos.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Encuentra la raíz $n$ésima de $r$ o eleva $r$ a la potencia $dfrac{1}{n}$.
  3. Si necesitamos encontrar la raíz $n$ésima, usaremos $k = {0, 1, 2… n-1}$ en la fórmula que proporcionamos anteriormente.
  4. Comience por encontrar el argumento de la primera raíz dividiendo $theta$ por $n$.
  5. Repite el mismo proceso, pero esta vez trabaja con $theta + 2pi k$ o $theta + 360^{circ}k$ hasta que tengamos $n$ raíces.

Encuentra las raíces de números complejos geométricamente.

También es posible encontrar las raíces de números complejos trazando estas raíces en un plano complejo.

  1. Si el número complejo todavía está en forma rectangular, asegúrese de convertirlo a forma polar.
  2. Divide $2pi$ o $360^{circ}$ entre $n$.
  3. Dibuja la primera raíz en el plano complejo que une el origen con un segmento de $r$ unidades de largo.
  4. Dibuja la primera raíz compleja usando la fórmula de la raíz compleja, donde $k = 0$.
  5. Dibuja la siguiente raíz asegurándote de que esté $dfrac{2pi}{n}$ o $dfrac{360^{circ} }{n}$ fuera de las siguientes raíces.

¿Estás listo para aplicar lo que acabas de aprender? No te preocupes; Hemos preparado algunos problemas para probar y comprobar tu conocimiento de las raíces de los números complejos.

Ejemplo 1

Confirme que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$.

Solución

Avancemos y confirmemos que $8$ tiene las siguientes raíces cúbicas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ siguiendo los pasos anteriores.

Dado que $8$ todavía está en su forma rectangular, $8 = 8 + 0i$, primero necesitaremos convertirlo a forma polar encontrando el módulo y el argumento de su forma polar como se muestra a continuación.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{8^2 + 0^2}\&= sqrt{64}\&=8end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{0}{8}\&= tan^{-1} 0\&= 0end{alineado}$

Esto significa que comenzamos con $n = 3$, $k= 0$ y $theta = 0$ para la fórmula, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} left(cos dfrac{theta + 2pi k}{n} + isin dfrac{theta + 2pi k}{n} right )$.

$ begin{alineado} sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 0}{3} right )\&=2 (cos 0 + isen 0 )end{alineado}$

La raíz siempre está en forma polar, por lo que si queremos que la raíz tenga forma rectangular, podemos evaluar el resultado para convertirla en forma rectangular.

$ begin{alineado} 2 (cos 0 + isin 0 )&= 2(1 + 0i)\&= 2 end{alineado}$

Esto significa que la primera raíz de $8$ es $2$. Podemos aplicar el mismo proceso para las dos raíces restantes, pero aquí usamos $k = 1$ y $k = 2$.

$boldsymbol{sqrt[n]{z}}$ cuando $boldsymbol{k = 1, 2}$ $boldsymbol{a + bi}$
$ begin{alineado} k = 1\\sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 1}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{2pi}{3} + isin dfrac{2pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} + dfrac{sqrt{3}}{2}iright)\&= -1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$ begin{alineado}k = 2\\ sqrt[3]{8} &= sqrt[3]{8} left(cos dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} + isin dfrac{0 + 2pi cdot 2}{3} right )\&=2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right)end{alineado}$ $ begin{aligned} 2 left(cos dfrac{4pi}{3} + isin dfrac{4pi}{3} right) &= 2left(-dfrac{1 {2} – dfrac{sqrt{3}}{2}iderecho)\&= -1 – sqrt{3}i end{alineado}$

Acabamos de mostrar que $8$ tiene las siguientes tres raíces complejas: $2$, $-1 + sqrt{3}i$ y $-1 – sqrt{3}i$ en forma rectangular.

Ejemplo 2

Dibuja las cuartas raíces complejas de $-8 + 8sqrt{3}i$ en un plano complejo. También tenga en cuenta las raíces en forma rectangular.

Solución

Comencemos por encontrar el módulo y el argumento del número complejo, $-3 + 3sqrt{3}i$.

$boldsymbol{r = sqrt{a^2 + b^2}}$ $boldsymbol{ theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}}$
$begin{alineado} r &= sqrt{(-8)^2 + (8sqrt{3})^2}\&= sqrt{36}\&=256end{alineado}$ $begin{alineado} theta &= tan^{-1} dfrac{8sqrt{3}}{-8}\&= tan^{-1} -sqrt{3}\ &= 120^{circ}end{alineado}$

Entonces $-8 + 8sqrt{3}i = 16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$. Como estamos buscando raíces cúbicas, esperamos que las raíces estén separadas $dfrac{360^{circ}}{4} = 90^{circ}$.

Podemos usar la fórmula de la raíz compleja, $sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r} (cos dfrac{theta + 360^{circ} k}{n} + isin dfrac{theta + 360^{circ} k}{n})$, donde asignamos $n = 4$, $r = 6$, $theta = 120^{circ}$ y $k=0$.

$begin{alineado} sqrt[4]{16(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})}&= sqrt[4]{16} left(cos dfrac{120^{circ} + 360^{circ} cdot 0}{4} + isin dfrac{120^{circ} + 360^{circ } cdot 0}{4} right )\&= 2 (cos 30^{circ} + isin 30^{circ}) end{alineado}$

Para encontrar las tres raíces restantes, graficamos tres raíces con el mismo módulo, $2$, y los argumentos están separados cada uno por $90^{circ}$.

Acabamos de graficar toda la raíz cuarta del número complejo. A partir de ahí, incluso podemos enumerar las cuatro raíces de $-8 + 8sqrt{3}i$.

  • $2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$
  • $2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$
  • $2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$
  • $2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$

Incluso podemos convertir las raíces en una forma rectangular, como se muestra, evaluando los valores del coseno y el seno y luego distribuyendo $2$ cada vez.

Forma polar Forma rectangular
$2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 30^{circ} + i sin 30^{circ}) &= 2left(dfrac{sqrt{3}}{2}+ dfrac{1 {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}+ 2cdot dfrac{1}{2}i \&=sqrt{3} + Yo end{alineado}$
$2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 120^{circ} + i sin 120^{circ}) &= 2left(-dfrac{1}{2}+ dfrac{sqrt{3 }}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{1}{2}+ 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=-1 + sqrt{3}i end{alineado}$
$2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 210^{circ} + i sin 210^{circ}) &= 2left(-dfrac{sqrt{3}}{2}- dfrac{ 1}{2}iright) \&= 2 cdot -dfrac{sqrt{3}}{2}- 2cdot dfrac{1}{2} i \&=-sqrt{ 3} – Yo end{alineado}$
$2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ})$ $begin{alineado} 2(cos 300^{circ} + i sin 300^{circ}) &= 2left(dfrac{1}{2}- dfrac{sqrt{3} {2}iright) \&= 2 cdot dfrac{1}{2}- 2cdot dfrac{sqrt{3}}{2} i \&=1 – sqrt{3 }i end{alineado}$

Por lo tanto, acabamos de mostrar que podemos encontrar las raíces restantes geométricamente e incluso convertir el resultado a forma rectangular.

enero 22, 2022 por Blog Resta Unidades

Tangente – Explicación y Ejemplos

Tangente – Explicación y Ejemplos

En el contexto de un triángulo rectángulo, podemos simplemente definir el tangente función o cualquier otra función trigonométrica usando los términos hipotenusa, opuesto y adyacente en un triángulo rectángulo. ¿Eso parece interesante? Sí lo es. Pero, ¿cómo definir el función tangente utilizando un triángulo rectángulo?

La función tangente se define determinando la relación entre la longitud del lado opuesto a un ángulo de referencia (ángulo agudo) de un triángulo rectángulo y la longitud del lado adyacente de un triángulo rectángulo.

Después de estudiar esta lección, debemos aprender los conceptos que implican estas preguntas y estar capacitados para dar respuestas precisas, específicas y coherentes a estas preguntas.

  • ¿Qué es una función tangente?
  • ¿Cómo determinar la fórmula de la función tangente de un triángulo rectángulo?
  • ¿Cómo podemos resolver problemas del mundo real usando funciones trigonométricas?

Esta lección tiene como objetivo aclarar cualquier confusión que pueda tener sobre los conceptos relacionados con la función tangente.

¿Qué es la tangente?

Dentro de un triángulo, el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Para un ángulo $alpha$, el función tangente se denota $tan alpha$. En otras palabras, el tangente es un Funcion trigonometrica desde cualquier ángulo dado.

La figura 5-1 a continuación muestra un triángulo rectángulo típico. Las longitudes de los tres catetos (lados) del triángulo rectángulo se denominan $a$, $b$ y $c$. Los ángulos opuestos a las ramas de longitudes $a$, $b$ y $c$ se denominan $alpha$, $beta$ y $gamma$. El pequeño cuadrado de la esquina $gamma$ indica que es un ángulo recto.

Figure 5 1 A right triangle with the reference angle Alpha

Utilice el diagrama de la Figura 5-1 para determinar la función tangente desde el ángulo $alpha$.

Observando la Figura 5-1, podemos determinar el función tangente del triángulo rectángulo si dividimos la longitud del lado opuesto al ángulo de referencia $alpha$ (ángulo agudo) por la longitud del lado adyacente.

La siguiente figura 5-2 representa un función tangente.

Figure 5 2 shows tangent of angle Alpha

Mirando la Figura 5-2, podemos identificar que el lado de longitud $a$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $b$ es el lado adyacente quien miente justo al lado de el ángulo de referencia $alpha$. De este modo,

Opuesto = $a$

Contiguo = $b$

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $alfa$ es

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Función tangente desde el punto de vista del ángulo $beta$

Deberíamos ser Cuidado cuando aplicamos los términos opuesto y adyacente porque el significado de estos términos depende del ángulo de referencia que estemos usando.

La siguiente figura 5-3 representa un triángulo rectángulo típico de la ángulo de visión $beta$.

Figure 5 3 A right triangle with the reference angle Beta

Puede observar que ahora se han cambiado los roles de las partes.

Mirando la Figura 5-3, ahora está claro que la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $b$ es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$. Así, con respecto al ángulo que mide $beta$, ahora tenemos

Contiguo = $a$

Opuesto = $b$

Mientras que la hipotenusa $c$ sigue siendo la misma. Por eso la hipotenusa es muy especial en un triángulo rectángulo.

La siguiente figura 5-4 representa un función tangente desde ángulo de visión $beta$.

Figure 5 4 shows cosine of angle Beta

Mirando la Figura 5-4, podemos identificar que el lado de longitud $b$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$. De este modo,

Opuesto = $b$

Contiguo = $a$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

¿Cuál es la fórmula de la tangente?

La siguiente figura 5-5 ilustra un Comparación cómo determinamos las proporciones de función tangente desde perspectiva desde dos ángulos$alfa$ y $beta$.

Figure 5 5 shows a comparison of cosine function with the reference angles alpha beta

La comparación indica claramente que la función tangente se define como la relación que se obtiene al dividir la longitud del lado opuesto al mencionado ángulo de referencia por la longitud del lado adyacente.

Aquí mismo:

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De la misma forma,

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

De este modo,

${displaystyle tan beta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

¿Cómo recordar la fórmula de la función tangente?

Creamos el SOH-CAH-TOA gráfico de lecciones anteriores para recordar fórmulas para funciones trigonométricas. Necesitas memorizar la tercera parte – TOA – palabra clave SOH-CAH-TOA recuerda la fórmula función tangente.

Aquí está la tabla:

SOL

HAC

TOA

Seno

Coseno

Tangente

Delante de la hipotenusa

Adyacente a la hipotenusa

Opuesto por Adyacente

${displaystyle sin theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle cos theta ={frac {mathrm {adyacente} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle tan theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

??

¡ESTÁS AHÍ!

Ejemplo $1$

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

3 Example 1

Solución:

Mirando el diagrama, es claro que la longitud del lado $12$ es la lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$. El lado de longitud $5$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $13$ es el hipotenusa. De este modo,

Contiguo = $ 12

Opuesto = $5$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {5}{12}}}$

Ejemplo 2

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

5 Example 2

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $20$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$. Además, la longitud del lado $29$ es la hipotenusa.

Es necesario determinar la tangente del ángulo $alpha$. Muy bien, aquí está la parte difícil.

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente, pero falta la longitud del lado adyacente. ¿Qué debemos hacer?

Etapa 1: Determine el lado desconocido pero relevante: el lado adyacente.

Para determinar el lado adyacente, necesitamos usar el teorema de Pitágoras,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $a = $20

Hipotenusa $c = $29

Adyacente $b =$ ?

Sustituye $a = $20 y $c = $29 en la fórmula

$29^{2}=20^{2}+b^{2}$

$841=400+b^{2}$

$b^{2}=441$

$b = 21$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es de $21.

2do paso: Determinar la tangente del ángulo. $alfa$.

Ahora tenemos:

Adyacente $= $21

opuesto $= $20

Usar la fórmula de la función tangente

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {20}{21}}}$

Ejemplo 3

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Qué opción representa la razón trigonométrica de ${frac {7}{24}}$?

a) $pecadoalfa$

b) $cosalfa$

c) $bronceadoalfa$

d) $cot alpha$

3 Example 3

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $7$ es el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $24$ es el lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$.

De este modo,

Opuesto = $7$

Contiguo = $24$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {7}{24}}}$

Por lo tanto, la opción c) es la elección real.

Ejemplo 4

En la figura se muestra un triángulo rectángulo.

a) ¿Cuál es el lado que falta aquí desde el ángulo $beta$

b) Determinar la tangente del ángulo $beta$

Solución:

Parte a) Determinación del lado faltante desde el punto de vista del ángulo $beta$

El diagrama indica claramente que $15$ el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y $17$ es la hipotenusa.

Entonces el adyacente Costa este desaparecido desde el punto de vista del ángulo de referencia beta$.

Sea $x$ el lado adyacente faltante.

Usando el teorema de Pitágoras para resolver el lado que falta.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $b = $15

Hipotenusa $c = 17$

Adyacente $a =$ ?

Sustituye $b = $15 y $c = $17 en la fórmula

$17^{2}=a^{2}+$15^{2}

$289=uno^{2}+$225

$a^{2}=64$

$a = 8$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es $8$.

Parte b) Determinación de la tangente del ángulo $beta$

Ahora tenemos:

Adyacente = $8$

Opuesto = $15$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

reemplazar adyacente = $8$, opuesto = $15$ en la fórmula

Por lo tanto, la tangente de ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {15}{8}}}$

enero 12, 2022 por Ángulos Blog Preguntas Unidades

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Carlos Huertas

Carlos Huertas

Matemático

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