Variación Inversa – Explicación y Ejemplos

variación inversa significa que una variable tiene una relación inversa con otra variable, es decir, las dos cantidades son inversamente proporcionales o varían inversamente entre sí. Matemáticamente, se define por la relación $y = dfrac{c}{x}$, donde $x$ y $y$ son dos variables y $c$ es una constante.

Se dice que dos cantidades $x$ y $y$ están inversamente relacionadas cuando $x$ aumenta si $y$ disminuye y viceversa.

¿Qué es la variación inversa?

La variación inversa es una relación matemática que muestra que el producto de dos variables/cantidades es igual a una constante.

$xy = c$

$y = dfrac{c}{x}$

Variación inversa entre dos variables

La relación inversa entre dos variables o cantidades es representado por la inversa de la proporción. El ejemplo anterior $y = dfrac{4}{x}$ está entre dos variables “x” e “y”, que son inversamente proporcionales entre sí.

También podemos escribir esta expresión en la forma:

$xy =4$

En la tabla anterior para cada caso, el producto xy = 4, lo que justifica la relación inversa entre las dos variables.

Fórmula de variación inversa

La variación inversa indica que si una variable $x$ es inversamente proporcional a una variable $y$, entonces la fórmula de la variación inversa estará dada por:

$y propto dfrac{1}{x}$

$y = dfrac{c}{x}$

Si nos dan dos valores diferentes de $x$, digamos $x_1$ y $x_2$ y $y_1$ y $y_2$ son los valores correspondientes de $y$, entonces la relación entre la pareja $(x_1,x_2)$ y $(y_1,y_2)$ se da de la siguiente manera:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

Visualización

Para visualizar una relación inversa, sea $c$ igual a $4$, y representación gráfica de la fórmula $y = dfrac{4}{x}$ es como se muestra a continuación:

ejemplo de variacion inversainverse variation table

Podemos ver en la tabla anterior que un aumento (o disminución) en el valor de $x$ resultar en una disminución (o aumento) en el valor de $y$.

En una relación matemática, tenemos dos tipos de variables: la variable independiente y la variable dependiente. Como sugiere su nombre, el valor de la variable dependiente depende del valor de la variable independiente.

Si el valor de la variable dependiente varía de tal manera que si la variable independiente aumenta la variable dependiente disminuye y viceversa, entonces decimos existe una variación inversa entre estas dos variables. Podemos observar el fenómeno de la variación inversa en nuestra vida diaria.

Analicemos algunos ejemplos concretos a continuación:

1. Podemos observar una relación de variación inversa mientras conducimos un automóvil. Por ejemplo, supongamos que necesita moverse de la ubicación A a la B. Aquí, el tiempo para recorrer la distancia completa y la velocidad del automóvil tienen una relación inversa. Cuanto mayor sea la velocidad del vehículo, menos tiempo tardará en llegar a la ubicación B desde A.

2. Del mismo modo, el tiempo que se tarda en completar un trabajo y el número de trabajadores tienen una relación inversa entre sí. Cuanto mayor sea el número de trabajadores, menos tiempo se necesitaría para completar el trabajo.

En este tema, aprenderemos y comprenderemos la variación inversa con representación gráfica, su fórmula y uso, y algunos ejemplos numéricos.

Cómo usar la variación inversa

La variación inversa es simple de calcular si solo se dan dos variables.

  1. Escribe la ecuación $xy = c$
  2. Calcular el valor de la constante $c$
  3. Reescribe la fórmula como una fracción $y = dfrac{c}{x}$
  4. Inserta diferentes valores de variables independientes y traza la gráfica de la relación inversa entre estas dos variables.

Ejemplo 1:

Si una variable $x$ varía inversamente a una variable $y$, calcule el valor de la constante $c$ si $x$ = $45$ a $y$ = $9$. También encuentra el valor de $x$ cuando el valor de $y$ es $3$.

Solución:

Sabemos que el producto de dos variables en una relación inversa es igual a una constante.

$xy = c$

$45 veces 9 = CAD

$c = $405

Ahora tenemos el valor de la constante $c$ por lo que podemos calcular el valor de $x$ si $y = 3$.

La variable $x$ es inversamente proporcional a $y$

$x = dfrac{c}{y}$

$x = dfrac{405}{9}$

$x = $45

Ejemplo 2:

Si una variable $y$ varía en dirección opuesta a una variable $x$, calcule el valor de la constante $c$ cuando $x$ = $15$ y luego $y$ = $3$. También encuentra el valor de $x$ si el valor de $y$ es $5$.

Solución:

Sabemos que el producto de dos variables en una relación inversa es una constante.

$xy = c$

$15 veces 3 = $CA

$c = $45

Ahora tenemos el valor de la constante $c$ por lo que podemos calcular el valor de $x$ si $y = 25$.

La variable $y$ es inversamente proporcional a $x$

$y = dfrac{c}{x}$

$25 = dfrac{45}{x}$

$x = dfrac{45}{5}$

$x = $9

Ejemplo 3:

Si una variable $x$ es inversamente proporcional a una variable $y$, entonces para la matriz dada, calcule el valor de la variable $y$ para los valores dados de la variable $x$. Se sabe que el valor de la constante $c$ es $5$.

$x$

$y$

$5$

$10$

$15$

$25$

$35

Solución:

La variable $x$ es inversamente proporcional a la variable $y$, y el valor de la constante es $5$. Por lo tanto, podemos escribir la ecuacion para calcular $x$ para diferentes valores de $y$.

$x = dfrac{5}{y}$

Entonces, usando la ecuación anterior, podemos encontrar todos los valores de las variables $x$.

$x$

$y$

$1$

$5$

$0.5$

$10$

$0.333$

$15$

$0.2$

$25$

$0.143$

$35

Ejemplo 4:

Si 12 hombres pueden completar una tarea en 6 horas, ¿cuánto tiempo tardarán 4 hombres en completar la misma tarea?

Solución:

Sean hombres =$ x$ y horas = $y$

Entonces, $x_1 = 12$, $x_2 = 4$ y $y_1 = 6$

Necesitamos encontrar el valor de $y_2$.

Conocemos la fórmula:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

$dfrac{12}{4} = dfrac{y_2}{6}$

$3 = dfrac{y_2}{6}$

$y_2 = 3veces $6

$y_2 = 18$ horas

Eso significa $4 los hombres tomarán $18$ horas para completar la tarea.

Ejemplo 5:

Una organización benéfica proporciona alimentos para las personas sin hogar. La caridad organizó comida por $15 al día por $30 por persona. Si sumamos $15 personas más al total, ¿cuántos días durará la comida para $45 personas?

Solución:

Sean personas = $x$ y días = $y$

Entonces $x_1 = $30, $x_2 = $45 y $y_1 = $15

Necesitamos encontrar el valor de $y_2$.

Conocemos la fórmula:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

$dfrac{30}{45} = dfrac{y_2}{15}$

$dfrac{2}{3} = dfrac{y_2}{15}$

$y_2 = (dfrac{2}{3}) $15

$y_2 = 10$ días

Ejemplo 6:

Adam distribuye raciones a las víctimas de la guerra. Tiene $60 en personas bajo su supervisión. El almacenamiento actual de raciones puede durar $30 días. Después de $20 días, se agregan $90 más personas bajo su supervisión. ¿Cuánto tiempo durará la ración después de esta incorporación de nuevas personas?

Solución:

Sean personas = x y días = y

Agregamos nuevas personas después de $ 20 $ días. Resolveremos los últimos $10 días y sumaremos los primeros $20 días al final.

Entonces $x_1 = $60, $x_2 = $90 y $y_1 = $10

Necesitamos encontrar el valor de $y_2$.

Conocemos la fórmula:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

$dfrac{60}{150} = dfrac{y_2}{10}$

$dfrac{6}{15} = dfrac{y_2}{10}$

$y_2 = (dfrac{6}{15}) 10$

$y_2 = 6$ días

Entonces el número total de días que durará la ración = $20hspace{1mm} +hspace{1mm} 6$ = $26$ días.

Atenuación inversa con potencia

Variación inversa no lineal trata de la variación inversa con una potencia. Esto es lo mismo que una variación inversa simple. La única diferencia es que la variación se representa usando una potencia de “n” de la siguiente manera:

$y propto dfrac{1}{x^{n}}$

$y = dfrac{c}{x^{n}}$

Al igual que el ejemplo simple que vimos anteriormente para la representación gráfica, tomemos el valor de $c$ igual a 4. Luego, la representación gráfica de $y$ siendo inversamente proporcional a $x^{2}$, $y = dfrac{4}{x^{2}}$ se puede graficar Como se muestra abajo:

variación inversa ejemplo 2

Ejemplo 7:

Si la variable $y$ es inversamente proporcional a la variable $x^{2}$, calcula el valor de la constante $c$, si para $x$ = $5$ tenemos $y$ = $15$. Encuentra el valor de $y$ si el valor de $x$ es $10$.

Solución:

$x^{2}.y = c$

5 $^{2}.15 = $ca

$ 25 veces 15 = $ CAD

$c = $375

Ahora tenemos el valor de la constante $c$ por lo que podemos calcular el valor de $y$ Si $x = $10.

La variable $y$ es inversamente proporcional a $x^{2}$

$y = dfrac{c}{x^{2}}$

$y = dfrac{375}{10^{2}}$

$y = dfrac{375}{100}$

$y = $3,75

Preguntas prácticas:

  1. Si 16 trabajadores pueden construir una casa en 20 días, ¿cuánto tiempo tardarán 20 trabajadores en construir la misma casa?
  2. Si la variable $x$ es inversamente proporcional a la variable $y^{2}$, calcula el valor de la constante $c$, si para $x = 15$ tenemos $y = 10$. Encuentra el valor de $x$ si el valor de $y$ es $20.
  3. Un grupo de 6 miembros de una clase de ingeniería completa una tarea asignada en 10 días. Si agregamos dos miembros más al grupo, ¿cuánto tiempo le tomará al grupo completar el mismo trabajo?

clave de respuesta:

1.

Sea trabajador = $x$ y días = $y$

Entonces $x_1 = $16, $x_2 = $20 y $y_1 = $20

Necesitamos encontrar el valor de $y_2$.

Conocemos la fórmula:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

$dfrac{16}{20} = dfrac{y_2}{20}$

$y_2 = (dfrac{16}{20}) 20$

$y_2 = 16$ días

entonces $20 los trabajadores construirán la casa en $16 dias.

2.

$xy^{2} = c$

$15veces 10^{2} = c$

$15 veces 100 = $CA

$c = $1500

Ahora tenemos el valor de la constante $c$ por lo que podemos calcular el valor de $x$ si $y = 20$.

La variable $x$ es inversamente proporcional a $y^{2}$

$x = dfrac{c}{y^{2}}$

$x = dfrac{1500}{20^{2}}$

$x = dfrac{1500}{400}$

$x = dfrac{15}{4}$

3.

Sean miembros = x y días = y

Entonces, $x_1 = $6, $x_2 = $8 y $y_1 = $10.

Necesitamos encontrar el valor de $y_2$

Conocemos la fórmula:

$dfrac{x_1}{x_2} = dfrac{y_2}{y_1}$

$dfrac{6}{8} = dfrac{y_2}{10}$

$dfrac{3}{4} = dfrac{y_2}{10}$

$y_2 = (dfrac{3}{4}) 10$

$y_2 = dfrac{15}{2} = 7,5 días$

entonces $8$ los miembros tomarán $7.5 días para completar todas las misiones.