Figura 1
Este artículo aborda el concepto de Cálculo multivariado y el objetivo es entender integrales dobles, Cómo evaluar y simplificary cómo se pueden utilizar para calcular la el volumen delimitado por dos superficies o el área de una región plana en un región general. Cómo simplificar el Cálculos integrales cambiando el ordenar de integracion Reconocer si las funciones de dos Variables son integrables en una región.
El volumen es un escalar cantidad que define la porción de tridimensional espacio rodeado por un granja superficie. Integrar un curva para cualquier límite dado nos da el el volumen que está bajo el curva entre los límites, de manera similar si el sólido contiene 2 Variables en su ecuación, se usará una integral doble para calcular su el volumen. vamos primero integrar el $dy$ con el dado limites de $y$ entonces integrar nuevamente el resultado obtenido con $dx$ y esta vez con $x$ límites. En función de la ecuación de la sólido, la ordenar se puede cambiar para hacer el cálculo más simple, $dx$ se puede integrar antes de $dy$ y viceversa.
Respuesta experta
Dado que ecuación del sólido es $z = 6-y$.
Límites se dan de la siguiente manera:
$ 0< x leq 3$
$ 0< y leq 4$
Fórmula para encontrar el volumen viene dado por:
[ V = underset{y}{int} underset{x}{int} z dydx ]
Ahora inserción los límites de $x$ y $y$ y expresión $z$ en el ecuación y resolver para $V$:
[ V = int_0^3 int_0^4 (6 – y) dydx ]
resolver el interno integral $dy$ primero:
[V = int_0^3 left[ 6y – dfrac{y^2}{2} right]_0^4 dx]
Ahora insertando los límites de $dy$ y restando los expresión de la limite superior con una expresión de límite inferior:
[ V = int_0^3 left[ 6(4) – dfrac{(4)^2}{2} right] – la izquierda[ 6(0) – dfrac{(0)^2}{2} right] dx]
[ V = int_0^3 left[ 24 – dfrac{16}{2} right] dx]
[ V = int_0^3 left[ 24 – 8 right] dx]
[ V = int_0^3 16 dx ]
Ahora que el único integral externa queda, resolviendo para $dx$ para encontrar la respuesta final de $V$.
[ V = int_0^3 16 dx ]
[ V = [16x]_0^3 ]
Insertando el limites y restar :
[ V = [16(3) – 16(0)] ]
[ V = 48 ]
Respuesta numérica:
el volumen de la sólido usando integral dual es $V = $48.
Ejemplo
los ecuación del sólido es: $z = x – 1$ con límites $0< x leq 2$ y $ 0< y leq 4$. Encuéntrala el volumen.
Aplica el fórmula:
[ V = underset{y}{int} underset{x}{int} z dydx ]
Insertando el limites y $z$:
[ V = int_0^2 int_0^4 (x – 1) dydx ]
Resuelve $dy$ primero:
[ V = int_0^2 left[ xy – y right]_0^4 dx]
[ V = int_0^2 left[ x(4) – 4 right] – la izquierda[ x(0) – 0 right] dx]
[V = int_0^2 4x -4 dx]
Resuelve $dx$ para obtener el respuesta final de $V$.
[V = left[ dfrac{4x^2}{2} – 4x right]_0^2 ]
Insertando el limites y restar :
[ V = 2(2)^2 – 4 ]
[ V = 4 ]
