Varios factores intervienen en la creación de un intervalo de confianza. En cuanto al concepto de nivel de confianza, margen de error y media muestral, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

1654850222 SOM Questions and Answers
  • Reducir el margen de error mientras se mantiene constante el tamaño de la muestra disminuirá la confianza.
  • El margen de error será menor para una muestra de mayor tamaño si el nivel de confianza es constante.
  • La confianza aumentará para un tamaño de muestra más grande si se fija el margen de error.
  • Si el tamaño de la muestra se duplica mientras el nivel de confianza permanece igual, el margen de error se reducirá a la mitad.

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar el intervalo de confianza para diferentes escenarios en los datos estadísticos.

Los conceptos requeridos para esta pregunta son el valor del intervalo de confianza, el margen de error, la media muestral y el nivel de confianza. El intervalo de confianza es el valor de certeza de los datos estadísticos, mientras que el nivel de confianza es el valor porcentual de su confianza en los resultados de una encuesta. El margen de error nos dice cuánto error puede ocurrir en el valor del intervalo de confianza.

El intervalo de confianza viene dado por:

[ CI = overline{x} pm z frac{sigma}{sqrt{n}} ]

Respuesta experta:

1) Si reducimos el margen de error para un tamaño de muestra determinado, debería aumentar la confianza. Cuanto más aumenta el margen de error, más aumenta con él la incertidumbre. Matemáticamente, también podemos demostrar que al reducir el margen de error, nuestro intervalo de confianza será más preciso. Por lo tanto, la afirmación dada es $falsa$.

2) $z$ es el valor de confianza, mientras que $n$ es el tamaño de la muestra con $sigma$ como desviación estándar. Si aumentamos el tamaño de la muestra, reducirá el margen de error porque el tamaño de la muestra está inversamente relacionado. Por lo tanto, la afirmación es $verdadera$.

3) Fijar el margen de error mientras se aumenta la muestra es una declaración ambigua porque el margen de error depende del tamaño de la muestra y su desviación estándar. Podemos fijar el valor de confianza y la desviación estándar mientras aumentamos el tamaño de la muestra. Esto aumentará la certeza del intervalo de confianza. Por lo tanto, la afirmación es $verdadera$.

4) Esta declaración es $falsa$, ya que podemos ver en la fórmula del intervalo de confianza que el tamaño de la muestra es menor que la raíz cuadrada. Para reducir a la mitad el margen de error, necesitaríamos un tamaño de muestra $4$ veces mayor.

Los resultados numéricos:

Si cambiamos el tamaño de la muestra a $n=4n$, el margen de error se reduce a la mitad.

[ CI = overline{x} pm z frac{sigma}{sqrt{4n}} ]
[ CI = overline{x} pm dfrac{1}{2} (z frac{sigma}{sqrt{n}}) ]

Ejemplo:

Una encuesta de $400 personas encontró que el peso medio era de $67 kg con una desviación estándar de $8,6 con un nivel de confianza de $95. Encuentre el intervalo de confianza.

[ n = 400, sigma = 8.6, overline{x} = 67 ]

El valor $z$ del nivel de confianza de $95%$ es $1,96$ según la $z-table$.

[ CI = 67 pm 1.96 frac{8.6}{sqrt{400}} ]

[ CI = 67 pm 0.843 ]

El intervalo de confianza para esta encuesta está entre $66,16 kg$ y $67,84 kg$ con un nivel de confianza de 95 $%$.