Grado en álgebra

Significado de álgebra de grado

El álgebra de grado es la potencia más alta de cualquier expresión polinomial cuando se representa en su forma estándar. Un polinomio es el suma Dónde diferencia entre dos o más expresiones algebraicas que tienen diferentes exponentes. Para diferenciar polinomios, usamos álgebra de grado. La potencia más alta de una variable es el grado en cualquier expresión.

Potencias en orden ascendente

Figura 1 – Potencias de variables en orden ascendente

Representación del grado como máxima potencia

Figura 2 – La variable con mayor potencia representa Grado

La importancia del grado de una expresión se puede resumir de la siguiente manera:

  1. Podemos encontrar el homogeneidad de cualquier expresión polinomial encontrando el grado de cada término.
  2. los subtipos de polinomios se definieron según el grado.
  3. El grado de una expresión nos permite saber cuántas soluciones posibles se pueden calcular.
  4. dibujando un cuadro usamos este concepto para obtener resultados precisos.

Cálculo del grado de una expresión

Entendamos mejor este concepto mirando la siguiente expresión:

[ 6x^2 + 2x^3 + 1]

Para encontrar el grado de esta expresión, combinamos todos los términos similares que pueden ser determinados por sus variables. Después de eso, organizaremos todos estos términos en Orden descendiente para nuestra comodidad. Para encontrar el grado, se deben ignorar todos los coeficientes porque son irrelevantes para encontrar el grado de un polinomio.

[ 2x^3 + 6x^2 + 1 ]

Una vez hecho esto, podemos enumerar lo siguiente:

[2x^3 , text{ Value} = 3]

[6x^2, text{ Value} = 2]

[1, text{ Value} = 0]

Ahora la mayor potencia será el grado de esta expresión polinomial que es 3 en este caso

Ahora, para encontrar el grado de esta expresión, sumaremos los exponentes:

3 + 2 + 1 = 6

El grado global de esta expresión es por tanto 6.

Para profundizar en nuestro conocimiento, ahora encontraremos el grado para polinomios multivariantes. Polinomios multivariantes se definen como tales tipos de polinomios donde hay más de una variable en una expresión. En tal caso, sumamos los exponentes donde cada exponente será considerado como un nombre completo.

Considere el siguiente ejemplo:

[ 4x^4y^2 + 7x^3y^2 – 34 ]

En esta expresión, vemos 2 variables, x e y. Entonces encontraremos el grado sumando cada variable en un término para encontrar el grado total. Se puede decir que:

[4x^4y^2 , text{ Value}= 6]

[7x^3y^2, text{ Value} = 5]

[34, text{ Value} = 0]

El grado de esta expresión polinomial es por tanto 6.

Grado de cero y polinomios constantes

Cuando todos los coeficientes de un polinomio son cero, hablamos de polinomio nulo. Si tenemos que abordar un polinomio nulo en una expresión, lo consideramos indefinido o su valor se establece en -1.

Polinomios constantes son los términos de cualquier expresión que no contienen variables con ellos y tienen valores constantes. Como no hay variable, consideramos que su potencia es igual a cero.

[ f(x) = 2 ]

Su forma polinómica será:

[ f(x) = 2x^0 ]

Ilustrar el proceso de búsqueda de títulos

Ahora comprendamos conceptos de álgebra de grado a través de un formato pictórico. Considerando la siguiente expresión:

[ 7x^3 + 4x^2 + 5 ]

En esta expresión, el grado algebraico será el exponente de mayor valor. Para ello seguiremos los mismos pasos que son; ignorando los coeficientes, ordenando todos los términos en orden descendente y encontrando el grado de la expresión.

Grado en una expresión representada por círculos

Figura 3 – Valores exponenciales de una expresión (los círculos grandes representan la mayor potencia)

En esta figura, hemos representado el valor de cada grado por el tamaño de un círculo para una mejor comprensión. Podemos ver que el primer término tiene el grado algebraico y está representado por el círculo más grande con respecto al número 5 que tiene el círculo más pequeño, lo que significa que tiene el valor del exponente más pequeño.

Si profundizamos en las multivariables, también podemos encontrar su grado siguiendo los mismos métodos. Veamos el siguiente ejemplo:

[ a^3b^2 + a^3b^3 + a^2b^2 + a^2b ]

En este ejemplo, sumaremos las potencias de a y b para obtener el valor del exponente completo. El término con mayor valor de exponente será el grado de la expresión.

Grado de polinomios multivariados

Figura 4 – Valores exponenciales de polinomios multivariados (el círculo más grande representa mayor grado)

Esta figura muestra el tamaño de cada término en función del valor de su exponente. El término con el valor más alto es:

[a^3b^3 ]

El grado de esta expresión es por tanto 6.

Ejemplos Resueltos de Álgebra de Grados

Ejemplo 1

El maestro de matemáticas de Josh le dio tareas adicionales para mejorar sus calificaciones. Ayúdalo a encontrar el grado de cada expresión para que pueda tener éxito.

[ 7x^6 + 13x^2 + x^3 + 4x^5 + 1 ]

[ 3x^2 + 3y^3 + 3z^4 + 3x^5 + 3 ]

[ 7x + 13y + 1 ]

La solución

En estas expresiones, el grado se puede encontrar siguiendo los mismos métodos.

  1. El grado de esta ecuación es 6
  2. El grado de esta ecuación es 5
  3. El grado de esta ecuación es 0

Ejemplo 2

Resuelve y explica la siguiente expresión para hallar su grado.

[ 8x^2 + 7x^3 + 2x^2 + 4x^5 + 5x^3 + 3 ]

La solución

Primero ordenaremos los términos de acuerdo a sus valores exponenciales

[ 8x^2 + 2x^2 + 7x^3 + 5x^3 + 4x^5 + 3 ]

Luego agruparemos y resolveremos los términos que tienen los mismos valores exponenciales

[ (8x^2 + 2x^2) + (7x^3 + 5x^3) + 4x^5 + 3 ]

[ 10x^2 + 12x^3 + 4x^5 + 3 ]

Ahora ignoraremos todos sus coeficientes para encontrar el grado

[ x^2 + x^3 +x^5 + 3 ]

De esta expresión, podemos decir que el grado algebraico es 5.

Ejemplo 3

Encuentra el grado de la siguiente expresión y explica tu respuesta.

[ x^2 + 2x^3 +x^6 ]

La solución

El grado de esta expresión es 6. El grado de una expresión debe ser siempre de variable positiva y nunca de variable negativa.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

Incremento – Definición, Ilustraciones y Ejemplos

El término incremento describe la cambios positivos en valores variables. En términos simples, representa la operación aritmética de la suma. Hay un Valor original (el primer sumando) y el valor que aumenta (la segunda adenda). Este último es el incremento, y el resultado final es la suma de los dos.

valor original + incremento = nuevo valor mayor

Considera que tienes dos manzanas. Un incremento de una manzana le daría tres manzanas, como se muestra a continuación:

Cultivar manzanas es como sumarlas

Figura 1 – Incrementando algunas manzanas. ¡Incrementar es simplemente agregar cosas!

Por lo general, verá que se usa para representar pequeños aumentos. Ganar es otro término que significa lo mismo, pero la mayoría de la gente lo usa para mostrar una Una gran cantidad cambiar (como la ganancia de los amplificadores de guitarra).

El símbolo delta “$Delta$” indica un cambio de valor y, por lo tanto, se utiliza para representar incrementos. Por ejemplo, si la variable es Xentonces $boldsymbolDelta$X representa el incremento tal que el resultado es x + $símbolo en negritaDelta$X.

decrementos

decrementos son lo opuesto a los incrementos: muestran pequeños cambios negativos en valores. En otras palabras, un decremento representa el valor sustraído de una cierta cantidad inicial.

valor original – decremento = nuevo valor más pequeño

Considere el mismo ejemplo de manzana que antes:

Decrementar manzanas es como restarlas

Figura 2 – Decrementar es lo opuesto a incrementar – ¡restar cosas!

Así, un cambio en el valor de una variable puede ser un aumento o una disminución. Un decremento está representado por X- $símbolo en negritaDelta$X.

Algunos ejemplos prácticos usando incrementos

Dado que los incrementos son pequeñas adiciones a un valor original, considere conteo único. Cuando contamos 1, 2, 3, simplemente estamos incrementando en 1 para cada entrada posterior. Por lo tanto, si comenzamos en 1 (primera entrada), el siguiente es 1 + 1 = 2 (segunda entrada). El número después de 2 es 2 + 1 = 3 (tercera entrada), y así sucesivamente.

Ahora considere el conjunto de números pares positivos {0, 2, 4, 6, 8, …}. Aquí el número de entrada x$_mathsf{i+1}$ = x$_mathsf{i}$ + $Delta$ x donde $Delta$x = 2. Por lo tanto, tenemos un incremento de 2 para cada entrada subsiguiente en esta secuencia.

Ahora suponga que desea comprar boletos para una feria. los Precio inicial para una sola persona es $15. Sin embargo, hay un oferta familiar para hasta cinco miembrosde modo que por cada miembro adicional solo tendrás que pagar $5. Lo ilustramos a continuación:

Paquete familiar Fair Tickets con costos adicionales

Figura 3 – Oferta familiar de entradas de feria en forma de recargos.

Así, cada miembro adicional de la familia Seguro $10 utilizando el cupón familiar. Si cada persona comprara un boleto por separado, el costo de cinco boletos sería 5 x $15 = $75. Con el oferta familia de cinco miembrostodos disfruten de la feria con solo $35, economía $75 – $35 = $40!

Incrementos en funciones

Considere una línea con pendiente igual a my intersección igual a c. La ecuación de la recta es entonces:

y = mx + c

Si x es la única variable, entonces y es una función de x:

y = f(x)

Suponga que desea dibujar la línea. Para dibujar una línea a mano, solo necesitamos dos puntos en ella. Por ejemplo, podría evaluarlo como x=1 y x=2 (incremento de 1), o x=1 y x=3 (incremento de 2), y obtendría la misma fila.

Matemáticamente, podemos representar esto con incrementos:

y = f(x) $to$ y = f(x + $símbolo en negritaDelta$X)

y = mx + c $to$ y = m(x + $símbolo en negritaDelta$x) + c

Dibujar curvas de función

¿Qué pasaría si quisieras dibujar un camino más complejo? curva? Considera la función f(x) = x$^mathsf{2}$, que representa una curva exponencial.

El plan es evaluar la función para incrementos constantes de x. Esto nos da un montón de puntos en el gráfico; juntarlos nos da una estimación aproximada de la forma de la curva. Matemáticamente, si tuviéramos que trazar la curva con n puntos, entonces:

[ begin{aligned} p_1: {}&f(x) = x^2 \ p_2: {}&f(x + Delta x) = (x + Delta x)^2 \ p_3: {}&f(x + 2Delta x) = (x + 2Delta x)^2 \ &!!!!!!!!!vdots \ p_n:{}&f(x + nDelta x) = (x + nDelta x)^2 end{aligned} ]

Tratemos de trazar la curva f(x) = y = sin(x) usando este enfoque. Considere el intervalo [-90, 90] en grados, e incremente en 15 grados para cada punto de la curva. Entonces, tendremos n = 13 puntos en la curva:

[ begin{aligned} p_1: {}&sin(-90^circ) = -1  \ p_2: {}&sin(-75^circ) = -0.9659 \ p_3: {}&sin(-60^circ) = -0.866 \ &!!!!!!!!!vdots \ p_{11}:{}&,,,,,sin(60^circ) = 0.866 \ p_{12}:{}&,,,,,sin(75^circ) = 0.9659 \ p_{13}:{}&,,,,,sin(90^circ) = 1 end{aligned} ]

Trazándolos, obtenemos el siguiente gráfico:

Trace la curva de sen x usando incrementos

Figura 4 – La curva y = sin(x) evaluándola en incrementos constantes de 15 grados y uniendo todos los resultados con una línea recta.

Este enfoque es una tarea a la mano, pero calculadoras gráficas y otras herramientas son rápidas y nos dan una trama en poco tiempo.

Curva real de sen x trazada por geogebra

Figura 5 – Curva y = sen(x) de Geogebra.

Un ejemplo de variables de funciones incrementales

Considere la función algebraica f(x, y) = x + 2xy + y. Encuentre la expresión si x e y se incrementan en 2.

La solución

Necesitamos encontrar el valor de la función para un incremento de 1 en ambas variables. Entonces, si $Delta$x = $Delta$y = 2, entonces:

f(x, y) $to$ f(x + $Delta$x, y + $Delta$y) = f(x+2, y+2)

Reemplazar x = x + 2 y y = y + 2 en la expresión original:

f(x + 2, y + 2) = (x + 2) + 2(x + 2)(y + 2) + (y + 2)

Expansión el lado correcto :

f(x + 2, y + 2) = x + y + 4 + 2(xy + 2x + 2y + 4)

f(x + 2, y + 2) = x + y + 4 + 2xy + 4x + 4y + 8

f(x + 2, y + 2) = 5x + 5y + 2xy + 12

Este es el resultado deseado.

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Cuadrante (Círculo)

Considere un circulo tener dos rayos r1 y r2 quienes estan en angulos correctos entre sí (90 grados). los conexión de arco los dos rayos será tomado como un cuadrante de un circulo

Representación

aquí está representación del cuarto de círculo, el parte roja constituye el cuadrante que es típicamente un un cuarto de porción de un círculo completo.

Representación del cuadrante del círculo

Figura – Representación de 1 cuadrante de círculo

Si nosotros cortar en dos la circulo dentro cuatro partes iguales, entonces obtenemos los siguientes cuadrantes.

Cuadrante 1

A B C es el primer cuadrante del círculo como se muestra en la siguiente figura.

Primer cuadrante del círculo

Figura – 2 primer cuadrante del círculo

Cuadrante 2

DEA es el segundo cuadrante del círculo como se muestra en la siguiente figura.

Segundo cuadrante del círculo

Figura – 3 segundo cuadrante del círculo

Cuadrante 3

AFG es el tercer cuadrante del círculo como se muestra en la siguiente figura.

Tercer cuadrante del circulo

Figura 4 – Tercer cuadrante del círculo

Cuadrante 4

AKL es el cuarto cuadrante del círculo como se muestra en la siguiente figura.

Cuarto cuadrante del circulo

Figura 5 – Cuarto cuadrante del círculo

Propiedades del cuadrante circular

  1. el cuadrante a tener que ser un sector de 90 grados.
  2. los rayos que forman el cuadrante a tener que derrotar ángulo recto a El uno al otro.
  3. los área de un cuadrante a tener que no se superpongan con uno de otro tres cuadrantes para mantener los 4 cuadrantes iguales (el círculo tiene cuatro cuadrantes).

Pasos para hacer un cuadrante de un círculo

Etapa 1

Desde el centro del círculo. trazar una línea a cualquier momento sobre circulo.

2do paso

Dibujar otro línea debe ser a la una ángulo recto a lo anterior como se dibuja (90 grados).

Paso 3

los unión de arco lo que precede dos lineas incluído la centro y rayos estarán referido gustar un cuadrante del círculo.

Construye un cuadrante de un círculo prácticamente

Etapa 1

Considere debajo del círculo que tiene un centro A. Lo haremos tomar a indicar en un círculo para dejarnos suponer B ahora lo haremos reunirse con los puntos A y B como se muestra. Podemos llamar al segmento de línea AB como radio o rayos 1 del circulo

Construcción de la primera etapa del cuadrante

Figura 6 – Construya el Cuadrante Paso 1

2do paso

Considere otro punto supongamos que C en el círculo pero aquí vamos Aplicar la propiedad del cuadrante, el punto asumido debe ser de tal manera que esté en el ángulo recto al anterior punto A Reunirse con dado punto C con el centro de círculo Aobtenemos un segmento de línea QUE, tomar CA como en segundo rayos del círculo que es el ángulo recto al segmento de línea UNA B.

Construcción de la segunda etapa del cuadrante

Figura 7 – Construcción de la segunda etapa del cuadrante

Paso 3

los unión de arco la rayos AB y QUE seguro con ambos rayos constituyen un cuadrante del circulo como se muestra en la figura.

Construye la tercera etapa del cuadrante.

Figura 8 – Construcción de la tercera etapa del cuadrante

Pasos para crear un círculo a partir de su cuadrante

Etapa 1

bosquejo dos segmentos de linea de igual longitud.

2do paso

Reunirse con ambos arriba lineas juntas de tal manera que están en un ángulo recto entre sí y compartir comoúnico punto común.

Paso 3

Enlazar los dos puntos inusuales del segmento de línea con un arco.

Paso 4

Repetir el paso anterior Tres Después tiempo tenemos ahora cuatro cuadrantes nosotros reunirse con estas cuatro cuadrantes a un único punto común que terminará hacer el circulo

Construye un círculo a partir de su cuadrante prácticamente

Etapa 1

Dibujar dos segmentos de línea ANUNCIO y FE de igual longitud como se muestra en la figura.

Construya un círculo desde el primer paso del cuadrante

Figura 9 – Construcción de un círculo desde el paso del primer cuadrante

2do paso

Unirse a AD y FE juntos de tal manera que encontrar a solo punto A como se muestra en la figura, ahora tenemos segmentos ANUNCIO y EE. UU. y el ángulo entre ellos a los 90 grados

Construya un círculo a partir del paso del segundo cuadrante

Figura 10 – Construcción de un círculo a partir del paso del segundo cuadrante

Paso 3

Enlazar los puntos D y E de segmentos ANUNCIO y EE. UU. con a arco diciendo “VS” como se muestra en la figura.

Construya un círculo a partir del paso del tercer cuadrante

Figura 11 – Construcción de un círculo a partir del paso del tercer cuadrante

Paso 4

Seguro repetir los pasos anteriores Tres Después tiempo nosotros tenemos cuatro cuadrantes AED, HIG, JKL y NMO lo haremos ahora reunirse con estos cuadrantes juntos de tal manera que comparten el mismo punto en común punto A Finalmente, un circulo es construido y cada el cuadrante es un cuarto de porción de todo el circulo.

Construya un círculo a partir del paso del cuarto cuadrante

Figura 12 – Construcción de un círculo a partir del paso del cuarto cuadrante

área del cuadrante

los Región de la cuadrante suele ser igual a una cuarta parte del tiempo la area del circulo. Cálculo del área de un cuadrante necesita conociendo un área del círculo. Podemos calcular el área de un círculo de cuadrante utilizando el formula dada abajo ya que el área de un cuadrante es la cuarta parte de su área total.

area del circulo =$pi r^{2}$

Área del cuadrante del círculo. =$frac{1}{4} times pi r^{2} $

El perímetro del cuadrante

cuadrantes de un circulo tienen a perímetro Esto es una vez en cuatro la circunferencia y Dos veces la Rayo. A ángulo Entre dos puntos en un círculo también se llama circunferencia del cuadrante. El perímetro de un cuadrante de un círculo se puede calcular usando la fórmula dada.

Perímetro =$r(frac{pi}{2} +2)$

Un ejemplo de identificación de cuadrantes de círculos.

Considere la siguiente figura para demostrar quién es el cuadrante de un círculo y quién es noy Explique con las razones.

Identificar cuadrantes de un círculo (ejemplo)

Figura 13 – Ejemplo de un cuadrante de un círculo

La solución

En la figura A, Aquí está anuncio de dos radios y EE. UU.. Podemos ver que son ángulos no rectos el uno al otro en lugar de que sean algo 60 grados el uno al otro por cierto DEA es no un cuarto de porción de todo el círculo por lo que concluiremos que DEA es no a cuadrante del circulo

En la Figura B, Aquí está dos haces AF y AGpodemos visualizar que estos dos rayos somos bisectriz la circulo dentro dos partes cuanto más son 180 grados entonces AFG es no a cuadrante del circulo

En la figura C, hay CA de dos radios y Vaya. Los dos rayos son rángulo recto o 90 grados de separación cuanto más componente exactamente un cuarto de la todo el circulo entonces CCA es referido gustar el cuadrante del circulo. En general, la figura representa la primer cuadrante de un circulo

En la figura D, hay dos radios AK y UNA J los dos somos perpendicular entre sí, es decir, 90 grados más son hacer un cuarto de porción del círculo dado también suele ser el tercer cuadrante de un circulo asi AKJ es el cuadrante.

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Imagen especular – Definición, ilustraciones y ejemplos

Introducción a la imagen especular

Una imagen especular es un reflejo inverso de cualquier objeto y es perpendicular a la superficie del espejo de tal manera que el reflejo parece casi idéntico. Podemos entender este concepto con el ejemplo más simple; Cuando te miras en el espejo, tu mano derecha parece ser tu mano izquierda y viceversa.

Definición básica de imagen especular

Figura 1 – Imagen especular de un triángulo

Explicación detallada

Cuando un rayo de luz cae sobre la superficie del espejo, las partículas de plata en el espejo se excitan debido a la fotones que están presentes y aquellos a quienes absorben. Estas partículas se vuelven inestables, por lo que para recuperar la estabilidad, la superficie emite parte de sus fotones lo que resulta en el reflejo de cualquier objeto visible a simple vista.

Cuando un rayo de luz de cierta fuente cae sobre la superficie de un espejo, crea una imagen virtual en la superficie reflectante. Esta imagen será la imagen especular que será perpendicular a la superficie. Tenga en cuenta que el reflejo de una imagen siempre dependerá del tipo de espejo utilizado.

Entendamos este concepto; un hombre se para frente a un espejo, con la mano derecha extendida; el reflejo que ve en el espejo es de sí mismo, pero en el reflejo su mano izquierda está extendida en lugar de su mano derecha.

Por absurdo que le parezca a este hombre, el reflejo que ve se ha invertido a lo largo del eje x. Este tipo de inversión nos da una imagen de espejo 3D. El plano en el que se refleja esta imagen es planos x, y y z. La inversión nos da como resultado -x, y y z, que son los puntos de coordenadas del objeto.

De manera similar, si colocamos una hoja de papel frente al espejo con un texto escrito, no podremos leer el texto del reflejo porque la imagen se volteará horizontalmente, por lo que el texto también se volteará. Esto demuestra que la imagen que ves en los espejos es idéntico pero opuesto. Podemos usar este concepto tanto 2D y 3D.

Diferencia entre la imagen del espejo y la imagen del agua

Como se discutió anteriormente, una imagen de espejo es el reflejo invertido de un objeto cuando es perpendicular a la superficie del espejo.

A imagen de agua es el reflejo de cualquier objeto en el agua se llama imagen de agua. Tomemos el ejemplo de una niña que mira su reflejo en el estanque. Se da cuenta de un reflejo de sí misma en el agua en un ángulo tal que parece que su reflejo está de pie sobre el agua.

La diferencia significativa entre una imagen de espejo y una imagen de agua es su orden simétrico. Para identificar si un reflejo es una imagen de espejo o una imagen de agua, tenga en cuenta el siguiente concepto. Cuando un reflejo se voltea horizontalmente o a lo largo del eje x, será un imagen de espejo. Mientras que, si la reflexión se invierte verticalmente o con respecto al eje y, entonces se considerará como un imagen de agua.

Usos de la imagen especular

Las imágenes especulares cumplen una función esencial cuando se trata de ejemplos reales. Algunos de sus usos son:

  1. Utilizamos Escritura en espejo, que es la versión inversa de un texto, sobre ambulancias. El objetivo es permitir que los conductores lean la etiqueta a través de sus espejos retrovisores y delanteros para que puedan ceder el paso a la ambulancia sin distraerse. Este método se utiliza para reducir el riesgo de tráfico.
  2. Las salas de cine utilizan un Sistema de subtítulos en la luneta trasera para personas con problemas de audición o para sordos. Este texto les ayuda a leer los subtítulos de la pantalla mientras disfrutan de la película.

Ilustrar el concepto de imágenes especulares.

La imagen especular es un concepto muy interesante en geometría, y también se ha abierto camino en la química y la física. Pongamos un ejemplo para entender estos conceptos.

Un número matemático

Figura 2 – Imagen de un número

Esta es la imagen original, y cuando coloquemos este texto frente a un espejo, el reflejo se inventará horizontalmente.

Imagen especular de un número

Figura 3 – Imagen especular del número

Esto muestra cómo la imagen no se ha movido de su ubicación original, sino que solo se ha invertido. Cuando esta imagen se coloca en el espejo, recuperamos nuestra imagen original en consecuencia.

Para entender completamente los conceptos, echemos un vistazo a la siguiente imagen:

Un objeto irregular

Figura 4 – Imagen de un objeto

Esta imagen muestra un bloque que se coloca de tal manera que mira hacia la derecha, y cuando convertimos esta imagen a su imagen especular (en relación con el eje horizontal), la imagen resultante se verá así:

Imagen especular de un objeto irregular

Figura 5 – Imagen especular del objeto

Esta imagen muestra la reversión que ha tenido lugar.

Algunos ejemplos de imágenes de espejo y agua

Ejemplo 1

Eliza tiene las coordenadas de un objeto del que quiere una imagen especular. Ayúdala a encontrar las coordenadas de la imagen del espejo.

[ (2, 3, 5) ]

La solución

Cuando convertimos un objeto a su imagen especular, cambiamos su eje x cuando la inversión se realiza horizontalmente. Entonces, para un objeto que está en los planos x, y y z, cambiaremos el signo del punto de coordenadas que representa x. Así, las coordenadas finales del objeto invertido serán;

[ (-2, 3, 5) ]

Ejemplo 2

Octavia está confundida acerca de la diferencia entre una imagen de espejo y una imagen de agua. Explique la diferencia usando la siguiente imagen:

una cara sonriente

Figura 6: una cara sonriente con una gorra inclinada

La solución

Cuando una imagen se voltea horizontalmente, se llama imagen especular. En tal caso, estamos tratando con el eje x y se realizan todo tipo de cambios en los puntos de coordenadas de x. La imagen especular será por tanto:

Imagen especular de un emoticón

Figura 7 – Imagen especular del Ejemplo 2

Cuando una imagen se voltea verticalmente, se llama imagen de agua. En tal caso, procesamos el eje y y hacemos cambios en los puntos de coordenadas y. La imagen del agua es:

Imagen de agua de una cara sonriente

Figura 8 – Ejemplo 2 imagen de agua

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Brújula (Dibujo)

diseño de brújula

Las brújulas generalmente tienen dos patas que se conectan en una articulación y están construidas de metal. El tamaño del círculo o arco se puede ajustar separando las patas según las medidas. Los extremos de un componente son puntas afiladas y el otro es un lápiz. El diseño de una brújula se muestra en la Figura 1

Brújula

Figura 1- Brújula

Las brújulas vienen en dos variedades que son mecánico y convencional. Una brújula mecánica tiene un lápiz mecánico y una brújula convencional o normal tiene un lápiz normal. Localizar la brújula más adecuada para el círculo que quieres crear es sencillo ya que hay muchas diferentes brújulasgrandes y pequeños, accesibles para la selección.

Al dibujar una línea, alinee las piernas perpendicular al papel si uno o ambos tienen juntas. Realice una brazada completa con el compás en un solo movimiento sin pausas ni retrocesos para optimizar la calidad de la brazada. La brújula se puede utilizar con una barra de extensión para dibujar círculos de hasta 25 cm de diámetro.

Al usar la aguja de la brújula para dibujar varios círculos con el mismo centro, es posible hacer un agujero significativo en el papel. Un disco central puede ser muy útil en estos términos. Un disco central mantiene los centros de tus círculos alineados y evita que el papel se rompa. Una plantilla circular es una herramienta adicional para dibujar círculos.

El usuario gira la brújula para crear círculos y arcos utilizando la pata con la aguja como eje. Los instrumentos de escritura con brújula incluyen portaminas, mina de lápiz y bolígrafos de dibujo. Algunas brújulas están diseñadas para permitir al usuario cambiar entre herramientas de escritura.

Usos de la brújula

Se usa un compás para dibujar círculos, arcos y medir distancias en los mapas Puede dibujar círculos colocando el lápiz sobre el papel, empujando la punta del lápiz en el papel y luego trazando un círculo con el lápiz. Para lograrlo, debe evitar mover las piernas en dirección mientras dibuja el círculo.

Al ajustar la distancia entre las piernas, un círculo se puede ampliar o reducir. La distancia entre las piernas depende de la radio de un circulo.

Divisores y compases con dos puntas se puede utilizar para medir distancias en un mapa. La distancia entre los picos en el mapa representa una distancia real. La distancia entre dos puntos en un mapa se puede determinar contando cuántas veces caben las brújulas entre ellos.

Los dibujos con compás y regla se utilizan para ilustrar conceptos de geometría plana. Sobre el papel, se utilizan brújulas reales, pero la brújula ideal utilizada en las demostraciones es un dispositivo ideal ficticio que crea círculos ideales.

los “brújula colapsada” es la caracterización más exacta de este instrumento de perfecta explicación. Solo se puede usar una vez y crea un círculo con el proporcionado radio desde la ubicación proporcionada. Es decir, no puede simplemente transferirse a otra ubicación y usarse para crear otro círculo idéntico como una brújula real.

Anglos también se puede construir usando compases y reglas. Después de dibujar un segmento de línea AB, tome O como el punto central para dibujar y un arco, luego, usando el extremo del arco como el punto central, hacemos el primer corte en el arco que representa el 60 grados ángulo.

Luego usando ángulo de 60 grados como el centro hacer otro corte en el arco que muestra el ángulo de 45 grados el uso tanto del corte de 60 y 45 hacemos dos cortes que muestran el ángulo de 90 grados. También podemos dibujar el ángulo de 135 tomando 45 grados y el otro extremo del arco como el centro, como se muestra en la Figura 1.

Ángulo usando la brújula

Figura 2 – Ángulo usando la brújula

Diferentes variantes de brújulas.

Una brújula de haz es una herramienta utilizada para dibujar y dividir círculos más grandes que los producidos por una brújula típica. Brújula para trazar son la forma más simple de la brújula. Las ramas metálicas de ambos están rizadas. Mientras que una rama tiene un portalápices, la otra está engarzada y tiene una punta que sobresale al final..

Divisores de guardabarros de pierna libre se utilizan para detener mediciones repetidas y dibujar círculos con cierta precisión. La pieza giratoria de latón, los tornillos de mano, el portalápices y las patillas están bien construidos.

Una brújula proporcionada también llamada brújula o sector militar – era una herramienta utilizada para el cálculo. Se compone de dos reglas de igual longitud conectadas por una bisagra. En las reglas hay muchas escalas que se pueden usar para cálculos matemáticos. Para disminuir o aumentar los patrones manteniendo los ángulos, un compás de reducción es utilizado.

Dibujar diferentes geometrías con un compás

Ejemplo 1

Dibuja un círculo con un radio de 2 cm con un compás.

La solución

Abra las patas de la brújula 2 cm y coloque la punta en un punto, es decir, A, luego dibuje el círculo como se muestra en la figura 2.

círculo de la brújula

Figura 3 – Círculo de la brújula

Ejemplo 2

Dibuja un arco de 2 cm de radio con un compás.

La solución

Abra las patas de la brújula 2 cm y coloque la punta en un punto, es decir, A, luego dibuje un arco entre B y C como se muestra en la figura 3.

arco de la brújula

Figura 4 – Arco de la brújula

Ejemplo 3

Dibuja un ángulo de 90 grados con un compás.

La solución

Dibuja un segmento de línea OA. Dibuje un segmento de línea de intersección de arco OA en el punto B con un radio pequeño. Usando el mismo radio, conecte el compás en B y el arco que interseca el primer arco en C. Nuevamente, manteniendo el mismo radio, conecte el compás en C y dibuje otro arco que intersecte el primer arco en D. Dibuja dos arcos usando C y D para unirse en E. Luego pase un segmento de línea a través de O y el punto E como se muestra en la Figura 4.

Ángulo de noventa grados usando una brújula

Figura 5: ángulo de 90 grados usando una brújula

Todas las imágenes/dibujos matemáticos fueron creados con GeoGebra.