Usa la tabla de valores de $f(x, y)$ para estimar los valores de $fx(3, 2)$, $fx(3, 2.2)$ y $fxy(3, 2)$.

table of x and y values
table of x and y values

Figura 1

Este problema tiene como objetivo encontrar los valores de una función que tiene alterno independiente Variables. Se proporciona una matriz para abordar los valores de $x$ y $y$.

Estas fórmulas sería necesario encontrar la solución:

[ f_x(x,y)=lim_{h to 0}dfrac{f(x+h, y)-f(x,y)}{h}]

[ f_y(x,y)=lim_{hto 0}dfrac{f(x, y+h)-f(x,y)}{h}]

[ f_{xy}=dfrac{partial}{partial y}left(frac{partial f}{partial x} right)=dfrac{partial}{partial y}(f_x]

Respuesta experta:

Parte A:

$f_x(3,2)$ $ f_x(x,y)=lim_{h to 0}dfrac{f(x+h, y)-f(x,y)}{h} $ y considerando $ h=pm 0.5$

[ = lim_{h to 0}dfrac{f(3 pm 0.5, 2)-f(3,2)}{pm 0.5}]

Resolución para $h=0.5$

[ = dfrac{f(3.5, 2)-f(3,2)}{0.5}]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[ = dfrac{22.4-17.5}{0.5}]

[ =  9.8]

Ahora resuelve para $h=-0.5$

[ = dfrac{f(2.5, 2)-f(3,2)}{-0.5}]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[ = dfrac{10.2-17.5}{-0.5}]

[ =  14.6]

Tome el promedio de las dos respuestas $pm 0.5$ para la respuesta final de $f_(3.2)$

[ f_x(3,2)=dfrac{9.8+14.6}{2}]

[ f_x(3,2)= 12.2]

Parte B:

$f_x(3,2.2)$

[ f_x(3,2.2)=lim_{h to 0}dfrac{f(3 pm 0.5, 2.2)-f(3,2.2)}{pm 0.5} ]

Resolución para $h=0.5$

[ = dfrac{f(3.5, 2.2)-f(3,2.2)}{0.5}]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[ = dfrac{26.1-15.9}{0.5}]

[ = 20.4]

Ahora resuelve para $h=-0.5$

[ = dfrac{f(2.5, 2.2)-f(3,2.2)}{-0.5}]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[=dfrac{9.3-15.9}{-0.5}]

[=13.2]

Tome el promedio de las dos respuestas $pm 0.5$ para la respuesta final de $f_(3.2)$

[f_x(3,2.2)=dfrac{20.4+13.2}{2}]

[f_x(3,2.2) = 16.8]

parte c:

$f_xy(3,2)$

[f_{xy}(x,y)=dfrac{partial}{partial y}left( frac{partial f}{partial x}right)=dfrac{partial}{partial y} (f_x)]

[=lim_{h to 0}dfrac{f_x(x, y+h)-f_x(x,y)}{h}]

[f_{xy}(3,2)=lim_{h to 0}dfrac{f_x(3, 2+h)-f_x(3,2)}{h}]

Considerando $h=pm 0.2$

Resolución para $h=0.2$

[=dfrac{f_x(3, 2.2)-f_x(3,2)}{0.2}]

Conecte las respuestas de una parte y parte B:

[=dfrac{16.8-12.2}{0.2}]

[=23]

Ahora resuelve para $h=-0.2$

[=dfrac{f_x(3, 1.8)-f_x(3,2)}{-0.2}]

Resolviendo $f_x(3, 1.8)$ para $h=pm 0.5$

Resolución para $h=0.5$

[f_x(3,1.8)=lim_{h to 0}dfrac{f(3 pm 0.5, 1.8)-f(3,1.8)}{pm 0.5}]

[=dfrac{f(3.5, 1.8)-f(3,1.8)}{0.5}]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[=dfrac{20.0-18.1}{0.5}]

[= 3.8 ]

Ahora resuelve para $h=-0.5$

[= dfrac{f(2.5, 1.8)-f(3,1.8)}{-0.5} ]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[= dfrac{12.5-18.1}{-0.5} ]

[= 11.2 ]

Tomando el promedio de $pm 0.5$ respuestas para la respuesta final de $f_x(3,1.8)$

[f_x(3,1.8) = dfrac{3.8+11.2}{2}]

[f_x(3,1.8) = 7.5]

Sustituye $f_x(3,1.8)$ en la ecuación principal anterior para encontrar $f_{xy}(3,2)$

$f_{xy}(3,2)$ para $h = -2$ se convierte en:

[= dfrac{f_x(3, 1.8)-f_x(3,2)}{-0.2} ]

Enchufe los valores:

[= dfrac{7.5-12.2}{-0.2} ]

[= dfrac{7.5-12.2}{-0.2} ]

[= 23.5 ]

Tome Promedio de $ h=pm 0.2$ respuestas para encontrar la respuesta final:

[f_{xy}(3,2) = dfrac{23+23.5}{2}]

[f_{xy}(3,2) = 23.25]

Los resultados numéricos:

Parte a: $f_x(3.2) = $12.2

Parte b: $f_x(3,2.2) = $16.8

Parte c: $f_{xy}(3,2) = $23,25

Ejemplo

Para la matriz dada, encuentre $f_y(2.5, 2)$.

[  f_y(x,y) = lim_{h to 0} dfrac{f(x, y+h)-f(x,y)}{h} ]

Enchufe los valores en:

[  f_y(2.5,2) = lim_{h to 0} dfrac{f(2.5, 2+h)-f(2.5,2)}{h} ]

Resolución para $h = pm 0.2$

Para $h = $0.2

[  = dfrac{f(2.5, 2.2)-f(2.5,2)}{0.2} ]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[= dfrac{9.3 – 10.2}{0.2} ]

[= -4.5 ]

Ahora resuelve para $h=-0.2$

[= dfrac{f(2.5, 1.8)-f(2.5,2)}{-0.2} ]

Usando la matriz para conectar valores de función:

[= dfrac{12.5-10.2}{-0.2} ]

[= – 11.5 ]

Tomando el promedio de $pm 0.5$ respuestas para la respuesta final de $f_y(2.5,2)$:

[f_y(2.5,2) = dfrac{-4.5-11.5}{2}]

[f_y(2.5,2) = -8]

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.