y = x Reflexión – Definición, Proceso y Ejemplos

y = x Reflexión – Definición, Proceso y Ejemplos

El $boldsymbol{ y = x}$ reflexión es simplemente “voltear” una forma o punto en una línea diagonal. Dado que la reflexión $y=x$ es un tipo especial de reflexión, también se puede clasificar como una transformación rígida. Saber reflexionar sobre la recta $y=x$ te será útil para graficar funciones y predecir la gráfica de funciones inversas.

los $boldsymbol{ y = x}$ el reflejo proyecta la preimagen sobre la línea diagonal que pasa por el origen y representa $boldsymbol{ y = x}$. Esto hace que las ubicaciones de las coordenadas x e y se activen en el sistema de coordenadas.

Este artículo se enfoca en un tipo particular de reflexión: en la línea $y = x$. Esta explora los fundamentos de la reflexión a partir de diferentes tipos de preimágenes. Al final de la discusión, pruebe diferentes ejemplos y practique preguntas para dominar mejor este tema.

¿Cómo reflejar y=x?

Para reflejar un punto o un objeto en la línea $y=x$, cambiar los valores de $x$ para $y$ y los valores de $y$ para $x$. Este proceso incluso se aplica a las funciones, es decir, para reflejar una función en $y = x$, invertir los valores de entrada y salida. Cuando se le dé la forma dibujada en el plano $xy$, cambie las coordenadas $x$ y $y$ para encontrar la imagen resultante.

La mejor forma de dominar el proceso de reflexión lineal, $y = x$, consiste en elaborar diferentes ejemplos y situaciones. Aplique lo que se discutió para reflejar $Delta ABC$ a la línea $y = x$.

El triangulo de arriba tiene los siguientes vértices: $A = (1, 1)$, $B = (1, -2)$ y $C = (4, -2)$. Para reflejar $Delta ABC$ en la línea $y = x$, invierta las coordenadas $x$ y $y$ de los tres vértices.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} & : ,,,,,({color{Teal}1}, {color{DarkOrange} 1}) rightarrow ({ color{naranja oscuro}1}, {color{verde azulado} 1})fantasma{x}\B rightarrow B^{prime} &: ({color{verde azulado}1}, {color{naranja oscuro} -2}) rightarrow ({color{naranja oscuro}-2}, {color{verde azulado} 1})\C rightarrow C^{prime} &: ({color{verde azulado}4}, { color{naranja oscuro} -2}) rightarrow ({color{naranja oscuro}-2}, {color{verde azulado} 4})end{alineado}

Luego dibuja estos tres puntos conectarlos para formar la imagen de $Delta A^{prime}B^{prime}C^{prime}$. Construye la línea de reflexión como guía y comprueba si la reflexión se ha realizado correctamente.

La imagen resultante es como la de arriba. Para vuelva a verificar si el reflejo se aplicó correctamenteconfirme si las distancias perpendiculares correspondientes entre los puntos de la preimagen y la imagen son iguales.

Esto confirma que el resultado de reflexión $Delta ABC$ en la línea de reflexión $y = x$ es un triangulo $Delta A^{prime}B^{prime}C^{prime}$ con los siguientes vértices: $A^{prime} =(1, 1)$, $B^{prime} = (-2, 1)$, y $C^{prime} = (-2, 4)$.

Aplicar un proceso similar cuando se le pide que refleje funciones o formas en la línea de reflexión $y = x$.

y = x Reflexión: ¿qué es?

La reflexión $y = x$ es un tipo de reflexión en el plano cartesiano donde la preimagen se refleja con respecto a la línea de reflexión con una ecuación de $y = x$. Imagina una línea diagonal que pasa por el origen, $y = x$, el reflejo ocurre cuando un punto u objeto determinado se refleja en esta línea.

Antes de profundizar en el proceso de pensar $y = x$, recuerda cómo se representa esta ecuación en el $xy$-plano. Los puntos $(-1, 1)$, $(0, 0)$ y $(1, 1)$ pasan a través de las rectas de $y = x$, así que úsalos para graficar la recta de reflexión.

A lo largo de esta discusión, la atención se centrará en puntos reflectantes y polígonos de diferentes formas en la línea $y = x$. Mire los gráficos de arriba: el círculo se refleja en la línea de reflexión $y = x$.

Ahora, mire más de cerca los puntos para ver cómo el reflejo en $y = x$ les afecta:

begin{aligned}A =(0, -2) &rightarrow A^{prime} = (-2, 0)\B=(2, 0) &rightarrow B^{prime} = (0 , 2)end{alineado}

Las coordenadas de la preimagen y la imagen han cambiado de lugar. Esto es realmente lo que hace que el reflejo $y = x$ sea especial. Cuando se proyecta sobre la línea de reflexión, los $boldsymbol{x}$ y $boldsymbol{y}$ las coordenadas de los puntos cambian de lugar.

begin{alineado}color{Teal} textbf{Reflejar} &color{Teal}textbf{ión de } boldsymbol{y = x}\(x, y) &rightarrow (y, x) fin {alineado}

Esta vez, mover el foco de los puntos a la imagen resultante del círculo después de reflejarse en $y = x$.

  • La preimagen es un círculo de radio $2$, centrado en $(2, -2)$ y una ecuación de $(x – 2)^2 + (y +2)^2 = 4$.
  • La imagen es un círculo de radio $2$, centrado en $(-2, 2)$ y una ecuación de $(y – 2)^2 + (x +2)^2 = 4$.

Recuerda que la forma de la función inversa es el resultado del reflejo de la función en la recta $y = x$. Aplique el mismo proceso para encontrar la función de la imagen transformada: cambiar los lugares de las variables para encontrar la función de la imagen.

La función $y = (x -6)^2 -4$ tiene una parábola como curva. Cuando se refleja en la línea $y=x$, las coordenadas $x$ e $y$ de todos los puntos a lo largo de la curva cambiarán de lugar. Esto también significa que las variables de entrada y salida de la función tendrán que cambiar de lugar.

begin{alineado}y &= (x – 6)^2 – 4\ &flecha abajo \ x &= (y- 6)^2 -4end{alineado}

Ahora observe la transformación de $Delta ABC$ en la línea $y =x$ y tratar de encontrar interesante propiedades de transformación.

Aquí hay otros propiedades importantes para recordar al reflejar objetos en la línea de reflexión $y = x$.

  1. La distancia perpendicular entre el punto de la preimagen y el punto de la imagen correspondiente es igual.
  2. La imagen reflejada conserva la forma y el tamaño de la preimagen, por lo que la reflexión $y = x$ es una transformación rígida.

La siguiente sección ofrece más ejemplos para asegurar que al final de esta discusión, ¡pensar en la línea $y = x$ será fácil y simple!

Ejemplo 1

Grafica los tres puntos $(-1, 4)$, $(2, 3)$ y $(-4, -2)$ en el plano $xy$. Determine los puntos resultantes cuando cada uno de estos puntos se refleja en la línea de reflexión $y =x$. Grafique también estos puntos resultantes y use el gráfico para verificar las tres imágenes.

Solución

Traza cada uno de los tres puntos dados en el plano cartesiano. El gráfico a continuación muestra la posición de los tres puntos en un plano de coordenadas.

Para encontrar la imagen resultante para cada uno de los puntos después de reflejar cada uno de ellos en $y =x$, cambiar el $x$ y $y$ valores de coordenadas para cada uno de los puntos.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} &:,,,,({color{Teal}-1}, {color{DarkOrange} 4}) rightarrow ({color {Naranja oscuro}4}, {color{Verde azulado} -1})fantasma{x}\B rightarrow B^{prime} &: ,,,,,,,, ({color{Teal}2}, {color{OrangeOrange} 3}) rightarrow ({color{OrangeOrange}3}, {color{Teal} 2})\C rightarrow C^{prime } &: ({color{Verde azulado}-1}, {color{Anaranjado oscuro} -2}) rightarrow ({color{Anaranjado oscuro}-2}, {color{Verde azulado} -1})end{ alineado}

Trace estos nuevos conjuntos de puntos en el mismo plano $xy$. Representar gráficamente la línea de reflexión. $y =x$ también para ayudar a responder la pregunta de seguimiento.

Para comprobar si las imágenes proyectadas están en la posición correcta, determinar las distancias perpendiculares entre las imágenes y las preimágenes correspondientes: $A rightarrow A^{prime}$, $B rightarrow B^{prime}$ y $C rightarrow C^{prime}$.

Ejemplo 2

El cuadrado $ABCD$ tiene los siguientes vértices: $A=(-3, 3)$, $B=(-3, 1)$, $C=(-1, 1)$ y $D=(-1 , 3)$. Cuando el cuadrado se refleja en la línea de reflexión $y = x$, ¿cuáles son los vértices del nuevo cuadrado?

Grafique la imagen previa y la imagen resultante en el mismo plano cartesiano.

Solución

Cuando se refleja en la línea de reflexión $y = x$, encontrar los vértices de la imagen invirtiendo las ubicaciones de los $x$ y $y$ coordenadas de los vértices de la preimagen.

begin{aligned}A rightarrow A^{prime} & :({color{Teal}-3}, {color{DarkOrange} 3}) rightarrow ({color{DarkOrange}3}, { color{Teal} -3})phantom{x}\B rightarrow B^{prime} & :({color{Teal}-3}, {color{DarkOrange} 1}) rightarrow ({ color{naranja oscuro}1}, {color{verde azulado} -3})\C rightarrow C^{prime} &: ({color{verde azulado}-1}, {color{naranja oscuro} 1} ) rightarrow ({color{Anaranjado oscuro} 1}, {color{Verde azulado} -1})\D rightarrow D^{prime} & : ({color{Verde azulado}-1},{color {Naranja oscuro} 3}) rightarrow ({color{Naranja oscuro}3}, {color{Verde azulado} -1})end{alineado}

Eso significa que la imagen del cuadrado tiene los siguientes vértices: $A=(3, -3)$, $B=(1, -3)$, $C=(1, -1)$ y $D=(3, -1)$.

Usa coordenadas para graficar cada cuadrado — la imagen se verá como la imagen previa pero volteada en diagonal (o $y = x$).

Preguntas prácticas

1. Supongamos que el punto $(-4, -5)$ se refleja en la línea de reflexión $y =x$, ¿cuál es la nueva coordenada de la imagen resultante?

R$(4,5)$
B.$(-4,-5)$
C$(5,4)$
D$(-5,-4)$

2. El cuadrado $ABCD$ tiene los siguientes vértices: $A=(2, 0)$, $B=(2,-2)$, $C=(4, -2)$ y $D=(4 , 0)$. Cuando el cuadrado se refleja en la línea de reflexión $y =x$, ¿cuáles son los vértices del nuevo cuadrado?

A. $A=(0, -2)$, $B=(-2,-2)$, $C=(-2,-4)$ y $D=(0,-4)$
B. $A=(0, 2)$, $B=(-2, 2)$, $C=(-2, 4)$ y $D=(0, 4)$
C. $A=(0,-2)$, $B=(2,-2)$, $C=(2,-4)$ y $D=(0,-4)$
D. $A=(0.2)$, $B=(-2.2)$, $C=(-2, 4)$ y $D=(0.4)$

corregido

1.D
2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.