Función de reflexión – Explicación y ejemplos

Una reflexión de una función es un tipo de transformación de la gráfica de una función.

El reflejo de una función puede estar en el eje x o en el eje y, o incluso en ambos ejes. Por ejemplo, el reflejo de la función $y = f(x)$ se puede escribir $y = – f(x)$ o $y = f(-x)$ o incluso $y = – f(-x)$ . Hay cuatro tipos de transformaciones de funciones o gráficas: Reflexión, Rotación, Traslación y Dilatación.

En esta guía, exploraremos los reflejos de la función junto con ejemplos numéricos para que pueda comprender el concepto rápidamente.

¿Qué es una función de reflexión?

La función de reflexión es la transformación de una función en la que volteamos la gráfica de la función alrededor de un eje. En matemáticas o específicamente en geometría, reflejar o reflejar significa volver, por lo que básicamente el reflejo de una función es la imagen especular de la función o gráfica dada. Por lo tanto, las funciones reflexivas se denominan comúnmente funciones reflexivas.

Se dice que dos gráficos son imágenes especulares o reflejos uno del otro si cada punto en un gráfico es equidistante del punto correspondiente en el otro gráfico. El reflejo de la característica dada debe ser similar en tamaño y forma a la característica original.

La única característica que no coincide es la dirección. La dirección de la imagen o gráfico reflejado debe ser opuesta a la imagen o gráfico original.

Como comentamos anteriormente, hay cuatro tipos de transformaciones de funciones, y los estudiantes a menudo confunden el reflejo de una función con la traslación de una función. Al trasladar una característica, solo se cambia la posición de una característica, mientras que el tamaño, la forma y la dirección siguen siendo los mismos.

Por otro lado, durante la reflexión de una función, tanto la posición como la dirección de la imagen de la gráfica se modifican mientras que la forma y el tamaño siguen siendo los mismos.

Tipos de función de reflexión

Hay tres tipos de reflexiones de una función. Considere la función $y = f(x)$, se puede reflejar en el eje x como $y = -f(x)$ o en el eje y como $y = f(-x)$ o en ambos ejes como $y = -f(-x)$.

De este modo, clasificamos las reflexiones de la función de la siguiente manera:

  1. Reflexión de una función sobre el eje x o reflexión vertical
  2. Reflexión de una función sobre el eje y o reflexión horizontal
  3. Reflejar una función en los ejes x e y

Todos estos tipos de reflejos se pueden utilizar para reflejar funciones lineales y funciones no lineales.

Cómo reflejar una función en el eje X

Cuando necesitamos reflejar una función en el eje x, los puntos de las coordenadas x se mantendrá igual mientras vamos a cambiar los signos de todas las coordenadas del eje y.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos reflejar la función dada $y = f(x)$ alrededor del eje x. En este caso, la reflexión sobre la ecuación del eje x para la función dada se escribirá como $y = -f(x)$, y aquí puedes ver que todos los valores de “$y$” tendrán signo contrario con respecto a la función original. La reflexión de un punto $(x,y)$ sobre el eje x estará representada por $(x,-y)$.

Allan estaba trabajando como ingeniero de arquitectura en un sitio de construcción y se dio cuenta de que la función $y = 3x^{2}+ 5x + 6$ que usó para desarrollar el plano/modelo gráfico del sitio es incorrecta y, en cambio, la función correcta. es $y = – (3x^{2} + 5x + 6)$.

Allan no tiene una computadora en el sitio para simular la función y obtener el modelo gráfico relevante. Sin embargo, Allan sabe que esto es solo un reflejo de la función original en el eje x, por lo que puede dibuje fácilmente el nuevo gráfico simplemente cambiando la dirección del gráficoque mantendrá todos los puntos correspondientes equidistantes entre sí.

La representación gráfica de las dos funciones se muestra a continuación:

Reflexión sobre el eje x

Cómo reflejar la función en el eje Y

Cuando necesitamos reflejar una función en el eje y, los puntos de las coordenadas y se mantendrá igual mientras que cambiaremos los signos de todas las coordenadas del eje x.

Por ejemplo, si la función $y = f(x)$ debe reflejarse en el eje y, entonces la función resultante será $y = f(-x)$. Como podemos ver, cancelamos todos los valores de “coordenadas x” en este caso.

Considere una función $y = 6x + 3$, si necesitamos reflejar esta función en el eje y, entonces la función resultante será $y = -6x + $3.

La representación gráfica de las dos funciones se muestra a continuación:

Reflexión del eje Y

Reflejar una función en los ejes X e Y

Cuando la función necesita ser reflejada en los ejes x e y, la escribimos como un reflejo de una función en $x = y$, por lo que se divide en dos partes o dos casos $y = x$ y $y = -x$.

Cuando la gráfica de la función se refleja en $y = x$, entonces intercambiaremos datos de contacto ejes x e y entre sí mientras sus signos siguen siendo los mismos. Por ejemplo, escribiremos el reflejo de un punto $(3,4)$ como $(4,3)$.

Cuando la gráfica de una función se refleja en $y = -x$, las coordenadas de los ejes x e y se intercambiarán y también se cancelarán. Por ejemploescribiremos la reflexión de un punto $(3,4)$ de la forma $(-4,-3)$.

Entonces, si se nos da una función $y = f(x)$ y se nos pide que reflejemos esta función en los ejes x e y, entonces la función resultante será $y = -f(-x)$.

Considere una función $y = 6x + 3$, si necesitamos reflejar esta función en los ejes x e y, entonces la función resultante será $y = -(-6x + 3)$.

Ejemplo 1:

Se te dan los valores tabulares de las tres funciones $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$. La función original es f(x). Determine el tipo de reflexión utilizada para formar las otras dos funciones.

X $3$ $1$ $2$ $6$ $8$
f(x) $6$ $1$ $2$ $9$ $12
X $3$ $1$ $2$ $6$ $8$
g(x) $-6$ $-1$ $-2$ $-9$ $-12$
X $-3$ $-1$ $-2$ $-6$ $-8$
h(x) $-5$ $-2$ $-3$ $-6$ $-8$

Solución:

Nos dan tres funciones, $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$, junto con los valores correspondientes de $x$.

La función f(x) es la funcion originaly lo usaremos en comparación con otras funciones para determinar el tipo de reflexión realizada en otras funciones.

La función g(x) tiene valores opuestos con respecto a la función $f(x)$, mientras que los valores de “x” son los mismos. Por lo tanto, podemos escribir $g(x) = – f(x)$, lo que muestra que la función original se refleja en el eje x en este caso.

Para la función $h(x)$, los valores de “$x$” son negativos en comparación con los valores de “x” para la función original $f(x)$. Los valores de h(x) no garantizan si la función original se refleja en el eje y o en $y = -x$, por lo que se puede reflejar en el eje y o en $y = -x $ como no tenemos la función real para calcular los valores.

Ejemplo 2:

Dibuja los reflejos de las funciones dadas en el eje x y el eje y

  1. $y = 5x -1$
  2. $y = 5x^{2}- 3x +2$

Solución:

1)

Reflexión de la función en el eje x:

Ejemplo 1

Reflexión de la función sobre el eje de ordenadas:

Ejemplo 2

2)

Reflexión de la función en el eje x:

Ejemplo 3

Reflexión de la función sobre el eje de ordenadas:

Ejemplo 4

Ejemplo 3:

Escribe las reflexiones de las funciones dadas en el eje x, el eje y y los ejes x e y.

  1. $y = 6x -3$
  2. $y = 7x^{2}+3x + 2$

Solución:

1)

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(6x-3)$.

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en el eje y, se escribe $y = (-6x-3)$.

Cuando la función $y = 6x -3$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(-6x-3)$.

2)

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(5x^{2}- 3x +2)$.

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en el eje y, se escribe $y = 5(-x)^{2}- 3(-x) +2 $ .

Cuando la función $y = 5x^{2}- 3x +2$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(5(-x)^{2}- 3(-x) + 2) $.

Cuestiones prácticas

1) Te dan los valores tabulares de las tres funciones f(x), g(x) y h(x). La función original es f(x). Debe determinar el tipo de reflejo utilizado para formar las otras dos funciones.

X $3$ $1$ $2$ $6$ $8$
f(x) $6$ $1$ $2$ $9$ $12
X $3$ $1$ $2$ $6$ $8$
g(x) $-6$ $-1$ $-2$ $-9$ $-12$

2) Debe escribir los reflejos de las funciones dadas en el eje x, el eje y y los ejes x e y.

  1. $y = 7x – $5
  2. $y = 6x^{2}-2x +2$
  3. $y = -(7x^{2}+4x -1)$

clave de respuesta:

1)

La función $f(x)$ es la función original y la usaremos en comparación con otras funciones para determinar el tipo de reflexión realizada en otras funciones.

2)

a) Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en el eje x, entonces se escribe $y = -(7x-5)$.

Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en el eje y, se escribe $y = (-5x-5)$.

Cuando la función $y = 7x -5$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(-7x-5)$.

b)

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en el eje x, se escribe $y = -(6x^{2}- 2x +2)$.

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en el eje y, se escribe $y = 6(-x)^{2}- 2(-x) +2 $ .

Cuando la función $y = 6x^{2}- 2x +2$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(6(-x)^{2}- 2(-x) + 2) $.

contra)

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en el eje x, se escribe $y = (7x^{2}+4x -1)$.

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en el eje y, entonces se escribe $y = -(7(-x)^{2}+4( -x) -1)$.

Cuando la función $y = -(7x^{2}+4x -1)$ se refleja en ambos ejes, se escribe $y = -(7(-x)^{2}+4(- x) -1 ps

Propiedad de multiplicación de la desigualdad – Explicación y ejemplos

La propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, resultará una desigualdad equivalente.

Por ejemplo, si $x funciona de la misma manera si $x > y$, el resultado en este caso será $xm > ym$ y $dfrac{x}{m} > dfrac{y}{m}$, respectivamente.

Propiedad de multiplicación de la definición de desigualdad

La propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que si un lado de la desigualdad se multiplica o divide por un número positivo, entonces podemos multiplicar y dividir el otro lado de la desigualdad por el mismo número sin cambiar o perturbar el signo de dirección de la desigualdad.

Esta propiedad se utiliza para resolver ecuaciones lineales. Resolver desigualdades, especialmente desigualdades lineales, se puede hacer más fácil usando las propiedades de multiplicación de la desigualdad. La propiedad de multiplicación de la desigualdad es la misma que la propiedad de división de la desigualdad; por ejemplo, si queremos dividir “$6$” entre “$2$”, podemos multiplicarlo por $dfrac{1}{2}$. También se puede usar con la propiedad de la suma para resolver la ecuación lineal.

En escenarios prácticos, las desigualdades se utilizan para determinar la ganancia máxima disponible de la producción de un artículo. Estos también pueden determinar la mejor combinación de medicamentos para curar una enfermedad, etc. Este tema te ayudará a comprender el concepto de la propiedad de multiplicación de la desigualdad, y puedes usar este método para resolver problemas de desigualdad más adelante.

Considere tres números variables $x$, $y$ y $z$, tales que $z neq 0$. Entonces, de acuerdo con la propiedad multiplicativa de la desigualdad, podemos tener cuatro casos.

Si $z > 0$ y $x > y$, entonces $xz > yz$

Por ejemplo, si $x = 2$ y $y =1$ y multiplicamos la ecuación de desigualdad $x>y$ por “z” que es igual a $4$, entonces el valor de “x” y “y” será “4” y “1” respectivamente.

Múltiple

Si $z > 0$ y $x < y$, entonces $xz < yz$

Por ejemplo, si $y = 2$ y $x =1$ y lo multiplicamos por “$4$”, entonces xz (4) siempre será menor que yz (8).

Si $z < 0$ et $x > y$, entonces $xz < yz$

Por ejemplo, si $x = 2$ y $y =1$ y lo multiplicamos por “$-3$”, entonces (yz) se vuelve mayor que (xz)

Múltiple

Si $z < 0$ y $x < y$, alors $xz > yz$

Por ejemplo, simplemente intercambie los valores del ejemplo discutido en el caso 3. Si $x = 1$ y $y = 2$ y lo multiplicamos por $z = -3$, entonces (xz) se vuelve mayor que (yz )

Podemos ver en los casos anteriores si multiplicamos una expresión de desigualdad con un número positivo no cambia el signo de desigualdad pero si multiplicamos la expresión con un número negativo en ambos lados cambiará invertir la dirección del signo de desigualdad.

Cómo resolver desigualdades usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad

Esta propiedad se puede utilizar para resolver desigualdades normales y fraccionarias. Si nos dan una ecuación fraccionaria con un denominador común, podemos eliminar fácilmente el denominador multiplicando ambos lados de la desigualdad por el denominador. Por ejemplo, podemos simplemente $dfrac{x}{2} > dfrac{3}{2}$ multiplicando ambos lados por “$2$”.

De manera similar, muchos problemas de desigualdad del mundo real requieren el uso de la propiedad de la multiplicación. Hablemos de eso varios digitales y problemas verbales relacionados con la desigualdad.

Los problemas de desigualdad se pueden resolver combinando las tres propiedades:

  1. multiplicación
  2. propiedad de la suma de la desigualdad
  3. propiedad de resta de la desigualdad

Estudiemos ahora la propiedad de multiplicación de los ejemplos de desigualdad.

Ejemplo 1:

Resuelva el “$x$” para las expresiones de desigualdad dadas

1) $dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

2) $dfrac{3}{5}x > {9}$

3) $-4x +2 < 2x +4$

4) $3 > $9

5) $dfrac{3}{2}x < -dfrac{3}{2}$

Solución:

Los términos dados están en forma de fracción, y resolverlos usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad también se conoce como propiedad del inverso multiplicativo de la desigualdad. No olvides que las desigualdades también pueden incluir números negativospero el signo de la desigualdad solo cambiará si dividimos o multiplicamos la desigualdad por un número negativo.

1)

$dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

Multiplica ambos lados por “$7$”

$6 > $3

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

Alternativamente, podemos resolver esta pregunta más rápido porque nuestro objetivo principal debería ser la eliminación del coeficiente con “$x$”. Podemos multiplica ambos lados con “$dfrac{7}{6}$”, luego resuelve el resto de la ecuación.

$dfrac{6}{7}x > dfrac{3}{7}$

$dfrac{6}{7} times dfrac{7}{6}x > dfrac{3}{7} times dfrac{7}{6}$

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

2)

$dfrac{3}{5}x > 9$

Multiplica ambos lados por “$5$”

$(dfrac{3}{5}x) times 5 > 9 times 5$

$3 > $45

$x > dfrac{45}{3}$

$x > $15

Alternativamente, podemos resolver esta pregunta más rápido aislando la variable “$x$” del coeficiente y podemos hacer esto por multiplica ambos lados por “$dfrac{5}{3}$”. Si multiplicamos ambos lados por “$dfrac{5}{3}$”, podemos escribir la ecuación como

$(dfrac{3}{5}x) times dfrac{5}{3} > 9 times dfrac{5}{3}$

$x > 3 veces $5

$x > $15.

$dfrac{6}{7} times dfrac{7}{6}x > dfrac{3}{7} times dfrac{7}{6}$

$x > dfrac{3}{6}$

$x > dfrac{1}{2}$

3)

$-4x + 2 < 2x +4$

Primero, combinemos los términos con la variable “$x$” por un lado y los valores constantes por el otro.

$-4x -2x < 4 -2$

$-6x < $2

Necesitamos aislar “$x$” de su coeficiente, así que multiplicaremos ambos lados por “$-dfrac{1}{6}$”. Como puedes ver, estamos multiplicando con un número negativo; así que tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

$-6x veces (-dfrac{1}{6}) > 2 veces (-dfrac{1}{6})$

$x > -dfrac{1}{3}$

4)

$3 > $9

Multiplica ambos lados por “$dfrac{1}{3}$”

$(3x) times dfrac{1}{3} > 9 dfrac{1}{3}$

$x > 3$

5)

$-dfrac{3}{2}x < dfrac{3}{2}$

Necesitamos aislar “$x$” de su coeficiente, así que multiplicaremos ambos lados por “$-dfrac{2}{3}$”. Como puedes ver, estamos multiplicando con un número negativo, entonces necesitamos cambiar el signo de la desigualdad.

$(-dfrac{3}{2}x) times (-dfrac{2}{3}) < dfrac{3}{2} times (-dfrac{2}{3})$

$x > – 1$

Ejemplo 2:

Escribe las siguientes ecuaciones después de multiplicarlas por “$2$” y “$-2$”.

1) $2x > dfrac{1}{2}$

2) $dfrac{1}{4}x > 8$

3) $3 x < -$4

4) $2 x > $5

Solución:

1)

$2x > dfrac{1}{2}$

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$2x times 2 > (dfrac{1}{2}) times 2$

$4 > $1

$x > dfrac{1}{4}$

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$2x veces (-2) < (dfrac{1}{2}) veces (-2)$

$-4x < – $1

$x < dfrac{1}{4}$

2)

$dfrac{1}{4}x > 8$

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$(dfrac{1}{4}x) times 2 > 8 times 2$

$dfrac{1}{2}x > 16$

$x > $32

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$(dfrac{1}{4}x) veces (-2) < 8 veces (-2)$

$-dfrac{1}{2}x < -16$

$x < $32

3)

$3x < -4$

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$3x veces 2 < -4veces 2$

$6 x < -$8

$x < -dfrac{6}{8}$

$x < -dfrac{3}{4}$

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$3x veces 2 < -4veces 2$

$6 x < -$8

$x < -dfrac{6}{8}$

$x < -dfrac{3}{4}$

4)

$2 > $5

Resolvamos la ecuación multiplicando ambos lados por “$2$”

$2x veces 2 > 5 veces 2$

$4 > $10

$x > dfrac{10}{4}$

$x > dfrac{5}{2}$

Ahora resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por “$-2$”

$2x veces (-2) < 5 veces (-2)$

$-4x < -10$

$x < dfrac{-10}{-4}$

$x < dfrac{5}{2}$

resolver problemas de palabras

Hemos discutido cuestiones numéricas relacionadas con la desigualdad, ahora vea algunas problemas verbales y resolverlos.

Ejemplo 3:

Suponga que un tanque de agua tiene una capacidad máxima de $50 galones. Si el tanque de agua se llena con $2$ galones de agua en un minuto, entonces usando la propiedad de la multiplicación de desigualdades, calcule el tiempo que se tarda en llenar el tanque (la capacidad debe ser inferior a $50$ galones porque no queremos desbordar el tanque). tanque).

Solución:

Digamos que “$n$” es el número de veces en minutos podemos llenar el tanque a su máxima capacidad, por lo tanto, podemos escribir la ecuación de desigualdad en la forma:

$2n leq $50

Ahora si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $dfrac{1}{2}$ nos dará el tiempo necesario para llenar el tanque a su máxima capacidad.

$(dfrac{2}{2}) n leq dfrac{50}{2}$

$n leq 25$

Por lo tanto, el tanque se puede llenar Menos que o igual a $25$ minutos.

Ejemplo 4:

Allice tiene varias tarjetas de regalo para una tienda minorista en línea y puede comprar cosas por menos de $$100. Alice quiere comprar platos de vidrio con las tarjetas de regalo y un plato cuesta $5.5. Determina cuántos platos puede comprar Alicia usando la propiedad de multiplicación de la desigualdad.

Solución:

Digamos que “$n$” es el número total de platos, entonces podemos escribir la ecuación de desigualdad en la forma:

$5.5 n < $100

ahora si nosotros multiplicar ambos lados de la ecuación por $dfrac{1}{5.5}$, esto nos dará el número esperado de platos que podemos comprar:

$(dfrac{5.5}{5.5}) n < dfrac{100}{5.5}$

$n < $18,18

Entonces Alicia puede comprar $18$ placas en total entre las tarjetas de regalo disponibles.

Preguntas prácticas:

1. Un granjero instala una cerca rectangular en el campo de trigo para mantener alejados a los animales callejeros. El límite exterior total es menor o igual a $50$ft. Escribe la ecuación de desigualdad para expresar el largo y el ancho de la cerca. Si el ancho de la cerca es de 10 pies, ¿cuánto medirá la cerca?

2. William tiene una cantidad total de $$400 y planea gastar $$200 o menos para comprar camisetas en una gala de ventas en un centro comercial cercano. Si el precio de una camisa es de 40$$, determine el número de camisas que William podrá comprar durante esta venta de gala.

3. Tania organiza una fiesta de cumpleaños para sus amigos. Ella quiere comprar cajas de chocolates y dulces para sus amigos. El precio de una caja de bombones es $$10 y el precio de una caja de dulces es $$5. Tania tiene un total de $$500, pero quiere gastar $$300 o menos; Si compra cajas de chocolate por $18, ¿cuántas cajas de dulces puede comprar?

clave de respuesta:

1.

El límite exterior de la cerca es esencialmente el perímetro de valla rectangular, entonces podemos escribir la ecuación para los datos dados de la siguiente manera:

$2 (l+w) leq 50$

$2 (l + 10) leq 50$

$2l +20 leq $50

$2l leq $30

Multiplica ambos lados por $dfrac{1}{2}$

$ l leq 15$

2.

Sea “$n$” el numero de camisas, entonces podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$40n leq $200

$n leq dfrac{200}{40}$

$n leq 5$

3.

Deja que el “$c$” cajas de bombones y “b” ser cajas de dulces, entonces podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$5b + 10c theq $300

Tania compra cajas de chocolate a $12, $c = $18

$5b + 10 (18) theq $300

$5b + 180 lleq $300

$5 mil millones leq $120

Multiplica ambos lados por $dfrac{1}{5}$

$b leq 25$

En cierta universidad, $6% de todos los estudiantes son de fuera de los Estados Unidos. Los estudiantes que ingresan se asignan aleatoriamente a los dormitorios de primer año, donde los estudiantes viven en grupos residenciales de primer año de $ 40 que comparten una sala de estar común.

  • ¿Cuántos estudiantes internacionales espera encontrar en un grupo típico?

  • ¿Con qué desviación estándar?

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar el número esperado de estudiantes internacionales en un grupo típico, así como su desviación estándar.

Considere qué es una variable aleatoria: un conjunto de valores numéricos que resultan de un proceso aleatorio. El promedio ponderado de las ocurrencias independientes se utiliza para obtener los valores esperados. En general, utiliza la probabilidad para predecir las ocurrencias requeridas a largo plazo. La desviación estándar es una medida de qué tan lejos está un conjunto de valores numéricos de su media.

Los estudiantes internacionales son la variable aleatoria (número de éxitos) en esta pregunta, y la proporción de estudiantes internacionales es la probabilidad de éxito.

Respuesta experta

Cada estudiante puede ser un estudiante internacional o un residente permanente de los Estados Unidos. La probabilidad de un estudiante extranjero es independiente de la probabilidad de otros estudiantes en ese contexto; por lo tanto, debemos usar la distribución binomial.

Sea $X$ el número de éxitos, $n$ el número de intentos y $p$ la probabilidad de éxito. La probabilidad de falla será entonces $1-p$.

El valor esperado de $X$ se especifica como

$mu=E(X)=np$

Y la desviación estándar es

$sigma=sqrt{V(X)}=sqrt{npq}=sqrt{np(1-p)}$

Donde la varianza es $V(X)$.

Teniendo en cuenta el problema planteado anteriormente:

La probabilidad de éxito es la de los estudiantes internacionales. Como hay 6 $%$ de estudiantes internacionales,

$p=6%=0.06$

Además, tenemos muestras de estudiantes de $40, así que,

$n=40$

Los resultados numéricos

$mu=E(X)=np=(40)(0.06)=2.4$

$sigma=sqrt{np(1-p)}=sqrt{(40)(0,06)(1-0,06)}=sqrt{(40)(0,06)(0,94)}=1,5$

Por lo tanto, se esperan $2.4 estudiantes internacionales en un grupo típico que tenga una desviación estándar de $1.5 estudiantes.

Solución alternativa

La probabilidad de éxito $=p$

Entonces probabilidad de falla $=q=1-p$

Como $p=0.06$ entonces $q=1-0.06=0.94$

$mu=E(X)=np=(40)(0.06)=2.4$

Y la desviación estándar es

$sigma= sqrt{npq}= sqrt{(40)(0.06)(0.94)}=1.5$

El problema anterior se ilustra gráficamente de la siguiente manera:

Exportación de Geogebra

Ejemplo

Un ensayo binomial tiene $60$ de ocurrencias. La probabilidad de fracaso de cada ensayo es de $0,8. Encuentre el valor esperado y la varianza.

Aquí, el número de intentos $n=60$ y la probabilidad de fracaso $q=0,8$

Es bien sabido que

$q=1-p$

Entonces,

$p=1-q=1-0.8=0.2$

De este modo,

$mu=E(X)=np=(60)(0.2)=12$

$sigma^2=npq=(60)(0.2)(0.8)=9$

Entonces, del ejemplo, podemos observar los mismos resultados cuando se da la probabilidad de éxito o fracaso.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.

Teorema del Valor Extremo – Explicación y Ejemplos

El teorema del valor extremo establece que una función tiene un valor máximo y un valor mínimo en un intervalo cerrado $[a,b]$ si es continua en $[a,b]ps

Estamos interesados ​​en encontrar los máximos y mínimos de una función en muchas aplicaciones. Por ejemplo, una función describe el comportamiento oscilante de un objeto; será natural que nos interese el punto más alto y el punto más bajo de la onda oscilante.

En este tema, discutiremos en detalle el teorema del valor extremosu demostración y cómo calcular los mínimos y máximos de una función continua.

¿Qué es el teorema del valor extremo?

El teorema del valor extremo es un teorema que determina los máximos y mínimos de una función continua definida en un intervalo cerrado. Estos valores extremos se encontrarían o bien en los extremos del intervalo cerrado o bien en los puntos críticos.

En los puntos críticos, la derivada de la función es cero. Para cualquier función continua de intervalo cerrado, el primer paso es encontrar todos los puntos críticos de una función y luego determinar los valores en esos puntos críticos.

También evalúe la función en los extremos del intervalo. El valor más alto de la función sería los máximosy el valor más bajo de la función sería los mínimos.

Cómo usar el teorema del valor extremo

El procedimiento para usar el teorema del valor extremo se da in los siguientes pasos:

  1. Asegúrese de que la función sea continua en un intervalo cerrado.
  2. Encuentre todos los puntos críticos de la función.
  3. Calcular el valor de la función en estos puntos críticos.
  4. Calcular el valor de la función en los extremos del intervalo.
  5. El valor más alto entre todos los valores calculados es el máximo y el valor más pequeño es el mínimo.

Notar: Si tiene alguna confusión con respecto a una función continua y un intervalo cerrado, consulte las definiciones al final de este artículo.

Prueba del teorema del valor extremo

Si $f(x)$ es una función continua en $[a,b]$, entonces debe tener un límite inferior superior en $[a,b]$ (por el teorema de la delimitación). Sea $M$ el límite superior más pequeño. Tenemos que demostrar que para algún punto $x_o$ en el intervalo cerrado $[a,b]$, $f(x_o)=M$.

Lo probaremos usando el método contradictorio.

Supongamos que no existe tal $x_o$ en $[a,b]$ donde $f$ tiene un valor máximo $M$.

Considere una función:

$g(x) = dfrac{1}{Mhspace{1mm} – hspace{1mm}f(x)}$

Como hemos supuesto que no existe M para la función f(x), entonces g(x) > 0 para todos los valores de x y como M – f(x) es continua, entonces la función $g(x)$ también será una función continua.

Entonces la función g está acotada en el intervalo cerrado $[a,b]$ (de nuevo por el teorema de la delimitación), por lo que debe haber un $C > 0$ tal que $g(x) leq C$ para cada valor de $x$ en $[a,b]ps

$g(x) leq C$

$dfrac{1}{Mhspace{1mm} – hspace{1mm}f(x)} leq C$

$M – f(x) leq dfrac{1}{C}$

$M – dfrac{1}{c}geq f(x)$ (1)

De acuerdo con la ecuación (1), $M – dfrac{1}{C}$ es el límite superior de la función $f(x)$, pero es menor que $M$, por lo que contradice la definición de M como el límite superior mínimo de $f$. Como hemos derivado una contradicción, nuestra hipótesis de partida debe ser falsa y por lo tanto se prueba que existe un punto $x_o$ en el intervalo cerrado $[a,b]$ donde $f(x_o) = M$.

Podemos obtener la demostración de los mínimos por aplicando los argumentos anteriores a $-f$.

Ejemplo 1:

Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = x^{2} – 6x + 10$ en el intervalo cerrado $[0,4]ps

Solución:

Es una función cuadrática; la función dada es continua y está acotada por el intervalo cerrado $[0,4]ps El primer paso es encontrar los valores críticos de la función dada. Para encontrar los valores críticos, necesitamos diferenciar la función e igualarla a cero.

$f(x) = x^{2} – 6x + $10

$f'(x) = 2x – $6

Ahora configurando $f'(x) = 0$, obtenemos

$2x – 6 = $0

$2 x = $6

$x = dfrac{6}{2}$

$x = $3

Entonces $x = 3$ es el único valor crítico de la función dada. Además, el valor crítico calculado está dentro del intervalo dado ps[0,4]ps

Los extremos absolutos de una función deben ocurrir en los extremos del intervalo acotado (en este caso, $0$ o $4$) o en los valores críticos calculados, por lo que en este caso, los puntos donde ocurrirá el extremo absoluto son $0, $4 o $3; entonces tenemos que calcular el valor de la función dada en estos puntos.

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = (0)^{2} – 6 (0) + 10 = $10

El valor de $f(x)$ en $x = 4$

$f (4) = (4)^{2} – 6 (4) + 8 = 16 – 24 + 10 = $2

El valor de $f(x)$ en $x = 3$

$f (3) = (3)^{2} – 6 (3) + 10 = $1

El valor más alto o máximo es $10 a $x = $0 y el valor más bajo o mínimo es $1 a $x = $3. Con esto podemos concluir que el valor máximo de la función dada es $10$, que ocurre en el extremo izquierdo en $x = 0$ mientras el valor mínimo ocurre en el punto crítico $x = $3.

example 1evt

Ejemplo 2:

Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = 2x^{3} – 6x^{2} + 8$ en el intervalo cerrado $[-2,5]ps

Solución:

$f(x) = 2x^{3} – 6x^{2} + $8

$f'(x) = 6x^{2} – 12x$

$6x^{2} – 12x = $0

$6x (x – 2) = $0

Entonces $x = 0$ y $x = 2$ son los valores críticos de la función dada. Por lo tanto, los máximos y mínimos de la función dada estarán en los extremos del intervalo $[-2, 5]$ o en puntos críticos $0$ o $2$. Calcular el valor de la función en los cuatro puntos.

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = 2(0)^{3} – 6(0)^{2} + 8 = 8$

El valor de $f(x)$ en $x = 2$

$f (2) = 2(2)^{3} – 6(2)^{2} + 8 = 16 – 24 + 8 = $0

El valor de $f(x)$ en $x = -2$

$f (-2) = 2(-2)^{3} – 6(-2)^{2} + 8 = -16 – 24 + 8 = -32$

El valor de $f(x)$ en $x = 5$

$f (5) = 2(5)^{3} – 6(5)^{2} + 8 = 250-150+8 = $108

El más alto o el valor máximo es $108 a $x = $5 y el menor o el valor mínimo es $-32$ a $x = -2$.

evt ex2evt ex22

Ejemplo 3:

Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = 8x^{3} – 12x^{2}$ en el intervalo cerrado $[0, 4]ps

Solución:

$f(x) = 8x^{3} – 12x^{2}$

$f'(x) = 24x^{2} – 24x$

$24x^{2} – 24x = $0

$24x (x – 1) = $0

Entonces $x = 0$ y $x = 1$ son los valores críticos de la función dada. Por lo tanto, los máximos y mínimos de la función dada estarán en $0$, $2$ o $4$. Calcular el valor de la función en los tres puntos.

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = 8(0)^{3} – 12(0)^{2} = 0$

El valor de $f(x)$ en $x = 1$

$f (1) = 8(1)^{3} – 12(1)^{2} = 8 – 12 = -4$

El valor de $f(x)$ en $x = 4$

$f (4) = 8(4)^{3} – 12(4)^{2} = 512 – 192 = $320

El más alto o el valor máximo es $320 a $x = $4 y el menor o el valor mínimo es $-4$ a $x = 1$.

evt ex 3

Ejemplo 4:

Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = senx^{2}$ en el intervalo cerrado $[-3,3]ps

Solución:

$f(x) = senx^{2}$

$f'(x) = 2x cosx^{2}$

$2x cox^{2} = 0$

$2x = 0$ y $cosx^{2} = 0$

$f'(x) = 0$ a $x = 0$, entonces uno de el punto critico es $x = 0$ mientras que el resto de puntos críticos donde el valor $x^{2}$ es tal que hace $cosx^{2} = 0$. Sabemos que $cos(x) = 0$ en $x = pmdfrac{pi}{2}, pmdfrac{3pi}{2}, pmdfrac{5pi}{ $2}…

Entonces $cosx^{2} = 0$ cuando $x = pmsqrt{dfrac{pi}{2}}, pmsqrt{dfrac{3pi}{2}}, pm sqrt{dfrac{5pi}{2}}$…

Por lo tanto, los máximos y mínimos de la función dada estará en los extremos del intervalo ps[-3, 3]ps o en puntos críticos $0$,$pmsqrt {dfrac{pi}{2}}$, $pmsqrt {dfrac{3pi}{2}}$ y $pmsqrt {dfrac{5 pi}{2}}$.

Calcular el valor de la función sobre todos estos puntos.

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = sin(0)^{2} = 0$

El valor de $f(x)$ en $x = sqrt{dfrac{pi}{2}}$

$f (sqrt{pi}) = sin(sqrt{dfrac{pi}{2}})^{2} = 1$

El valor de $f(x)$ en $x = -sqrt{dfrac{pi}{2}}$

$f (-sqrt{pi}) = sin(-sqrt{pi})^{2} = 1$

El valor de $f(x)$ en $x = sqrt{dfrac{3pi}{2}}$

$f (sqrt{dfrac{3pi}{2}}) = sin(sqrt{dfrac{3pi}{2}})^{2} = -1$

El valor de $f(x)$ en $x = -sqrt{dfrac{3pi}{2}}$

$f (-sqrt{dfrac{3pi}{2}}) = sin(-sqrt{dfrac{3pi}{2}})^{2} = -1$

El valor de $f(x)$ en $x = sqrt{dfrac{5pi}{2}}$

$f (sqrt{dfrac{5pi}{2}}) = sin(sqrt{dfrac{5pi}{2}})^{2} = 1$

El valor de $f(x)$ en $x = -sqrt{dfrac{5pi}{2}}$

$f (-sqrt{dfrac{5pi}{2}}) = sin(-sqrt{dfrac{5pi}{2}})^{2} = 1$

El valor de f(x) en $x = 3$

$f(0) = sen(3)^{2} = $0,412

El valor de $f(x)$ en $x = -3$

$f (0) = sin(-3)^{2} = $0,412

Evento de ejemplo

Definiciones importantes

Aquí están las definiciones de algunos términos importantes para entender este teorema.

función continua

Se dice que una función es continua si la gráfica de dicha función es continua sin ningún punto de ruptura. La función será continua en todos los puntos del intervalo dado. Por ejemplo, $x^{2}$, $x^{4}$, $sqrt{x}$ son funciones continuas. Matemáticamente, una función $f(x)$ es continua en $[a,b]$ si $lim x to cf(x) = f(c)$ para todo $c$ en $[a,b]ps

La diferenciación de una función sólo puede realizarse si la función es continua; los puntos críticos de una función se encuentran por diferenciación. Entonces, para encontrar los valores extremos de una función, es esencial que la función sea continua.

Intervalo cerrado

Un intervalo cerrado es un intervalo que incluye todos los puntos dentro del límite dado, y los corchetes indican estoes decir, [ ]. Por ejemplo, el rango $[3, 6]$ incluye todos los puntos mayores o iguales a $3 y menores o iguales a $6.

Preguntas prácticas:

  1. Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = 6x^{2} -3x +12$ en el intervalo cerrado $[0, 3]ps
  2. Encuentra los valores extremos de la función $f(x) = xe^{6x}$ en el intervalo cerrado $[-2, 0]ps

clave de respuesta:

1.

$f(x) = 6x^{2} -3x +12$

$f^{‘}(x) = 12x -3$

$= 12x -3 = 0$

$x = dfrac{1}{4}$

Entonces $x = dfrac{1}{4}$ es el valor crítico de la función dada. Por lo tanto, los máximos y mínimos de la función dada estarán en $dfrac{1}{4}$, $0$ o $3$.

Cálculo del valor de la función en los tres puntos:

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = 6(0)^{2} – 3(0) +12 = $12

El valor de $f(x)$ en $x = 3$

$f (3) = 6(3)^{2} – 3(6) +12 = 54 – 9 + 12 = $57

El valor de $f(x)$ en $x = dfrac{1}{4}$

$f (4) = 6(dfrac{1}{4})^{2} – 3(dfrac{1}{4}) +12 = dfrac{3}{8}+dfrac{3} {4}+ 12 = $13,125

El más alto o el valor máximo es $48 a $x = $3 y el menor o el valor mínimo es $12 a $x = $0.

practice question 1

2.

$f(x) = xe^{6x}$

Aplicar una regla de cadena para diferenciar la función anterior:

$ f^{‘}(x) = 1. e^{6x} + 6x. e^{6x} = e^{6x}(1+6x)$

Ahora poniendo $f^{‘}(x) = 0$

$e^{6x}(1+6x) = 0$

$1+6x = $0

$x = – dfrac{1}{6}$

Entonces $x = -dfrac{1}{6}$ es el valor crítico de la función dada. Por lo tanto, los máximos y mínimos de la función dada estarán en $-dfrac{1}{6}$, $-2$ o $0$.

Cálculo del valor de la función en los tres puntos:

El valor de $f(x)$ en $x = 0$

$f (0) = 0. e^{0} = 0$

El valor de $f(x)$ en $x = -2$

$f (3) = -2. e^{-12} = -1,22 times 10^{-5}$

El valor de $f(x)$ en $x = -dfrac{1}{6}$

$f (3) = -dfrac{1}{6}. e^{-1} = $0.06131

exponential function

Teorema de proporcionalidad triangular: explicación y ejemplos

El teorema de proporcionalidad del triángulo establece que si trazamos una línea paralela a un lado de un triángulo de modo que corte a los dos lados restantes, entonces los dos lados se dividen en la misma proporción o se dividen por igual.

El teorema de proporcionalidad del triángulo también se conoce como el teorema de separación lateral porque divide los dos lados en partes iguales o proporciones iguales.

Este tema lo ayudará a aprender y comprender el concepto del teorema de proporcionalidad triangular, junto con su demostración y los ejemplos numéricos asociados.

¿Qué es el teorema de proporcionalidad del triángulo?

El teorema de proporcionalidad del triángulo es un teorema que establece que si trazamos una línea paralela a un lado de un triángulo de modo que corte a los dos lados restantes, entonces los dos lados se dividen por igual. Si se dibuja una línea paralela a un lado de un triángulo, se llama segmento de la línea media del triángulo.

El segmento medio de un triangulo divide los dos lados del triangulo en proporciones iguales según el teorema de proporcionalidad del triángulo.

en geometría, dos dígitos pueden ser similares, incluso si tienen diferentes longitudes o dimensiones. Por ejemplo, no importa cuánto difiera el radio de un círculo de otro círculo, la forma se ve igual. Lo mismo ocurre con un cuadrado: independientemente del perímetro de un cuadrado, las formas de los diferentes cuadrados se ven iguales aunque las dimensiones varíen.

Cuando discutimos las similitudes de dos o más triángulos, entonces se deben cumplir ciertas condiciones para que los triángulos se declaren semejantes:

1. Los ángulos correspondientes de los triángulos deben ser iguales.

2. Los lados correspondientes de los triángulos comparados deben ser proporcionales entre sí.

Por ejemplo, si comparamos $triángulo ABC$ con $triángulo XYZ$, entonces se dirá que estos dos triángulos son semejantes si:

1. $ángulo A$ = $ángulo X$ , $ángulo B$ = $ángulo Y$ y $ángulo C$ = $ángulo Z$

2. $dfrac{AB}{XY}$ = $dfrac{BC}{YZ}$ = $dfrac{CA}{ZX}$

Considere este $triángulo XYZ$. Si trazamos una línea $CD$ paralela al lado $YZ$ del triángulo, entonces por la definición del teorema de proporcionalidad del triángulo, el informe de $XC$ para $CY$ sería igual a la razón de $XD$ para $DZ$.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

Teorema de proporcionalidad triangular fig

Cómo usar el teorema de proporcionalidad del triángulo

Los siguientes pasos debe tenerse en cuenta mientras resuelve problemas usando el teorema de proporcionalidad triangular:

  1. Identifica la recta paralela que interseca los dos lados del triángulo.
  2. Identifica triángulos semejantes. Podemos identificar triángulos similares comparando la proporción de los lados de los triángulos o usando el teorema de similitud AA. AA o ángulo, el teorema de similitud de ángulos establece que si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de los otros triángulos, entonces los dos triángulos son similares.
  3. Identifica los lados correspondientes de los triángulos.

Demostración del teorema de proporcionalidad del triángulo

Si se dibuja una línea paralela a un lado de un triángulo para que corte a los otros dos lados, entonces por el teorema de proporcionalidad del triángulo, ambos lados se dividen en proporciones iguales. Necesitamos demostrar que $dfrac{XC}{CY}$ = $dfrac{XD}{DZ}$ para el siguiente triángulo.

Teorema de proporcionalidad triangular fig

No Señor

Declaración

Las razones

1. $ángulo XCDcong ángulo XYZ$ Rectas paralelas forman ángulos congruentes
2. $triángulo XYZ cong triángulo XCD$ La semejanza AA indica que si dos ángulos de los dos triángulos son idénticos, son congruentes.
3. $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ $triangle XYZ cong triangle XCD$, por lo que los lados correspondientes de los dos triángulos son semejantes.
4. $dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$ Aplicación de la propiedad recíproca

Prueba del teorema de proporcionalidad del triángulo de Converse

El teorema de proporcionalidad del triángulo inverso establece que si una línea corta ambos lados de un triángulo para dividirlos en proporciones iguales, entonces esta recta es paralela al tercer o último lado del triángulo.

Tome el mismo número que se usó en la prueba del teorema de proporcionalidad del triángulo. Damos que $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ y tenemos que probar CD $ || YZ$.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

Tomamos el reverso y obtenemos:

$dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$

Ahora agrega “$1$” en ambos lados.

$dfrac{CY}{XC} +1 = dfrac{DZ}{XD} +1$

$dfrac{CY+XC}{XC} = dfrac{DZ+XD}{XD}$

Sabemos que $XY = XC + CY$ y $XZ = DZ + XD$.

$dfrac{XY}{XC} =dfrac{XZ}{XD}$

Dado que $angle X$ está incluido tanto en $triangle XYZ$ como en $triangle XCD$, podemos usar la congruencia SAS para triángulos semejantes para decir que $triangle XYZ cong triangle XCD$. Si los dos triángulos son semejantes, entonces esquina $ánguloXCDcong

Queda pues probado que cuando la recta corta ambos lados de los triángulos en proporciones iguales, es paralela al tercer lado.

Escribe la prueba en forma tabular.

No Señor

Declaración

Las razones

1. $dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$ Dado
2. $dfrac{CY}{XC} = dfrac{DZ}{XD}$ Aplicación de la propiedad recíproca
3. $dfrac{CY}{XC}+1 = dfrac{DZ}{XD}+1$ Sumar 1 a ambos lados
4. $dfrac{CY+XC}{XC} = dfrac{DZ+XD}{XD}$ Agregar fracciones
5. $dfrac{XY}{XC} =dfrac{XZ}{XD}$ Adición de segmento de línea
6. $ángulo X cong propiedad reflectante
7. $triángulo XYZ cong triángulo XCD$ Propiedad SAS para triángulos semejantes
8. $ángulo XCD cong ángulo XYZ$ Propiedad AA para triángulos semejantes
9. $CD||YZ$ Los ángulos inversos nos dan lados paralelos.

Aplicaciones del teorema de proporcionalidad del triángulo

  1. El teorema de proporcionalidad del triángulo se utiliza con fines de construcción. Por ejemplo, si quieres construir una casa con vigas de soporte triangulares para el techo, usar el teorema de proporcionalidad triangular te ayudará mucho.
  2. Ayuda a construir caminos y cuevas en las montañas triangulares.
  3. Se utiliza en la fabricación de mesas de varios tamaños y longitudes.

Ejemplo 1:

En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $XC = 3 cm$, $CY = 1 cm$ y $XD = 9 cm$. Encuentra la longitud de $DZ$.

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{3}{1} = dfrac{9}{DZ}$

$DZ = dfrac{9}{3}$

$DZ = 3cm$

Ejemplo 2:

En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $XC = 6 cm$, $CY = 1,5 cm$ y $DZ = 3 cm$. Encuentra la longitud de $XD$.

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{6}{1,5} = dfrac{XD}{3}$

$4 = dfrac{XD}{3}$

$XD = 4 x 3$

$DZ = 12 cm$

Ejemplo 3:

Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Ejemplo de teorema de proporcionalidad

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{AX}{XB} = dfrac{AY}{YC}$

$dfrac{3}{6} = dfrac{4}{x-4}$

$ 3 (x-4) = 6veces $4

$ 3x – 12 = $24

$3 = 24 + $12

$3 = $36

$x = dfrac{36}{3} = 12$

Ejemplo 4:

Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Ejemplo de teorema de proporcionalidad

Solución:

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{6}{1,5} = dfrac{x}{3}$

$4 = dfrac{x}{3}$

$x = 4 veces 3$

$x = 12 cm$

Ejemplo 5:

Un equipo de ingenieros civiles está diseñando un modelo de carretera y quieren construir un túnel dentro de una montaña. Supón que la montaña que detiene el camino parece un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente figura. Se sabe que la altura total de la montaña es de $500 ft.

La distancia desde el punto de partida del túnel hasta la cumbre es de $100 pies. La longitud total del otro lado de la montaña es “$x$”, mientras que conocemos la longitud desde el punto de salida del túnel hasta el pie de la montaña, que es de 500$ft. Necesitas ayudar a los ingenieros a calcular la longitud del tunel.

Solución:

Si resolvemos el triángulo rectángulo usando el teorema de proporcionalidad, se llama teorema de proporcionalidad del triángulo rectángulo.

Sabemos que $AB = AP + PB$.

$AB$ es la longitud total de un lado de la montaña y es igual a $500ft$, mientras que $AP$ es la longitud desde la cima de la montaña hasta el punto de inicio del túnel.

Con esta información, podemos escribir:

$AB = AP + PB$

$500 = 100 + PB$

$PB = 500 – $100

$PB = 400pi$.

Tenemos el valor de $PB$ y ahora calcularemos el valor de “$x$”.

La fórmula del teorema del triángulo proporcional viene dada por:

$dfrac{AP}{PB} = dfrac{AQ}{QC}$

$dfrac{100}{400} = dfrac{x-500}{500}$

$dfrac{1}{4} = dfrac{x-500}{500}$

$ 1veces 500 = (x-500) $4

$500 = 4x – $2000

$4x = 2000 + $500

$4x = $2500

$x = dfrac{2500}{4} = $625

Entonces el valor desde la cima hasta el fondo de la pendiente de la montaña CAD$ es $625 pi$. Si restamos $QC$ de $AC$, obtendremos la longitud de $AQ$.

$AQ = AC – QC = 625 – 500 = 125 pi$.

Nos pidieron encontrar la longitud del túnel y esta sería la longitud de $PQ$. La longitud de $PQ$ puede ahora se puede calcular fácilmente usando el teorema de Pitágoras.

$AQ^{2}= QP^{2}+ AP^{2}$

$125^{2}= QP^{2}+ $100^{2}

$PQ = sqrt{125^{2}+100^{2}}$

$PQ=sqrt{25625}$

$ PQ = aproximadamente 160 pi$

Cuestiones prácticas:

  1. En un triángulo $XYZ$, $CD|| YZ$ mientras que $CY = 6 cm$, $XD = 9 cm$ DZ = 15 cm. Encuentra la longitud de $XC$.
  2. Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Practicaq

3. Usa el teorema de proporcionalidad del triángulo para encontrar el valor de “$x$” para la siguiente figura.

Práctica del teorema de proporcionalidad triangular

clave de respuesta:

1.

$dfrac{XC}{CY} = dfrac{XD}{DZ}$

$dfrac{XC}{6} = dfrac{9}{15}$

$XC = (dfrac{9}{15})times 6$

$XC = dfrac{18}{5}$

$XC = 3,6 cm$.

2.

$dfrac{x}{2} = dfrac{8}{x}$

$x^{2} = 8veces 2$

$x^{2} = $16

$x = 4 cm$.

3.

$dfrac{CY}{XY} = dfrac{DZ}{XZ}$

$dfrac{XY-XC}{XY} = dfrac{DZ}{XZ}$

$dfrac{16 – 8 }{16} = dfrac{x}{24}$

$dfrac{8}{16} = dfrac{x}{24}$

$dfrac{1}{2} = dfrac{x}{24}$

$x = dfrac{24}{2} = 12$