Sí, el 16/9 es un un cuadrado perfecto porque las raíces reales del 16/9 son ambas racionales. El numerador 9 es el cuadrado de 3 y el denominador 16 es el cuadrado de 4.
Una fracción es un cuadrado perfecto cuando su numerador y denominador son dos cuadrados de un número entero. Esto significa que la fracción es un cuadrado de otra número racionales decir, su numerador y denominador son ambos enteros.
Entonces podemos garantizar que la raíz cuadrada de una fracción también es una fracción. Por ejemplo, 5 no es el cuadrado de ningún número. Esto se debe a que no podemos encontrar ningún número entero que cuando se multiplique por sí mismo nos dé 5. Sin embargo, 5 todavía tiene una raíz cuadrada de aproximadamente 2,236, pero como no es un número entero, el cuadrado de 2,236 no será igual a 5.
En el caso de fracciones cuyas raíces reales tienen denominadores que no son números enteros, necesitamos racionalizar el denominador para eliminar el signo radical. Puede encontrar una discusión completa sobre este tema aquí.
Como mencionamos anteriormente que las integrales son las inversas de las derivadas, dejamos $f(x)=1/x$. Mientras tenemos: begin{alinear*} intdfrac{1}{x},dx=F(x)+C, end{alinear*}
Sin embargo, notaremos que las únicas restricciones en el dominio de $f'(x)$, que es $x$, no deben ser iguales a $0$. Entonces en $f'(x)$, $x>0$ o $x<0$, pero $xneq0$. Mientras que en la función $ln x$, el dominio son solo los números positivos ya que el logarítmico natural no está definido en números negativos ni en $0$. Por lo tanto, $x$ es un número estrictamente positivo.
De ello se deduce que $1/x$ y $ln(x)$ tienen dominios diferentes, lo cual no es correcto ya que deben tener el mismo dominio. Entonces tenemos que considerar cuando $x<0$.
Para ello, debemos suponer que $x=-u$, donde $u$ es un número real. Se sigue que si $x<0$, alors $u>$0. Y al sustituir el valor de $x$, tendremos $dx=-du$, y esto implica que: begin{alinear*} intleft(dfrac{1}{x}right), dx=intleft(dfrac{1}{-u}right),left(-duright). end{alinear*}
Se sigue que cuando $x<0$, entonces la integral de $f'(x)$ es: begin{alinear*} intleft(dfrac{1}{x}right), dx= ln (u)+C_1, end{alinear*}
donde $C_1$ es una constante arbitraria. Y sustituyendo el valor de $u$, tenemos: begin{alinear*} intleft(dfrac{1}{x}right), dx= ln (-x)+C_1. end{alinear*}
Sin embargo, sabemos que el logarítmico natural no está definido en números negativos, por lo que usaremos la función absoluta, donde si $xgeq0$, entonces $|x|=x$, y si $x<0$, entonces $ |x|=-x$. Por lo tanto, la integral de $1/x$ es $ln|x|+C$, donde $C$ es una constante arbitraria.
Así, esto verifica y explica la integral de la prueba $1/x$.
El método AC es un método matemático utilizado en la factorización de funciones cuadráticas.
El método AC también se denomina método AC perezoso y se utiliza para determinar si los factores de la función dada se pueden determinar o no. También se puede usar para factorizar polinomios o, más específicamente, factorizar ecuaciones cuadráticas.
Sabemos que una ecuación cuadrática se escribe:
$Ax^{2} + Bx + C$
En esta fórmula, A y B son los coeficientes, por lo que C es la constante. El nombre AC se da porque este método usa el producto del coeficiente A y la constante C para encontrar los factores de la función cuadrática.
En esta guía, veremos cómo se puede usar el método AC para determinar los factores de una función trinomio cuadrática mediante el estudio de diferentes ejemplos numéricos.
¿Qué se entiende por método AC?
El método AC es un método de fracciones que permite determinar si la factorización de un trinomio cuadrático es posible o no. Se utiliza para determinar los factores de una función trinomio cuadrática.
Por ejemplo, si nos dan un trinomio cuadrático $Ax^{2} + Bx + C$, entonces de acuerdo con el método AC, el producto de A y C nos dará dos factores, digamos P y Q, y cuando sumamos estos dos factores, entonces la suma será igual al coeficiente B. Estos factores también se llaman factores trinominales.
Primero, analicemos qué significa un trinomio cuadrático y luego aplicaremos el método AC para resolver los factores del trinomio cuadrático.
trinomio cuadrático
Cuando una función polinomial tiene una potencia/grado de dos y también consta de tres términos, entonces se dice que es un trinomio cuadrático. La expresión general de un trinomio cuadrático se escribe $Ax^{2} + Bx + C$. Por ejemplo, la función cuadrática $3x^{2} + 5x + 6$ es un trinomio cuadrático.
En el polinomio cuadrático $3x^{2} + 5x + 6$, $A = 3$, $B = 5$ y $C = 6$, todos estos elementos son números enteros. Un trinomio cuadrático puede tomar una de las siguientes formas:
Una ecuación cuadrática terminal con la constante como un entero positivo
Una ecuación cuadrática terminal con constante como entero negativo
Una ecuación terminal cuadrática general
Una ecuación que contiene solo cuadrados terminales.
Una ecuación trinominal cuadrática normal se escribe como $Ax^{2} + Bx + C$, mientras que el primer término y el último término de una ecuación trinominal cuadrada son cuadrados positivos. Por ejemplo, los trinomios $x^{2} + 2xy + y^{2}$ y $x^{2} – 2xy + y^{2}$ son trinomios cuadrados porque el primero y el último término son cuadrados positivos, mientras que el término medio puede ser positivo o negativo.
Factorización de trinomios cuadráticos usando el método AC
Factorizar trinomios o trinomios cuadráticos usando el método AC es bastante fácil y directo. Se deben seguir los pasos a continuación al factorizar una ecuación cuadrática trinominal.
Identificar o verificar una ecuación trinomio cuadrática.
Multiplica A y C y encuentra dos factores, P y Q.
Haz una lista de todos los factores del producto y comprueba si la suma de los dos factores es igual a B y su producto también debe ser igual al producto de AC.
Si el tercer paso tiene éxito, reescribe la ecuación con los nuevos factores encontrados en el paso anterior.
Separe los términos semejantes, luego factorice el máximo común divisor, y eso nos dará los factores de la ecuación trinominal dada.
Considere un ejemplo de ecuación cuadrática trinominal $2x^{2} + 7x + 6$. Ahora vamos a resolverlo paso a paso usando el método AC.
$2x^{2} + 7x + $6
$A = $2 y $C = $6
$AC = 2 times 6 = 12$ (Recuerde que el producto real es $12x^{2}$. En el método AC, solo multiplicaremos coeficientes o valores constantes juntos).
$B = $7
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $12. Los factores pueden ser:
$P = 12$, $Q = 1$, $12 = (12) (1)$
$P = $4, $Q = $3, $12 = (4) (3)$
$P = $6, $Q = $2, $12 = (6) (2)$
Ahora vamos a elegir los dos factores que sumados deben ser $B = 7$. En este caso, estos factores son $P = 4$ y $Q = 3$. Como $4 + 3 = 7 = B$.
Como se indicó anteriormente, simplemente estamos multiplicando los coeficientes $4x + 3x = 7x$ y el producto de los factores P y Q $4x times 3x = 12x^{2}$, lo que equivale a $AC = 2x^{2 } multiplicado por 6 = 12x^{2}$
Ahora reescribiremos la ecuación como:
$2x^{2} + 4x + 3x + $6
2x (x+2) + 3 (x+2)$
$(x+2) ( 2x+3)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son $(x+2)$ y $( 2x+3)$.
Factoricemos las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula de factorización del método ac.
Ejemplo 1: Factorice las siguientes ecuaciones trinomio cuadráticas:
$5x^{2} – 8x – $4
$x^{2} – 6x + $9
$3x^{2} + 6x – $9
$7x^{2}+ 16x + $4
Solución:
1).
$5x^{2} – 8x – $4
$A = $5 y $C = -$4
$CA = 5 times (-4) = -20$
$B = -$8
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $-20$. Los factores pueden ser:
$P = -2$, $Q = 10$, $-20 = (-2) (10)$
$P = $10, $Q = -2$, $-20 = (10) (-2)$
$P = -2$, $Q = 10$, $-20 = (-2) (10)$
$P = -5$, $Q = 4$, $-20 = (-5) (4)$
$P = $4, $Q = -5$, $-20 = (4) (-5)$
$P = -4$ , $Q = 5$, $-20 = (-4) (5)$
Ahora vamos a elegir los dos factores que sumados deben ser $B = -8$. En este caso, estos factores son $P = -10$ y $Q = 2$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$5 ^{2} – 10x + 2x – $4
$2x (x – 2) + 2 (x – 2)$
$(x – 2) (2x+ 2)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son 4(x – 2)$ y 4(2x + 2)$.
2).
$x^{2} – 6x + $9
$A = $1 y $C = $9
$AC = 1 veces 9 = 9$
$B = -$6
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, al multiplicarlos, den como resultado 9. Los factores pueden ser:
$P = 3$, $Q = 3$, $9 = (3) (3)$
$P = -3$ , $Q = -3$, $12 = (-3) (-3)$
$P = 9 4, $Q = 1$, $9 = (9) (1)$
$P = -9$ , $Q = -1$, $9 = (-9) (-1)$
Ahora vamos a elegir los dos factores que sumados deben ser $B = -6$. En este caso, estos factores son $P = -3$ y $Q = -3$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$x^{2} – 3x – 3x + $9
$x (x – 3) – 3 (x – 3)$
$(x-3) (x-3)$.
Por lo tanto, este trinomio cuadrático tiene un solo factor $(x-3)$. Resolver ecuaciones cuadráticas que tienen un número de dos cuadrados al final siempre producirá un factor común.
La ecuación dada es esencialmente una ecuación trinomio cuadrada; podemos escribir $x^{2} – 6x + 9$ como $x^{2}-6x + 3^{2}$, que, a su vez, es igual a $(x – 3)^{ $2}. Entonces, si una ecuación es un cuadrado trinomio cuadrático, entonces tendrá factores comunes.
3).
$3x^{2} + 6x – $9
$A = $3 y $C = -9$
$CAD = 3 times -9 = -27$
$B = $6
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $-18$. Los factores pueden ser:
$P = -9$, $Q = 3$, $-27 = (-9) (3)$
$P = -3$ , $Q = 9$, $-27 = (-3) (9)$
$P = -27$ , $Q = 1$, $-27 = (-27) (1)$
$P = $27, $Q = -1$, $-27 = (27) (-1)$
Ahora vamos a elegir los dos factores que, sumados, deben ser igual a $B = $6. En este caso, estos factores son $P = 9$ y $Q = -3$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$3x^{2} + 9x – 3x – $9
$3x (x + 3) – 3 (x + 3)$
$(x + 3) (3x – 3)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son $(x + 3)$ y $(3x – 3)$.
4).
$7x^{2} + 16x + $4
$A = $7 y $C = $4
$AC = 7 x 4 = $28
$B = $16
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $28. Los factores pueden ser:
$P = 7$ , $Q = 4$, $28 = (7) (4)$
$P = -7$ , $Q = -4$, $28 = (-7) (-4)$
$P = $14, $Q = $2, $28 = (14) (2)$
$P = -14$, $Q = -2$, $28 = (-14) (-2)$
$P = 28$ , $Q = 1$, $28 = (28) (1)$
$P = -28$ , 4Q = -1$, $28 = (-28) (-1)$
Ahora elegiremos los dos factores que, sumados, deben ser iguales a $B = $16. En este caso, estos factores son $P = 14$ y $Q = 2$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$7x^{2} + 14x + 2x + $4
$7x (x + 2) + 2 (x +2)$
$(x+2) ( 7x + 2)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son $(x+2)$ y $( 7x + 2)$.
Ejemplo 2: Si te dan una ecuación cuadrática $2x^{2} – 7x + C$, los valores de los factores $P$ y $Q$ son respectivamente $-4x$ y $-3x$. Debe determinar el valor de “” “” utilizando el método AC.
Solución:
Sabemos que los factores en la ecuación son -4x y -3x, y su producto debe ser igual al producto de AC.
$-4x times -3x = 2x times C$
$12x^{2} = 2x veces C$
$C = dfrac{12x^{2}}{2x} = 6x$
Ejemplo 3: Si te dan una ecuación cuadrática $Ax^{2} – 5x + 2$, los valores de los factores P y Q son $-8x$ y $3x$ respectivamente. Debe determinar el valor de “” “” utilizando el método AC.
Solución:
Sabemos que los factores en la ecuación son $-8x$ y $3x$, y su producto debe ser igual al producto de AC.
$-8x times 3x = A times 2$
$-24x^{2} = 2A$
$A = dfrac{-24x^{2}}{2} = -12x^{2}$
Cuestiones prácticas:
Factoriza la ecuación cuadrática terminal $8x^{2} – 10x – 3$.
Factoriza la ecuación cuadrática terminal $18x^{2} +12x + 2$.
clave de respuesta:
1).
$8x^{2} – 10x – $3
$A = $8 y $C = -$3
$AC = 8 times (-3) = -24$
$B = -$10
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $-24$. Los factores pueden ser:
$P = -6$ , $Q = 4$, $-24 = (-6) (4)$
$P = -8$, $Q = 3$, $-24 = (-8) (3)$
$P = -12$ , $Q = 2$, $-24 = (-12) (2)$
Ahora vamos a elegir los dos factores que sumados deben ser $B = -10$. En este caso, estos factores son $P = -12$ y $Q = 2$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$8x^{2} – 12x + 2x – $3
$4x (2x – 3) + 1 (2x – 3)$
$(2x – 3) (4x+ 1)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son $(2x – 3)$ y $(4x + 1)$.
2).
$18x^{2} + 12x + $2
$A = $18 y $C = $2
CA$ = 18 veces (2) = $36
$B = $12
El siguiente paso es encontrar los dos factores que, cuando se multiplican, dan como resultado $36. Los factores pueden ser:
$P = $6, $Q = $6, $36 = (6) (6)$
$P = -6$ , $Q = -6$, $36 = (-6) (-6)$
$P = $9, $Q = $4, $36 = (9) (4)$
$P = -9$, $Q = -4$, $36 = (-9) (-4)$
$P = 18$ , Q = 2, 36 = (18) (2)
$P = -18$ , $Q = -2$, $36 = (-18) (-2)$
Ahora elegiremos los dos factores que, sumados, deben ser iguales a $B = $12. En este caso, estos factores son $P = 6$ y $Q = 6$. Ahora reescribiremos la ecuación como:
$18x^{2} + 6x + 6x + $2
$3x (6x + 2) + 1 (6x + 2)$
$(6x + 2) (3x+ 1)$.
Por lo tanto, los factores de la ecuación dada son $(6x + 2)$ y $(3x + 1)$.
El “por” en matemáticas significa “para cada” o “para cada uno” y se usa para mostrar una relación entre dos cantidades o elementos.
El término par generalmente se usa cuando se quiere comparar dos cantidades, una en el numerador y la segunda en el denominador. Por ejemplo, cuando hablamos de aceleración, en realidad estamos hablando de velocidad versus tiempo, por lo que estamos monitoreando el cambio de velocidad versus tiempo, y la aceleración se considera un cambio de velocidad versus tiempo.
¿Qué se entiende por Per en matemáticas?
La palabra par en matemáticas significa “para cada uno” o “para cada uno”, y generalmente se usa para comparar una cantidad con otra en forma de proporción. Por lo tanto, la respuesta a las preguntas “¿Qué significa par en matemáticas?” o “¿Qué significa cada uno en matemáticas?” es lo mismo: significa para todos, y se representa como una proporción; por lo tanto, también se considera como una división de dos cantidades.
Estudiemos un ejemplo; si un automóvil se mueve a una velocidad de $100 millas por hora, eso significa que el automóvil recorre una distancia de $100 millas en una hora. Podemos usar esta información para calcular otra información como, por ejemplo, ¿cuál será la distancia total recorrida por el automóvil en $4 horas? Si el automóvil viaja a 100 millas por hora, recorrerá $400 millas en $4 horas.
Como puede ver, el término “por” se usa principalmente para comparar diferentes cantidades en forma de proporción. Si estamos tratando con fracciones racionales, digamos $dfrac{100}{13}$, diríamos que $100 se divide entre $13, o es una razón de $100 a $13, por lo que la división es básicamente una razón, pero puede ser hecho para cualquier número. No decimos $100 por $13, pero tomamos el porcentaje de un número, y ese porcentaje se puede usar para calcular otros datos.
Campos donde se utiliza Per
La palabra par ha sido ampliamente utilizada en el campo de la economía y la contabilidad, especialmente cuando se trata de tasas de interés. Por ejemplo, una empresa cobra $5% de interés por año sobre el préstamo. Esto significa que se le cobrará el 5% del préstamo que haya tomado anualmente.
De manera similar, si la empresa cobra $5% de interés por trimestre, tendrás que pagar intereses cada $3 por mes. Por lo tanto, la palabra per en realidad significa “para cada uno o para todos”. No lo confundas con división simple.
By se usa para comparar cantidades y se representa como una razón. La comparación entre las cantidades se utiliza para conocer la información disponible entre las cantidades, y también es útil para calcular los valores futuros de las cantidades dadas.
Por ejemplos matemáticos
Analicemos ahora los ejemplos matemáticos y las diversas preguntas relacionadas con ellos.
Problema 1: ¿Qué significa multiplicar o dividir en matemáticas?
Solución:
Por está relacionado con la división. La palabra por significa para cada uno o para cada uno, y se representa como una proporción, por lo que es más una división y definitivamente no un proceso de multiplicación.
Por ejemplo, si un estudiante escribe $250 palabras por hora, esto se escribiría como Número de palabras = $dfrac{250}{1 hora}$.
Problema 2: ¿Qué significa sumar o restar en matemáticas?
Solución:
Per no está relacionado con ninguno de ellos.
Problema 3: ¿Qué significa por hora en matemáticas?
Solución:
Por hora significa $dfrac{1}{hora}$, por lo que si corres 2 km en 1 hora, se escribirá como $2 dfrac{KM}{hora}$
Ejemplo 1: Si Allan viaja $10 kilómetros en $1 hora, averigua qué distancia recorre Allan en $2 horas.
Solución:
Sabemos que Allan viaja 10 kilómetros en 1 hora, entonces en 2 horas recorrerá $10 + 10 = $20 kilómetros.
Ejemplo 2: Si 1 unidad de la factura de electricidad es de $1 KW por hora, calcule el consumo unitario total de un hogar para un solo día.
Solución:
Nous savons qu’une unité se compose de 1 $ KW par heure, et nous savons également qu’en une seule journée, il y a 24 $ heures, donc la consommation totale d’énergie en une seule journée est de 24 $ KW par hora. Por lo tanto, el número total de unidades utilizadas en un solo día es de $24.
Ejemplo 3: William obtuvo un préstamo de $100,000 por un período de $3 años de una compañía con una tasa de interés de $10% anual. ¿Cuál será el monto total de interés pagado por William al final del tercer año?
Solución:
Podemos resolver la pregunta usando la fórmula de interés simple I = prt, pero la resolveremos simplemente describiéndola a través del significado de per. William obtuvo un préstamo de $100 000, por lo que el interés anual pagado por William será de $= 100 000 times 0.05 = $5000 dólares.
Queremos saber la cantidad total de interés pagado al final del tercer año.
Interés total $= 3 times 5000 = $15000 dólares.
Entonces puede ver que al comprender la terminología de “por”, también podemos usar los datos proporcionados para calcular valores futuros.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa como un porcentaje?
La palabra por en porcentaje significa la razón de cualquier número a 100. Por ejemplo, el porcentaje de $50 es básicamente la razón de $50 a $100. De manera similar, el porcentaje de 10 significa $dfrac{10}{100}$.
Los porcentajes no tienen dimensión. Al igual que el per porque se usa para comparar dos cantidades, en el caso del porcentaje comparamos un número con respecto a 100, o tomamos la razón de un número con respecto a 100, y es adimensional.
Los decimales también se pueden escribir o representar como porcentajes. Por ejemplo, $0.7 %$ significa $dfrac{0.7}{100}$. Las calificaciones de los estudiantes se expresan como porcentaje la mayor parte del tiempo, y la fórmula para el porcentaje se puede escribir de la siguiente manera:
Porcentaje $= dfrac{valor real}{Valor total} times 100$
Conclusión
Después de estudiar esta guía, ahora sabe exactamente qué significa el término “por” y para qué se utiliza. Ahora tendrá una mejor comprensión de terminologías como $137 KM por hora, $50 KW por hora, etc. Repasemos los puntos principales que discutimos en este artículo.
• La palabra par significa “para cada uno” y se usa para comparar una cantidad con otra.
• La palabra por puede llamarse la relación de dos cantidades, pero en realidad no estamos dividiendo dos cantidades para obtener un número, básicamente estamos comparando las cantidades y podemos usar una relación dada como referencia para cálculos futuros.
• El concepto de per es muy utilizado y no se limita sólo a las matemáticas; también se utiliza en física, química y ciencias aplicadas.
Ahora que ha entendido el significado y el significado de la palabra “por”, ahora puede intentar resolver diferentes problemas numéricos y verbales que involucran la palabra “por” y tener más confianza en sí mismo.
