Dentro común uso, la abscisa apunta a (x) coordenada. para designar el (y) coordenada el término ordenado se utiliza en planos bidimensionales estándar. Los términos Abscisa Y ordenado ayudar a explicar las dos dimensiones gráficos.
Figura 1 – Ejemplo de abscisa y ordenada.
Abscisa y ordenada
La principal diferencia entre el abscisa Y ordenado es que la abscisa se refiere a la eje y y el ordenado se refiere a eje y. Los detalles de sus diferencias se explica a continuación párrafo. EL abscisa también se llama el eje de abscisas del punto y es el distancia un punto del eje de ordenadas, ascendente con el eje de abscisas. Por otro lado, el ordenado que también se llama el eje y es la longitud de un punto desde el eje x creciente con el eje y.
Por ejemplo, supongamos que (x, y) se da como orden par. Y es aquí la ordenada, el eje y o el eje vertical y, del mismo modo, x es la abscisa, el eje x o horizontal eje aquí. Un par ordenado se explota para indicar un punto en el plano cartesiano y la primera coordenada (x) en el plano se llama abscisa, y la segunda coordenada (y) en el plano es la ordenado.
EL longitud de un punto del eje y creciente con el eje x se nombra abscisa. En matemáticas, la abscisa y la ordenada se refieren a la primera y segunda coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas. Los dos Abscisa Y Ordenado definir las ubicaciones de los puntos en el cartesiano plano bidimensional. Al usar la abscisa y la ordenada, también se puede determinar un patrón o tendencia de los datos. extracto mirando los puntos.
Comprender la abscisa usando números
Ilustraremos el Abscisa Y Ordenado utilizando diferentes gráficos.
Figura 2 – El punto (5, 2) en el plano cartesiano
La Figura 2 muestra el bidimensional gráfico, el horizontal el eje este de la playa 0 a +6 y considerando que la vertical el eje tiene un rango de 0 a +2hay un punto Localizado al lugar (5, 2)la notación (5, 2) significa que el indicar A abscisa de 5 y el ordenado 2 puntos (5, 2) a una distancia de 5 desde el origen en el eje x y a una distancia de 2 de origen en el eje y.
Figura 3 – El punto (-3, 3) en el plano cartesiano
Cifra3 muestra las dos dimensiones cartesiano avión, el horizontal el eje está dentro del rango -4 a +3 y considerando que la vertical el eje tiene un rango de 0 a +3Hay un indicar en el lugar (-3, 3)registro (-3, 3) significa que el indicar tiene por abscisa -3 y el orden de 3. El punto (-3, 3) a una distancia de -3 de origen sobre el eje de abscisas y una distancia de 3 desde el origen en el eje y.
Explicaciones adicionales: Abscisa y representación de datos
La abscisa es un término relacionado con una bidimensional gráfico y el propósito de un gráfico es mostrar visualmente representar un conjunto de datos para que todos los datos se puedan ver simultáneamente procesado por el intérprete. Normalmente, un gráfico se muestra en una bidimensional promedio y, por lo tanto, los gráficos más simples de interpretar que requieren la menor tecnicidad entrenamiento tanto para el presentador como para el observador también se forman en dos dimensiones.
Algunos gráficos pueden ser tridimensional, pero debido a la sofisticación de entregar un sistema de gráficos tridimensionales en un soporte bidimensional portátil, en particular entrenamiento es necesario crear e interpretar dicha tabla para que estos comunicación generalmente no son tan frecuentes como los más universalmente implicados bidimensional gráficos.
Un gráfico bidimensional generalmente se construye sobre un par de perpendicular ejes, uno dirigido en la dirección vertical que es la ordenada, el otro está orientado en la dirección horizontal que es abscisa, que se parece al cartesiano coordinar acercarse como ‘abscisa’ y el ‘ordenado’, respectivamente. El lugar donde se encuentran los dos ejes se dirige hacia el origen de un cartesiano avión.
Origen(0, 0)
EL cartesiano El ritual permite dejar números negativos y el bajado lado del origen a lo largo de estos dos ejes y entero o positivo valores a la derecha y verticalmente hacia arriba desde el origen. Por lo tanto, los datos de un recopilación de datos en una tabla, o los pesos funcionales de fórmulas matemáticas dan buenos resultados en un cartesiano metodología.
Un resumen ilustrado de todos datos diseñado simultáneamente en un cartesiano El plan permite al espectador detectar tendencias, patrones, anomalías y diversos datos y funciones elementos en esta producción que sería menos reconocible si introducido en forma de lista o tabla. Es por esta razón que gráficos son un medio famoso para representando datos brutos acumulados en las mesas.
A indicar es una conexión primaria representada en un cuadro. cada punto es representado por un par de dígitos que contiene dos coordenadas A coordinar es uno de un montón de números usado para especificar la ubicación de un indicar en un gráfico. cada punto es determinado por una x y una ay coordinar Es abscisa Y ordenado respectivamente.
Un ejemplo de encontrar el este de un gráfico
Identificar el número de puntos en el debajo gráfico y definir aún más el abscisa Y ordenado puntos.
Figura 4 – Línea en el plano cartesiano
Solución
Dentro figura 3, hay dos puntos. Uno es A, teniendo Detalles de contacto(2, 2), y el segundo es B que tiene el coordenadas (5, 4). Indicar un(2, 2) A abscisa de 2 y ordenado de 2 así, mientras que el punto b(5, 4) tiene abscisas 5 y ordenado 4.
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Definición de cero < Index du glossaire > Definición de precisión
Un grado cuadrado, es decir, deg$^2$, es una unidad de medida de ángulo sólido que no pertenece al SI. Los grados cuadrados se usan para cuantificar los componentes de una esfera de la misma manera que los grados se usan para cuantificar los componentes de un círculo. En esta guía completa, aprenderá sobre grados, grados cuadrados y círculos, así como esferas.
¿Qué es un grado cuadrado?
Un grado cuadrado, escrito como deg$^2$, es una unidad de medida de ángulo sólido que no pertenece al SI. Otros símbolos incluyen $(°)^2$ y sq. grado Los grados cuadrados se usan para medir los componentes de una esfera de la misma manera que los grados se usan para medir los componentes de un círculo.
Así como un grado es igual a $dfrac{pi}{180}$ radianes, un grado cuadrado es igual a $left(dfrac{pi}{180}right)^2$ estereorradianes o sr, o aproximadamente $1/3283=3,046times 10^{-4}$ sr. Toda la esfera tiene un ángulo sólido de $4pi$ sr, o alrededor de $41253$ deg$^2$.
Grado
Un grado, también conocido como grado de arco, grado de arco o grado de arco, generalmente se representa con el símbolo $°$, que es una medida de un ángulo plano en el que la rotación completa es de $360$ grados.
No es una unidad SI ya que la unidad SI de medida angular se considera el radián, aunque aparece como una unidad reconocida en el folleto SI. Dado que una rotación completa equivale a dos radianes, un grado equivale a $dfrac{pi}{180}$ radianes.
Ejemplo
Vista desde la superficie de la Tierra, la luna llena solo abarca alrededor de 0,2 grados$^2$ del cielo. El Sol tiene aproximadamente medio grado de diámetro (similar a la luna llena) y solo cubre $0.2$ deg$^2$ cuando se ve desde la Tierra.
Radián
El radián, representado por el símbolo rad, es la unidad de ángulo del Sistema Internacional de Unidades (SI) y la unidad estándar de medida angular utilizada en muchas disciplinas matemáticas. Anteriormente, la unidad era una unidad suplementaria SI. El SI define el radián como una unidad adimensional de $1$ rad $= 1$. Como resultado, su símbolo se omite con frecuencia, especialmente en la escritura matemática.
Un radián se describe como el ángulo formado por el centro de un círculo que corta un arco de longitud equivalente al radio del círculo. En un sentido amplio, la magnitud de un ángulo subtendido en radianes es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo.
estereorradián
En el Sistema Internacional de Unidades, el símbolo estereorradián sr (radian cuadrado) es la unidad de ángulo sólido. Se utiliza en geometría tridimensional y es similar al radián, que se utiliza para cuantificar ángulos planos. Un ángulo sólido en estereorradianes proyectado sobre una esfera proporciona el área de la superficie, mientras que un ángulo en radianes proyectado sobre un círculo proporciona la longitud de la circunferencia de un círculo.
Similar al radián, el estereorradián es una unidad adimensional definida como el cociente del área subtendida y el cuadrado de su distancia al centro.
El numerador y el denominador de esta relación incluyen la longitud de la dimensión al cuadrado. Además, es importante diferenciar entre cantidades adimensionales de diferentes tipos, por lo que se usa el símbolo sr para representar un ángulo sólido.
ángulo plano
Dos líneas rectas que se cortan en un punto describen un ángulo plano. El ángulo plano es la distancia entre estas líneas en el plano caracterizado por ellas. También se expresa en grados o radianes con $2pi$ radianes en un círculo o $360$ grados en un círculo.
Como preparación para la identificación de un ángulo sólido, se señala que el ángulo plano también podría expresarse en términos de la proyección radial de un segmento de línea en un plano sobre un punto.
ángulo sólido
El ángulo sólido extiende la idea de un ángulo plano a la superficie de una esfera. Un ángulo con un valor equivalente al área de una esfera ocupada por un área dividida por el cuadrado del radio de esa esfera. Estos ángulos se miden en estereorradianes.
Un ángulo tridimensional está formado por la intersección de tres o incluso más planos en un punto. El estereorradián se usa para medir la magnitud de tales ángulos donde el estereorradián es una cantidad adimensional.
La esquina de una parte, como el vértice de un cono, forma un ángulo sólido. Puede suponer un número infinito de planos que establecen la superficie redonda lisa del cono, todos con el punto común de intersección, es decir, el vértice.
En fotometría, los ángulos sólidos se utilizan con frecuencia. Todas las secciones estándar de un cono en el vértice tienen ángulos sólidos iguales, y debido a que sus atracciones sobre una partícula en el vértice son proporcionales a sus distancias desde el vértice, son numéricamente iguales entre sí y al ángulo sólido del cono. .
¿Qué es un círculo?
Un círculo es cierto tipo de elipse cuya excentricidad es $0$ y que tiene dos focos coincidentes. Un círculo también se llama el lugar geométrico de los puntos dibujados equidistantes del centro.
El radio de un círculo se conoce como la distancia entre su centro y su línea exterior. El diámetro de un círculo se llama la línea que lo divide en dos partes iguales y es el doble del radio.
Un círculo es una figura bidimensional básica que se mide por su radio. El círculo simplemente divide el plano en dos secciones, es decir, el exterior y el interior. Es comparable a un segmento de línea. Supongamos que el segmento de línea es curvo hasta que sus extremos se encuentran. Organizar el bucle para que sea perfectamente circular.
Dado que el círculo es una forma 2D con un área y un perímetro, el perímetro del círculo, también llamado circunferencia, es la distancia alrededor del círculo. En un plano bidimensional, el área de un círculo es la región limitada por él.
Un círculo es una de las formas más básicas introducidas temprano en la educación. Esto se debe a que los círculos son fáciles de identificar y no son tan complejos como otras formas.
¿Qué es una esfera?
Una esfera es un objeto tridimensional circular. La esfera se divide en tres ejes, que son el eje $x-$, el eje $y-$ y el eje $z-$. Esta es la principal distinción entre un círculo y una esfera. Una esfera, a diferencia de otras formas 3D como pirámides o cubos, no tiene vértices ni bordes.
Los puntos en la superficie de la esfera son equidistantes del centro. Por tanto, la distancia entre el centro de la esfera y la superficie es la misma en todos los puntos. Su radio es la longitud de esta distancia.
Los ejemplos de esferas incluyen un globo terráqueo, una pelota de fútbol, los planetas, etc. El área de una esfera entera es el área total rodeada por el área de una esfera tridimensional. Se sabe que la fórmula para el área es $4pi r^2$ unidades cuadradas.
Conclusión
Esta guía ha explicado en detalle los conceptos de grados, grados cuadrados, círculos y esferas, por lo que para comprender mejor el estudio, resumamos los conceptos presentados:
Un grado cuadrado denotado por deg$^2$ es una unidad de medida de ángulo sólido que no pertenece al SI.
Un grado es una medida de un ángulo plano en el que una rotación completa equivale a 360 grados.
Los grados cuadrados se utilizan para medir los componentes de una esfera.
Los ángulos sólidos se miden en estereorradianes.
Un grado cuadrado es igual a $left(dfrac{pi}{180}right)^2$ estereorradianes (sr).
Un grado cuadrado es una unidad de medida ajena al SI que se usa para medir partes de una esfera y es igual a $left(dfrac{pi}{180}right)^2$ estereorradianes (sr). Al igual que los radianes se pueden convertir a grados y viceversa, los estereorradianes se pueden convertir a grados cuadrados y viceversa.
Muchos problemas de matemáticas y física usan grados y grados cuadrados, entonces, ¿por qué no probar algunos problemas difíciles y convertirse en un experto en la conversión de grados cuadrados a estereorradián y viceversa?
La derivada de $sec^{2}x$ es equivalente al producto de $2$, $sec^{2}x$ y $tanx, es decir, (2. sec^{2}x. tanx) $.
La derivada de esta función trigonométrica se puede determinar por varios métodos, pero generalmente se calcula usando la regla de la cadena, la regla del cociente y la regla del producto de diferenciación.
En esta guía completa, explicaremos cómo diferenciar el cuadrado secante con algunos ejemplos numéricos.
¿Cuál es la derivada de Sec^2x?
La derivada de $sec^2x$ es igual a $2.sec^{2}(x).tan(x)$, y matemáticamente se escribe $dfrac{d}{dx} sec^2x = 2. sec ^ {2}x.tanx$. La derivación de una función da la pendiente de la función de la curva de la función. La gráfica de la derivada de $sec^{2}x$ se muestra a continuación.
Para calcular la derivada de $sec^{2}x$, es fundamental que conozcas todos los conceptos básicos y todas las reglas relacionadas con la diferenciación, y que puedas estudiarlas o revisarlas en un sentido amplio. Ahora veamos diferentes métodos que se pueden usar para calcular la derivada de $sec^{2}x$.
Diferentes métodos para calcular la derivada de Sec^{2}x
Existen algunos métodos que se pueden usar para determinar la derivada de $sec^{2}x$, y algunos de ellos se enumeran a continuación.
Derivado de Sec Square x por el método del primer principio
Derivado de Sec Square x por fórmula derivada
Derivado de Sec Square x usando la regla de la cadena
Derivado de Sec Square x usando la regla del producto
Derivada de Sec Square x usando la regla del cociente
Derivada de la secante cuadrada x usando el método del primer principio
La derivada de la secante cuadrada x se puede calcular según el primer principio o por el método ab-initio. La derivada de $sec^2x$ por el método del primer principio es el método que se enseña temprano al introducir derivadas de funciones trigonométricas, y utiliza el concepto de límite y continuidad. Este método es como el método básico o el primer método, que se enseña a derivar las derivadas de cualquier función.
Este método es complejo porque requiere el uso de diferentes reglas de límites y fórmulas trigonométricas.
Sea $y = seg^{2}x$
$y + delta y = seg^{2}(x + delta x)$
$delta y = segundo^{2}(x + delta x) – y$
$delta y = segundo^{2}(x + delta x) – segundo^{2}x$
$delta y = [dfrac {(sec(x+ delta x) + sec x)}{cos (x+ delta x). cos x}] porque x – [cos x cos delta x – sinx sindelta x)]ps
Dividiendo los dos lados ” $delta x$” y estableciendo el límite cuando $delta x$ tiende a cero.
$lim_{delta x to 0 } dfrac{delta y }{delta x} = lim_{delta x to 0} [dfrac {(sec(x+ delta x) + sec x)}{cos (x+ delta x). cos x}] porque x [ dfrac{1 – cos delta x} {delta x} + sinx dfrac {sindelta x}{delta x} ]ps
Sabemos que $lim_{delta x to 0 } dfrac{1 – cos delta x} {delta x} = 0$, $lim_{delta x to 0 } dfrac{sin delta x} { delta x} = $1
Y que $lim_{delta x to 0 } dfrac{delta y }{delta x} = dfrac{dy}{dx}$
$dfrac{dy}{dx} = lim_{delta x to 0} [dfrac {(sec(x+ delta x) + sec x)}{cos (x+ delta x). cos x}] + senx sendelta x ]$
$dfrac{dy}{dx} = [dfrac {(sec x + sec x)}{cos x. cos x}] $6
$dfrac{dy}{dx} = [dfrac {(2sec x )}{cos^{2} x}] $6
$dfrac{dy}{dx} = [dfrac {(2sec x )}{cos x}] dfrac{senx}{cos x}$
$dfrac{dy}{dx} = [ (2sec x) (sec x)] bronceado x$
$dfrac{dy}{dx} = 2.seg^{2}x.tanx$
Derivada de la secante cuadrada x usando la fórmula de la derivada
La derivada del cuadrado secante se puede calcular fácilmente usando la fórmula de la derivada. La fórmula general derivada para cualquier expresión exponencial se puede dar como
$dfrac{d}{dx} x^{n} = norte . x^{n-1}. dfrac{d}{dx}x = nx^{n-1}$
Para la expresión cuadrado secante x, el valor de n será 2. Por lo tanto, si usas esta fórmula en el cuadrado secante x:
Este método es simple y fácil, pero la gente a menudo se confunde con la fórmula general porque la mayoría de las veces la fórmula para la expresión exponencial se da como $dfrac{d}{dx} x^{n} = not . x^{n-1}$. La última parte está excluida porque la derivada de “$x$” es 1. Esperamos que después de leer esta sección sepas exactamente cómo calcular la secante cuadrada x usando la fórmula de la derivada.
Derivada de la secante cuadrada x usando la regla de la cadena
La derivada de la secante cuadrada x se puede calcular usando la regla de la cadena de diferenciación. La regla de diferenciación en cadena se usa cuando estamos tratando o resolviendo funciones compuestas.
Una función compuesta es una función en la que una función se puede representar en términos de la otra función. Por ejemplo, si tenemos dos funciones f(x) y h(x), entonces una función compuesta se escribirá como (foh)(x) = f (h(x)). Escribimos la función “f” en términos de la función “h”, y si tomamos la derivada de esta función, entonces será representada por $(foh)'(x) = f’ (h(x)). h'(x)$.
La función trigonométrica $sec^{2}x$ es una función compuesta porque es la composición de dos funciones a) $f(x) = x^{2}$ b) $h(x) = sec(x) $ . Como función compuesta, se escribirá como $(foh) (x) = sec^{2}x$. Si aplicamos la regla de la cadena:
Sabemos que la derivada de sec(x) es $sec(x).tan(x)$.
$(foh)’ (x) = 2. seg (x) . sec(x).tan(x)$
$(foh)’ (x) = 2.seg^{2} (x) . bronceado (x)$
Derivada de la secante cuadrada x usando la regla del producto
La derivada de la secante cuadrada x se puede calcular usando la regla del producto. La regla del producto es uno de los métodos más comunes para resolver diferentes ecuaciones algebraicas y trigonométricas. Si escribimos $sec^{2}x$ como el producto $sec(x) times sec(x)$, entonces podemos resolverlo usando la regla del producto.
De acuerdo con la regla del producto, si dos funciones f(x) y h(x) se multiplican juntas g(x) = f(x). h(x) y queremos tomar la derivada de su producto, entonces podemos escribir la fórmula como $g'(x) = f(x)’h(x) + f(x) h'(x)$ .
Así, hemos probado que la derivada de $sec^{2}x$ es igual a $2. segundo^{2}(x). tan(x)$.
Derivada de la secante cuadrada x usando la regla del cociente
La derivada del cuadrado secante x también se puede calcular usando la regla de derivación del cociente. Se considera que es el más complejo de todos los métodos que hemos discutido hasta ahora, pero debe conocer cada uno de ellos porque este método puede ayudarlo a resolver otras preguntas complejas.
De acuerdo con la regla del cociente, si tenemos dos funciones f(x) y h(x) como la razón $dfrac{f(x)}{h(x)}$ entonces la derivada de tal función está dada por $g'(x) = (dfrac{f}{h})’ = dfrac{f’h – f h’}{h^{2}}$.
Para resolver el cuadrado secante x usando la regla del cociente, necesitaremos tomar el inverso de la función trigonométrica. Sabemos que el inverso de sec(x) es $dfrac{1}{cos(x)}$, entonces el inverso de $sec^{2}x$ será $dfrac{1}{cos^{ 2 }x}$. Ahora apliquemos la regla del cociente y veamos si obtenemos la respuesta correcta o no.
Por lo tanto, hemos probado que la derivada de $sec^{2}x$ es $2. s^{2}x. tan(x)$ usando la regla del cociente.
Ejemplo 1: ¿La derivada del cuadrado hiperbólico secante x es la misma que la del cuadrado trigonométrico secante x?
Solución:
No, la derivada de $sech^{2}x$ es ligeramente diferente de la de $sec^{2}x$. De hecho, la única diferencia entre estas dos funciones derivadas es la de un signo negativo. La derivada de $sech^{2}x = -2.sech(x).tan(x)$.
Resolvamos la derivada de $sech^{2}x$
Sabemos que la derivada de $sech(x) = -sech(x) .tanh(x)$
Apliquemos la regla de diferenciación en cadena en $sech^{2}x$
Podemos determinar la derivada de $sec^{2}x^{2}$ combinando la regla de la cadena y el método de sustitución. El método de cadena se usará para determinar la derivada, mientras que el método de sustitución nos ayudará a calcular la derivada con respecto a la variable $x^{2}$.
Supongamos que $a = seg^{2}x^{2}$ mientras que $b = x^{2}$.
$dfrac{da}{dx} = dfrac{d}{dx} seg^{2}x^{2}$
$dfrac{da}{dx} = 2sx^{2}. segundo x^{2}. bronceado x^{2}.2x$
Por lo tanto, la derivada de $sec^{2}x^{2}$ con respecto a $x^{2}$ es $2. seg^{2}x^{2}.tan x^{2}$. La gráfica de la derivada de $sec^{2}x^{2}$ se muestra a continuación.
La integral de $x^{1}.x^{2}$ es esencialmente la integración de $x^{3}$ y la integral de $x^{3}$ es $dfrac{x^{ 4}} {4} + c$, donde “c” es una constante. La integral de $x^{3}$ se escribe matemáticamente en la forma $int x^{3}$. Integrar es básicamente tomar la antiderivada de una función, así que en este caso estamos tomando la antiderivada de $x^{3}$.
En este tema, veremos cómo calcular la integral de $x^{1}.x^{2}$ usando varios métodos diferentes de integración. También discutiremos algunos ejemplos numéricos resueltos para una mejor comprensión de este tema.
¿Qué significa la integral de x^1.x^2?
La integral de $x^{1}.x^{2}$ o $x^{3}$ toma la integración de la función $x^{3}$ y la integración de $x^{3} $ es $ dfrac{x^{4}}{4} + c$. La integral de cualquier función es esencialmente un cálculo del área bajo la curva de dicha función, por lo que en este caso estamos calculando el área bajo la curva de la función $x^{3}$.
Comprobando la integral de x^1.x^2 por diferenciación
Sabemos que cuando calculamos la integral de la función, básicamente estamos calculando la antiderivada de dicha función, por lo que en este caso necesitamos encontrar la función cuya derivada es $x^{3}$. Calculemos la derivada de $dfrac{x^{4}}{4} + c$.
Podemos calcular la derivada usando la regla de potencia de diferenciación.
La expresión dx muestra que la integración se realiza con respecto a la variable “x”.
Evidencia
Sabemos que la integral para $x^{3}$ es $dfrac{x^{4}}{4} + c$, y podemos probar esto fácilmente usando la regla de la potencia de integración. Según la regla de la potencia de integración:
$int x^{n} = dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$
Aplicando esto a nuestra función $x^{3}$:
$int x^{3} = dfrac{x^{4}}{4} + c$
Por lo tanto, hemos probado la integración de $x^{1}. x^{2} = x^{3}$ es $dfrac{x^{4}}{4} + c$.
Integrando x^1.x^2 usando integración por partes
También podemos verificar la integral de $x^{3}$ usando el método de integración por partes. La fórmula general para la integración por partes se puede escribir:
$int f(x). h(x) dx = f(x) int h(x) – entero [f^{‘}(x) int h(x) dx] dx$
Entonces, al calcular la integral de $x^{3}$, $f(x) = x^{3}$ mientras que $h(x) = 1$:
$int x^{3} dx = int x^{3}.1 dx$
$int x^{3} dx = x^{3} int 1 dx – int [frac{d x^{3}}{dx} times int 1dx] dx$
$int x^{3} dx = x^{3}.x – int [3x^{2}. x] dx + C$
$int x^{3} dx = x^{3}.x – 3int [x^{2}. x] dx + C$
$int x^{3} dx = x^{3}.x – 3int [x^{3}. dx + c$
$int x^{3} dx + 3int x^{3}. dx = x^{4} + c$
$4int x^{3} dx = x^{4} + c$
$int x^{3} dx = dfrac{x^{4}}{4} + c$
Hence, we have proved the integration of $x^{1}. x^{2} = x^{3}$ is $dfrac{x^{4}}{4} + c$.
Definite Integral of x^1.x^2
The definite integral of $x^{1}.x^{2}$ is $dfrac{b^{4}}{4} – dfrac{a^{4}}{4}$, where a and b are lower and upper limits, respectively. So far, we have discussed indefinite integrals which are without any limits, so let us calculate if the integral has upper and lower limits for $x^{3}$.
Suppose we are given the upper and lower limits as “b” and “a” respectively for the function $x^{3}$, then the integration of $x. x^{2}$ will be:
$int_{a}^{b} x^{3} = [dfrac{x^{4}}{4}+ c ]_ {a}^{b}$
$int_{a}^{b} x^{3} = ( dfrac{b^{4}}{4} + c) – ( dfrac{a^{4}}{4} + c ps
$int_{a}^{b} x^{3} = dfrac{b^{4}}{4} + c – c – dfrac{a^{4}}{4}$
Por lo tanto, hemos probado que si la función $x^{3}$ tiene cotas superior e inferior de “b” y “a”, entonces el resultado es $dfrac{b^{4}}{4} – dfrac {a^{4}}{4}$.
Ejemplo 1: Evalúa la integral $x^{3}.e^{x}$.
Solución:
Podemos resolver esta función usando integración por partes. Tomemos $x^{3}$ como la primera función y $e^{x}$ como la segunda función. Entonces por definición de integral por partes, podemos escribir la función de la siguiente manera:
$int x^{3}.e^{x} = x^{3} int e^{x} dx – int [frac{d x^{3}}{dx} times int e^{x}dx] dx$
$int x^{3}.e^{x} = x^{3}.e^{x} – int [3x^{2}. e^{x}] dx$
Sí, puedes trazar la gráfica de $ln x$. Si ya conoces la gráfica de $ln x$, esta debería ser una tarea sencilla para ti; si no, será un poco más difícil pero no demasiado difícil. Para continuar trazando el gráfico $ln x$, se requieren algunos pasos simples.
En esta guía completa, aprenderá hcómo trazar la gráfica de $ln x$ junto con algunos datos interesantes, definiciones y aplicaciones de la función dada.
Primero, repasemos algunos de los pasos interesantes involucrados en dibujar la gráfica de $ln x$.
Cómo graficar ln x
Aquí están los pasos completos para graficar ln x:
Sea $y = ln x$.
Compruebe si esta curva interseca los ejes.
Ponga $y = 0$, lo que nos dará $x= 1$.
Y para $x=0$, $y$ se vuelve negativamente infinito.
El dominio es $x>0$ y $ln x$ es una función creciente.
$y” = -dfrac{1}{ x^2}$, lo que muestra que $ln x$ es cóncavo hacia abajo.
Entonces obtenemos la gráfica de $ln x$ de la siguiente manera:
¿Qué es un logaritmo natural?
A logaritmo natural del número es su logaritmo en base a la constante matemática $e$, que es un número trascendental e irracional con un valor aproximado de $2.718$.
Generalmente, el logaritmo natural de $x$ se escribe $ln x$, $log_e x$. Se considera una de las funciones más importantes en matemáticas, con implementaciones en física y biología.
Usos
Los logaritmos naturales son logaritmos que son Se utiliza para resolver problemas de crecimiento y tiempo. Las bases de los logaritmos y logaritmos naturales son funciones logarítmicas y exponenciales.
Los logaritmos se pueden usar para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece como el exponente de otro número. En problemas de decaimiento exponencial, los logaritmos se utilizan para determinar la constante de decaimiento, la vida media o el tiempo desconocido. Se utilizan para encontrar soluciones a problemas que incorporan interés compuesto y son útiles en varias áreas de las matemáticas y las ciencias.
Propiedades del logaritmo natural
Al resolver un problema que involucra logaritmos naturales, hay varias propiedades importantes a tener en cuenta. Los logaritmos naturales tienen las siguientes propiedades:
La regla del producto
Según esta regla, el logaritmo de la multiplicación de $a$ y $b$ es la suma de los logaritmos de $a$ y $b$. En otras palabras, $ln (acdot b)=ln a+ln b$.
Ejemplo
Sean $a=2$ y $b=3$, entonces:
$ln (2cdot 3)=ln 2+ln 3$
Para simplificar aún más, calcula $ln 2$ y $ln 3$, luego suma las dos respuestas.
Regla del cociente
El logaritmo de la división de $a$ y $b$ nos da la diferencia entre los logaritmos de $a$ y $b$. Es decir, $ln left(dfrac{a}{b}right)=ln a-ln b$.
Ejemplo
Sean $a=12$ y $b=31$, entonces:
$ln left(dfrac{12}{31}right)=ln 12-ln 31$
regla de poder
Obtenemos y veces el logaritmo de $a$ cuando elevamos el logaritmo de $a$ a la potencia $b$. Es decir, $ln a^b=bln a$.
Ejemplo
Sean $a=4$ y $b=2$, entonces:
$ln 4^2=2ln 4$
regla recíproca
El logaritmo natural del inverso de $a$ es el opuesto del ln de $a$. Es decir, $lnleft(dfrac{1}{a}right)=- ln a$.
Ejemplo
Sea $a=4$, entonces:
$lnleft(dfrac{1}{4}right)=- ln 4$
Logaritmos naturales vs comunes
El logaritmo es la función inversa de la exponenciación en matemáticas. En otras palabras, se llama logaritmo a la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número.
También se conoce como logaritmo en base diez o logaritmo común. La forma general de un logaritmo viene dada por $log_a y=x$.
El logaritmo natural se denota $ln$. También se conoce como el logaritmo base $e$. En este caso, $e$ es un número que equivale aproximadamente a $2.718$. El logaritmo natural (ln) está representado por los símbolos $ln x$ o $log_e x$.
Cómo calcular logaritmos naturales
El logaritmo natural se determinaba mediante tablas logarítmicas o logarítmicas antes de la invención de las computadoras y calculadoras científicas. Sin embargo, estas tablas continúan siendo utilizadas por los estudiantes durante los exámenes.
No solo eso, sino que estas tablas también se pueden usar para calcular o multiplicar números grandes. Para determinar un logaritmo natural utilizando una tabla logarítmica, siga los pasos que se describen a continuación:
Etapa 1
Seleccione la tabla logarítmica adecuada teniendo en cuenta la base. A menudo, estas tablas de registro están diseñadas para logaritmos base$-10$, también conocidos como registros comunes. Por ejemplo, $log_{10}(31.62)$ requiere el uso de una tabla base $-10$.
2do paso
Encuentre el valor de celda exacto en las intersecciones ignorando todos los lugares decimales.
Considere la fila marcada con los primeros dos dígitos del número dado y la columna marcada con el tercer dígito del número dado.
Tome, por ejemplo, $log_{10}(31,62)$ y busque en la fila 31 y la columna 6, y el valor de la celda resultante será $0,4997.
Paso 3
Si el número dado tiene cuatro o más dígitos significativos, use este paso para adaptar la respuesta. Busque un encabezado de columna pequeño con los cuartos dígitos del número dado y agréguelo al valor anterior mientras permanece en la misma fila. Por ejemplo, en la búsqueda $log_{10}(31.62)$ en la fila 31, la columna pequeña será 2 con el valor de celda 2 y, por lo tanto, $4997 + 2 = 4999$.
Etapa 4
Además de eso, agregue un punto decimal, también llamado mantisa. Hasta ahora, la solución del ejemplo anterior es $0.4999.
Paso 5
Al final, usando el método de prueba y error, calcule la parte entera que también se llama característica.
En consecuencia, la respuesta final es $1.4999.
Problemas relacionados con el logaritmo natural
Resolvamos algunos problemas que involucran el logaritmo natural para comprender mejor cómo se aplican sus propiedades.
Los problemas se resuelven utilizando las propiedades del logaritmo natural y el cálculo del logaritmo natural utilizando una calculadora, es decir, una técnica moderna. Con este fin, considere algunos ejemplos de problemas de la siguiente manera:
Problema 1
Calcule $lnleft(dfrac{5^3}{7}right)$.
Primero aplica la regla del cociente para obtener $ln 5^3-ln 7$.
Ahora aplica la regla de la potencia en el primer término para obtener $3ln 5-ln 7$.
Luego, use la calculadora para evaluar $ln 5$ y $ln 7$ de la siguiente manera:
$3(1.609)-1.946=4.827-1.946=2.881$
Problema 2
Calcula $3ln e$.
Recuerda que $ln e=1$, por lo que el problema anterior solo tiene una respuesta de $3$.
Problema 3
Tomemos un ejemplo ligeramente diferente, $ln(x-2)=3$. Encuentra el valor de $x$.
Para conocer el valor de $x$, primero debe eliminar el logaritmo natural del lado izquierdo de la ecuación anterior. Para hacer esto, eleva ambos lados al exponente de $e$ de la siguiente manera:
$e^{ln(x-2)}=e^3$
Luego usa el hecho de que $e^{ln x}=x$ para obtener: $x-2 =e^3$.
Ahora puede separar $x$ y conocer su valor de la siguiente manera:
$x=e^3+2$
$x=20.086+2=22.086$
Conclusión
Hemos revisado una cantidad significativa de información sobre cómo dibujar la gráfica de $ln x$, así como definiciones, propiedades y problemas de ejemplo relacionados con el logaritmo natural.
Resumamos la información para comprender mejor el logaritmo natural y su gráfica:
Puede trazar la gráfica de $ln x$.
Dibujar la gráfica de $ln x$ requiere conocimientos importantes como el dominio y la concavidad de $ln x$.
Un logaritmo natural tiene algunas propiedades que facilitan la resolución de un problema.
La base del logaritmo natural es $e$ y la del logaritmo común es $10$.
La gráfica de $ln x$ es fácil de encontrar y se puede dibujar usando calculadoras gráficas modernas, entonces, ¿por qué no resolver algunos problemas de decaimiento exponencial para comprender mejor las propiedades del logaritmo natural y el comportamiento de su gráfica? Esto te convertirá en un profesional en la resolución de ecuaciones exponenciales en muy poco tiempo.
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Primitivo, también llamado integral de una función, es el proceso inverso de tomar la derivada de una función.
Cuando tenemos una función $dfrac{p}{q}$ donde $q neq 0$, entonces tal expresión se llama fraccióny si tomamos la antiderivada de tal función, entonces se llamará la antiderivada de esa fracción.
En este tema, discutiremos cómo tomar la antiderivada o integral de una fracción, y discutiremos en detalle cómo resolver problemas de fracciones usando la técnica de integración de fracciones parciales.
¿Qué es la antiderivada de una fracción?
Antiderivada, también llamada integral de una función, es el proceso inverso de tomar la derivada de una función; si tomamos la antiderivada de una función algebraica que se escribe como fracción, la llamamos antiderivación de una fracción. Sabemos que una fracción está dada en $dfrac{p}{q}$ con $q neq 0$. La antiderivada de una fracción se puede dividir en dos tipos.
Para resolver problemas primitivos, se deben memorizar algunas relaciones primitivas básicas. Por ejemplo, la antiderivada de una fracción constante es $int dfrac{1}{k} = dfrac{1}{k} x +c$; la primitiva de $frac{1}{x}$ es $ln|x| +c$. De manera similar, la primitiva de $dfrac{1}{x^{2}} $ es $-dfrac{1}{x} + c$.
Cómo encontrar la antiderivada de fracciones
La respuesta simple para encontrar la antiderivada de una expresión algebraica que tiene fracciones múltiples o complicadas es usar la descomposición de fracciones o dividir la fracción en partes más pequeñas y luego tomar la antiderivada de esas fracciones más pequeñas. La mayoría de las fracciones racionales se resuelven con fracciones parciales, mientras que las fracciones irracionales se resuelven con el método de sustitución.
Ahora discutiremos diferentes ejemplos relacionados con fracciones y cómo podemos tomar la antiderivada de fracciones con diferentes tipos de expresiones algebraicas para cocientes.
Primitiva de una fracción racional
Una fracción racional es una fracción en la que el numerador y el denominador consisten en polinomios. Por ejemplo, $dfrac{x + 7}{x}$ es una fracción racional.
Podemos calcular fácilmente la antiderivada de la fracción racional dada anteriormente dividiéndola en partes. Podemos escribir $dfrac{x + 7}{x}$ como $( dfrac{x}{x} + dfrac{7}{x})$. Calculemos ahora la antiderivada de la función racional dada.
No es necesario que todos los números racionales se puedan dividir fácilmente en partes para encontrar su antiderivada. El denominador puede consistir en varios factores lineales o factores lineales repetidos; en tales casos, es recomendable resolver el problema utilizando la técnica de fracciones parciales.
Fracciones con dos factores lineales
Cuando se nos da una función de fracción tal que la potencia/grado del numerador es menor que la del denominador mientras que el denominador tiene dos factores lineales distintos, entonces podemos usar una fracción parcial para separar la fracción en partes más pequeñas y luego averiguar la primitiva de la función.
Por ejemplo, dada una función integral $int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)}$, usaremos la descomposición en fracciones parciales para separar la fracción dada.
Ahora elegiremos el valor de “x” de tal manera que haga una expresión algebraica con “A” o “B” cero. Así que tomemos $x = 3$ y pongámoslo en la ecuación anterior:
Los ejemplos que hemos visto hasta ahora usan integrales definidas pero sin límites superior e inferior. Ahora resolvamos un ejemplo con límites superior e inferior utilizando el método de descomposición en fracciones parciales.
Ejemplo 1: Evalúa la función primitiva dada.
$int_{2}^{4} dfrac{4}{x (x + 2)}$
Solución:
$int_{2}^{4} dfrac{4}{x (x + 2)}$
Usando el método de descomposición en fracciones parciales, podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
Ahora elegiremos el valor de “x” de tal manera que haga una expresión algebraica con “A” o “B” cero. Así que tomemos x = 0 y pongámoslo en la ecuación anterior:
Cuando nos dan una función de fracción tal que la potencia/grado del numerador es menor que la del denominador mientras que el denominador tiene factores lineales repetidos, debemos usar una fracción parcial para separar la fracción en partes más pequeñas y luego encontrar la primitiva de la función.
Por ejemplo, si nos dan una función integral $int dfrac{x}{(x + 3) (4 – x)}$, usaremos una fracción parcial para separar la fracción dada.
La antiderivada de una función irracional se puede determinar usando solo el método de sustitución. Anteriormente discutimos cómo calcular la antiderivada de una función racional, y ahora vamos a discutir cómo determinar la antiderivada de una fracción irracional.
Una fracción irracional incluye no polinomios en el numerador o denominador. Por ejemplo, $dfrac{1}{sqrt{x^{2} + 5x}}$ es un número irracional.
Ejemplo 2: Evalúa la función primitiva dada.
$int dfrac{5x}{sqrt{x + 2}} dx$
Solución:
Sea $v = sqrt{x + 2}$
Entonces sabemos que $v^{2} = x + 2$. Entonces $x = v^{2} – 2$.
Ahora tomando la derivada de ambos lados, obtenemos:
$dx = (2v – 0) dv = 2v dv$
Ahora poniendo los valores de “x”, dx y v en la ecuación original:
$int dfrac{5x}{sqrt{x + 2}} dx = int dfrac{5 (v^{2}-2)}{v}. 2vdv$
$= 2 [int 5v^{2}- 10 dv]ps
$= 2 [ 5 dfrac {v^{3}}{3} – 10 v ]ps
$= 10 dfrac{v^{3}}{3} – 20v + c$
Entonces podemos resolver la antiderivada de fracciones racionales e irracionales usando métodos de fracción parcial y sustitución respectivamente.
Preguntas prácticas
Evalúa la primitiva de la función $y = int dfrac{3x^{2}}{x+1}$.
Evalúa la primitiva de la función $y = int dfrac{dx}{x sqrt{x – 6}}$.
corregido
1)
La antiderivada de la fracción es $frac {3x^{2}}{2} -3x + 3 ln|x+1| + CAD$.
2)
La antiderivada de la fracción es $tan^{-1} dfrac{sqrt{x-6}}{2} + c$.
El crecimiento económico es el aumento en el valor de mercado de los bienes y servicios producidos por una economía a lo largo del tiempo. Se mide convencionalmente como la tasa porcentual de aumento en el producto interno bruto real, o PIB real. Más importante es el crecimiento de la relación entre el PIB y la población (PIB per cápita), también conocido como ingreso per cápita. Un aumento en el crecimiento causado por un uso más eficiente de los insumos se denomina crecimiento intensivo. El crecimiento del PIB causado únicamente por aumentos en insumos como el capital, la población o el territorio se denomina crecimiento extensivo. En economía, “crecimiento económico” o “teoría del crecimiento económico” generalmente se refiere al crecimiento de la producción potencial, es decir, la producción en “pleno empleo”. Como campo de estudio, el crecimiento económico generalmente se distingue de la economía del desarrollo. El primero es principalmente el estudio de cómo los países pueden hacer avanzar sus economías. Este último es el estudio del proceso de desarrollo económico, especialmente en los países de bajos ingresos. El crecimiento generalmente se calcula en términos reales, es decir, términos ajustados a la inflación, para eliminar el efecto distorsionador de la inflación sobre el precio de los bienes producidos. La medida del crecimiento económico utiliza la contabilidad del ingreso nacional. Dado que el crecimiento económico se mide como el cambio porcentual anual en el producto interno bruto (PIB), tiene todas las ventajas y desventajas de esta medida.
En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrados) y las matrices obtenidas de ella reemplazando una columna con el vector de los lados derechos de las ecuaciones. Lleva el nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748 (y es posible que la conociera ya en 1729). La regla de Cramer es computacionalmente muy ineficiente para sistemas de más de dos o tres ecuaciones; su complejidad asintótica es O(n · n!) en comparación con los métodos de eliminación que tienen complejidad de tiempo polinomial. La regla de Cramer también es numéricamente inestable incluso para sistemas 2×2.
