La región dentro del círculo está representada por $(x-5)^{2}+y^{2}=25$
Región fuera del círculo $x^{2}+y^{2}=25$
Este pregunta tiene como objetivo encontrar el área debajo de la región del círculo. El área de una región dentro o fuera del círculo se puede encontrar usando una integral doble e integrando la función sobre la región. Coordenadas polares a veces son fáciles de integrar porque simplifican los límites de la integración.
Respuesta experta
Etapa 1
Una comprensión básica de las ecuaciones nos dice que esta ecuación es un círculo desplazado cinco unidades a la derecha.
[(x-5) ^ {2} + y ^ {2} = 25]
[(r cos theta – 5) ^ {2} + (r^{2} sin ^ {2} theta)=25]
[( r^ {2} cos ^{2} theta – 10r cos theta + 25)+(r ^{2} sin^{2} theta) = 25]
[r^ {2}. cos ^{2} theta + r^{2} sin ^{2}. theta = 10.r cos theta ]
[x ^{2} +y ^ {2} = 10r cos theta]
[r ^{2} = 10r cos theta]
[r = 10 cos theta]
2do paso
Una vez más, entendiendo que este es el la ecuación de un círculo con un radio de $5$ es útil.
[x ^{2} + y ^{2} = 25]
[r ^{2} = 25]
[r = 5]
Paso 3
Determina el los límites de la integración
[5 = 10 cos theta]
[cos theta = dfrac{5}{10}]
[cos theta = dfrac{1}{2}]
[theta = (0, dfrac {pi} {3}) , (0, dfrac{pi}{3})]
Paso 4
Nuestro la región se puede configurar como
[R = (r, theta) | (0,dfrac {pi} {3} ) ,(0, dfrac {pi} {3})]
Paso 5
configurarlo integral
[Area=2 int _{0} ^ {dfrac {pi}{3}} dfrac {1}{2} (10 cos theta )^{2} dtheta – 2int_{0} ^{dfrac {pi} {3}} (dfrac {1}{2}) (5)^{2} dtheta ]
Paso 6
Integrar contra
[=int _{0} ^ {dfrac {pi}{3}} (100 cos theta )dtheta – int_{0} ^{dfrac {pi} {3}} 25 dtheta ]
Paso 7
[=50 ( theta + dfrac {sin2theta}{2})|_{0} ^{dfrac{pi}{3}} -(25) |_{0}^{dfrac {pi}{3}}]
[=50(dfrac{pi}{3} + dfrac {1}{2}.dfrac{sqrt 3}{2}) – (dfrac{25pi}{3})]
Paso 8
[Area=dfrac{25pi}{3} + dfrac{25 sqrt 3}{2}]
resultado numérico
los área de la región es $dfrac{25pi}{3} + dfrac{25 sqrt 3}{2}$.
Ejemplo
Usa la integral doble para determinar el área de la región. La región dentro del círculo $(x−1)^{2}+y^{2}=1$ y fuera del círculo $x^{2}+y^{2}=1$.
La solución
Etapa 1
[(x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1]
[(r cos theta – 1) ^ {2} + (r^{2} sin ^ {2} theta)=1]
[( r^ {2} cos ^{2} theta – 2r cos theta + 1)+(r ^{2} sin^{2} theta) = 1]
[r^ {2}. cos ^{2} theta+ r^{2}. sin ^{2} theta=2r cos theta ]
[x ^{2} +y ^ {2} = 2r cos theta]
[r ^{2} = 2r cos theta]
[r = 2cos theta]
2do paso
[x ^{2} + y ^{2} = 1]
[r ^{2} = 1]
[r = 1]
Paso 3
Determina el los límites de la integración
[1= 2cos theta]
[cos theta = dfrac{1}{2}]
[cos theta = dfrac{1}{2}]
[theta = (0, dfrac {pi} {3}) , (0, dfrac{pi}{3})]
Paso 4
Nuestro la región se puede configurar como
[R = (r, theta) | (0,dfrac {pi} {3} ) ,(0, dfrac {pi} {3})]
Paso 4
Integre la región y rellene los límites del resultado de integración en el espacio de la región.
[Area=dfrac{pi}{3} + dfrac{sqrt 3}{2}]
