$X$~$N(570,103)$. Encuentre el puntaje z correspondiente a una observación de $470$.

Encuentre la puntuación correspondiente para la observación dada y seleccione la correcta de las opciones dadas.

– 0,97

– -0.97

– 0,64

– -0.97

El propósito de esta pregunta es encontrar el puntaje correspondiente para la observación dada.

Esta pregunta utiliza el concepto de Distribución normal para encontrar el nota correspondiente por lo dado observación. La distribución normal es simétrico cerca de significar lo que muestra que el punto de datos cerca de la media ocurre con mayor frecuencia. La distribución normal tiene la forma de la curva de campana en el gráfico.

Respuesta experta:

Sabiendo que la observación $x$ es 470$.

significa que $mu$ es $570.

y la desviación estándar, $sigma$ es $103$.

Para el puntaje de ocurrencia $z$, tenemos la siguiente fórmula:

[z=frac{x-mu}{sigma}]

Si f es continua e integral de $0$ a $9$ $f(x)dx=4$.

1656148520 SOM Questions and Answers

El propósito de esta pregunta es encontrar el integral de una expresión dada. Además, también se dan los límites superior e inferior de la integral, es decir, tenemos un Integral definida en esta pregunta

Esta pregunta se basa en el concepto de aritmética. La integral nos dice el área bajo la curva. También se da una integral definida en la que tenemos límites superior e inferior de la integral, por lo que obtendremos el valor exacto en la solución.

La integral de la expresión dada se puede calcular de la siguiente manera:

[ int_{0}^{3} x f (x^2) , dx ]

Resolveremos la expresión usando sustitución como:

$ x = z $ y por lo tanto, $ 2 x dx = dz $

Al multiplicar y dividir la expresión dada por 2, tenemos:

[ dfrac{1}{2} int_{0}^{3} f(x^2) (2 x dx) , dx ]

Además, el límites de integración también se actualizan, como se muestra a continuación:

[ int_{0}^{3} to int_{0}^{( 3^2 )} = int_{0}^{9} ]

[ dfrac{1}{2} int_{0}^{9} f (z) , dz ]

También tenemos en cuenta que por sustituciónLa pregunta seguía siendo la misma, es decir:

[ int_{b}^{a} f (z) , dz = int_{b}^{a} f (x) , dx ]

En consecuencia,

[ dfrac{1}{2} int_{0}^{9} f (z) , dz = dfrac{1}{2} times 4]

[ dfrac{1}{2} times 4 = 2 ]

Entonces,

[ int_{0}^{3} x f (x^2) , dx = 2 ]

Los resultados numéricos

De la solución dada anteriormente, se obtienen los siguientes resultados matemáticos:

[ int_{0}^{3} x f (x^2) , dx = 2 ]

Ejemplo

Si $f$ es una integral continua $ 0 $ a $ 3 $ xf(x^2) dx = 2 $ encuentre la integral $ 2 $ a $ 3 $ $ xf (x^2) dx $.

La solución

Tenemos toda la información dada, por lo que la solución se puede encontrar de la siguiente manera:

[ int_{2}^{3} x f (x^2) , dx ]

Por sustitución tenemos:

$ x = t $ y por lo tanto, $ 2 x dx = dt $

Multiplicando y dividiendo por 2, obtenemos:

[ dfrac{ 1 }{ 2 } int_{ 2 }^{ 3 } f ( x^2 ) ( 2 x dx ) , dx ]

Al actualizar los límites de integración:

[ int_{2}^{3} to int_{2^2}^{ (3^2) } = int_{4}^{9} ]

[ dfrac{1}{2} int_{4}^{9} f

8 y n como factores, ¿qué expresión tiene ambos?

1656086718 SOM Questions and Answers

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar una expresión que tenga los dos factores dados. Además, es útil tener un número divisible por los números dados.

Esta pregunta se basa en los conceptos de aritmética, y los factores de un número incluyen todos los divisores de ese número específico. los Los factores del número 16, por ejemplo, son 1, 2, 4 y 16. Podemos obtener otro número entero dividiendo 16 por uno de los números dados anteriormente.

Respuesta experta

Estamos buscando una expresión que tenga 8 y $n$ como factores. Por lo tanto, suponga que $E$ es la expresión que tiene un factor, lo que significa que la expresión es divisible por 8.
De este modo,
[ E (X) = 8 X .  ( n )^X ]
Donde $X$ es un entero positivo $n$.
[ E (X) = 8 X  ( n )^X ]

Solución alternativa

De la pregunta, tenemos $8$ y $n$ como factores de una expresión. Además, estos factores deben estar presentes en la expresión. El ejemplo es el siguiente:

[ x = 8 + n ]

Los resultados numéricos

La expresión que tiene tanto 8 como n como factores es la siguiente.

[ E (X) = 8 X  ( n )^X ]

o una solución alternativa podría ser:

[ x = 8 + n ]

Ejemplo

Tenemos un número 8 con exactamente cuatro factores diferentes, incluidos 1, 2, 4 y 8. Entonces, si tienes un número 36, ¿cuántos factores tiene?

La solución

El número 8 tiene 1, 2, 4 y 8; exactamente cuatro factores. Por lo tanto, podemos encontrar diferentes factores de 36 como se muestra a continuación.

Etapa 1: El número total de factores número 36 se puede calcular de la siguiente manera:

[ 36 = 2 times 2 times 3 times 3 ]

[ 36 = 2^2 times 3^2 ]

[ (36) = ( 2 + 1 ) times ( 2 + 1 )]

[ = 3 times 3 ]

[ = 9 ]

Por lo tanto, el número 36 tiene exactamente 9 factores.

2do paso: El número de factores del número 36 es el siguiente:

$1 x 36 = $36

$ 2 x 18 = $ 36

$ 3 x 12 = $ 36

$4 x 9 = $36

$6 x 6 = $36

$9 x 4 = $36

$12 x 3 = $36

$18 veces 2 = $36

$36 veces 1 = $36

Con esto, los factores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con Geogebra.

Los eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones también es verdadera?

1656077826 SOM Questions and Answers

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar enunciados que sean mutuamente excluyentes. eventos cuando los eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes.

Dos eventos separados se llaman mutuamente excluyentes si no ocurren al mismo tiempo o simultáneamente. Por ejemplo, cuando nosotros lanzar a moneda, hay dos posibilidades si el cabeza se mostrará o el cola se mostrará al regresar. Significa cara y cruz no puede pasar a al mismo tiempo. Es un mutuamente excluyentes evento, y el probabilidad de estos eventos que ocurren al mismo tiempo se convierte en cero.

Hay otro nombre para los eventos mutuamente excluyentes, y ese es evento disjunto.

Eventos mutuamente excluyentes puede ser representado por:

[P (A cap B) = 0]

Respuesta experta

La regla de la suma para eventos disjuntos es válida sólo cuando la suma de dos eventos que han ocurrido da probabilidad cualquiera de los eventos ocurre. Si consideramos dos eventos $A$ o $B$, entonces su probabilidad de ocurrencia viene dada por:

[P (A cup B) = P (A) + P (B)]

Cuando dos eventos, $A$ y $B$, no son mutuamente excluyentes eventos, la fórmula se convierte en:

[ P (A cup B) = P (A) + P (B) – P (A cap B)]

Si consideramos que $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes eventos, lo que significa probabilidad de su apariencia se convierte al mismo tiempo cerose puede representar por:

[P (A cap B) = 0 hspace {0.4 in} Eq.1]

De regla de suma de probabilidad:

[ P (A cup B) = P (A) + P (B) – P (A cap B) hspace {0.4 in} Eq.2]

Al poner $Eq.1$ en $Eq.2$, obtenemos:

[ P (A cup B) = P (A) + P (B) – 0]

Solución digital

Obtenemos la siguiente declaración:

[P (A cup B) = P (A) + P (B)]

Esta afirmación muestra que el dos eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes.

Ejemplo

cuando nosotros rodar a morir, la probabilidad de ocurrencia $3 y $5 simultaneamente es cero. En este caso, ocurrirán $5$ o $3$.

Asimismo, el probabilidad de uno morir mostrar un Número $3$ o $5$ es:

Sea $P(3)$ el probabilidad para obtener $3$, mientras que $P(5)$ es el probabilidad para obtener $5, entonces:

[ P (3) = frac {1} {6} ,  P (5) = frac {1} {6}]

De la fórmula:

[P (A cup B) = P (A) + P (B)]

[P (3 cup 5) = P (3) + P (5)]

[P (3 cup 5) = (frac {1} {6}) + (frac {1} {6})]

[P (3 cup 5) = (frac {2} {6})]

[P (3 cup 5) = frac {1} {3}]

La probabilidad de que el dado muestre $3$ o $5$ es $frac {1} {3}$.

Considere un vehículo que se mueve a una velocidad constante $v$. Encuentre la potencia disipada por el arrastre de forma.

1656072361 SOM Questions and Answers

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la poder disipado por un fuerza de arrastre cuando velocidad está vigilado constante.

fuerza de arrastre es una fuerza experimentada por cualquier objeto que se mueve con cierta velocidad. Si los objetos no sufren ningún tipo de Obligar, entonces se moverán como una brisa. Fuerza de arrastre cuadrática aumentar con el velocidad. A velocidades más altas, un objeto necesita más Obligar mover hacia adelante. Se disipa un mayor volumen de gas cuando un objeto se mueve con cierta velocidad.

fuerza de arrastre es experimentado por vehículos rápidos como aviones, trenes, coches, etc. la Obligar moléculas de gas en movimiento aumentar con el movimiento de estos vehículos La fuerza de arrastre está representada por:

[F_d = C_dAv^2]

En la fórmula anterior, $A$ representa el sección transversal del vehículo, $v$ representa el velocidady $C_d$ es el coeficiente de deslizar. El cuadrado de la velocidad significa la fuerza de arrastre. aumentar con un objeto en movimiento

Respuesta experta

A coche se mueve con velocidad máxima $v_o$, donde $v_o$ está limitado por fuerza de arrastre que es proporcional a la cuadrado de la velocidad. los máximo poder de este motor es $P_o$. Cuando se modifica el motor de este automóvil, entonces el Potencia se convertirá en $P_1$

Este nuevo poder del motor modificado es ahora diez veces más grande que el poder anterior. Se representa por ($P_1$ = $100$ % $P_o$).

Si asumimos que el velocidad máxima está limitado por la resistencia del aire, entonces el el cuadrado de la velocidad es proporcional a la fuerza de arrastre. los porcentaje a la que se aumenta la velocidad máxima del automóvil:

Conecte la potencia y la fuerza de arrastre por:

[Power = F_d times v]

[P = – F_d v]

fuerza de arrastre hechos opuesto al carro en movimiento, entonces $cos$ $(180°)$ = $-1$.

[P = – C_d A v^2 /times v]

[P = – C_d A v^3]

los poder inicial es $P_o$, entonces es magnitud puede ser escrito:

[P_o = C_dAv_o^{3}]

[P_1 = 110% P_o]

[P_1 = frac{110}{100} P_o]

Dentro magnitud, $P_1$ se escribe:

[P_1 = C_d A v_1^{3}]

[C_d A v_1^{3} = C_d A v_o^{3} times frac{110}{100}]

[v_1^{3} = frac{11}{10} times v_o^{3}]

[v_1 thickapprox 1.0323 v_o]

[= frac{v_1 – v_o}{v_o}]

[= frac{1.0323 v_o – v_o}{v_o}]

[= 0.0323]

Solución digital

El porcentaje de aumento es de $3,23%$.

A incremento porcentual es de $3.2% si consideramos hasta dos números significativos.

Ejemplo

Considere un coche cuya forma muestra un coeficiente de resistencia aerodinámica es decir $C_d$ = $0.33$ y el área del carro es $3.4m^2$.

Si además suponemos que fuerza de arrastre es proporcional a $v^2$ y despreciamos las otras fuentes de fricción donde $v^2$ es $5,5 m/s$

Al calcular el fuerza de arrastre:

[F_d = C_d A v^2]

[F_d = 0.33 times 3.4 times 5.5 ]

[F_d = 6.171 N/m]

los fuerza de arrastre $F_d$ es 6.171 $N/m$.

¿De cuántas maneras hay de elegir a cuatro socios del club para que formen parte de un comité ejecutivo?

1656068458 SOM Questions and Answers

– Hay $25 miembros en un club.

– ¿De cuántas maneras se pueden elegir miembros de $4$ para servir en un comité ejecutivo?

– ¿De cuántas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero de club para que cada uno pueda ocupar un solo cargo a la vez?

El propósito de esta pregunta es encontrar el número de formas en que un comité ejecutivo puede ser atendido por miembros de $4$.

Por otra parte, tienes que encontrar un número de formas de elegir presidente, vicepresidente, etc. sin dar la misma posición a los miembros de $2$

Para adecuadamente resolver este problema, necesitamos entender el concepto de Permutación y Combinación.

A combinación en matemáticas es la disposición de sus miembros dados independientemente de su orden.

[Cleft(n,rright)=frac{n!}{r!left(n-rright)!}]

$Cleft(n,rright)$ = Número de combinaciones

$n$ = Número total de objetos

$r$ = objeto seleccionado

A permutación en matemáticas es la disposición de sus miembros en un orden definido. Aquí el orden de los miembros cuenta y se ordena en un forma lineal. También se le llama un combinación ordenaday la diferencia entre los dos es en orden.

Por ejemplo, su PIN móvil es $6215 y si ingresa $5216 no se desbloqueará porque es un comando diferente. (permutación).

[nP_r\=frac{n!}{left(n-rright)!}]

$n$ = Número total de objetos

$r$ = objeto seleccionado

$nP_r$ = Permutación

Respuesta experta

$(a)$ Encuentre el número de maneras en que un comité ejecutivo puede ser atendido por $4$ miembros. Aquí, dado que el orden de los miembros no importa, usaremos fórmula combinada.

$n=25$

El comité debe constar de $4$ miembros, $r=4$

[Cleft(n,rright)=frac{n!}{r!left(n-rright)!}]

Poniendo aquí los valores de $n$ y $r$, obtenemos:

[Cleft(25,4right)=frac{25!}{4!left(25-4right)!}]

[Cleft(25,4right)=frac{25!}{4!21!}]

[Cleft(25,4right)=12,650]

El número de formas de seleccionar el comité de $4$ miembros $=$12,650

$(b)$ Para conocer la cantidad de formas de seleccionar a los socios del club para presidente, vicepresidente, secretario y tesorero del club, el orden de los miembros es importante, por lo que usaremos la definición de permutación.

Número total de socios del club $=n=25$

Puestos designados para los que se deben seleccionar miembros $=r=4$

[Pleft(n,rright)=frac{n!}{left(n-rright)!}]

Pon los valores de $n$ y $r$:

[Pleft(25,4right)=frac{25!}{left(25-4right)!}]

[Pleft(25,4right)=frac{25!}{21!}]

[Pleft(25,5right)=frac{25 times 24 times 23 times 22 times 21!}{21!}]

[Pleft(25,5right)=25 times 24 times 23 times 22]

[Pleft(25,5right)=303,600]

El número de formas de seleccionar socios del club para presidente, vicepresidente, secretario y tesorero del club $=$303,600.

Los resultados numéricos

los Número de modales selecciona $4$ miembros del club para servir en un Comité Ejecutivo es $12,650

El número de formas de seleccionar socios del club para un presidente, vicepresidente, secretario, y tesorero para que ninguna persona pueda ocupar más de un cargo es de $303.600.

Ejemplo

A banda de $3$ atletas es $P$, $Q$, $R$. ¿De cuántas maneras un tripulación de $2$ miembros se formarán?

Aquí, como el ordenar de miembros no es importante, usaremos el Fórmula combinada.

[Cleft(n,rright)=frac{n!}{r!left(n-rright)!}]

Pon los valores de $n$ y $r$:

$n=3$

$r=2$

[Cleft(3,2 right)=frac{3!}{2!left(3-2right)!}]

[Cleft(3,2 right)=3]

Un automóvil de $1500$ $kg$ toma una curva no inclinada de radio $50m$ a $15frac{m}{s}$.

1656060123 SOM Questions and Answers

– Sin derrapar el coche, calcular la acción de la fuerza de rozamiento sobre el coche durante el giro.

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la fuerza de fricción actuar sobre el coche mientras ella toma un girar en una curva no inclinada.

El concepto básico detrás fuerza de fricción es el fuerza centrífuga que actúa sobre el coche alejándolo del centro de la curva al tomar una curva. Cuando un automóvil toma una curva con cierta velocidad, sufre un aceleración centrípeta $a_c$.

Para mantener el automóvil en movimiento sin patinar, un fuerza de fricción estática $F_f$ debe actuar hacia el centro de la curva, que siempre es igual y opuesto a la fuerza centrífuga.

Sabemos que Aceleración centrípeta es $a_c$.

[a_c= frac{v^2}{r}]

De acuerdo a Segunda ley del movimiento de Newton:

[F_f=ma_c]

Al multiplicar los dos lados por la masa $m$, obtenemos:

[F_f=ma_c= frac{mv^2}{r}]

Dónde:

$F_f=$ Fuerza de fricción

$m=$ Masa del objeto

$v=$Velocidad del objeto

$r=$ Radio de curva o trayectoria circular

Respuesta experta

Dado como:

Masa del carro $m=1500kg$

Velocidad del coche $v=15dfrac{m}{s}$

Radio de curva $r=50m$

Fuerza de fricción $F_f=?$

Como sabemos que cuando el coche toma una curva, un fuerza de fricción estática $Ff$ debe actuar hacia el centro de la curva para oponerse a la fuerza centrífuga y evitar que el coche derrape.

Sabemos que Fuerza de fricción $F_f$ se calcula de la siguiente manera:

[F_f= frac{mv^2}{r} ]

Reemplace los valores de datos dados:

[F_f= frac{1500kgtimes{(15dfrac{m}{s})}^2}{50m} ]

[F_f= 6750frac{kgm}{s^2}]

Como sabemos que unidad SI de Fuerza es newton $N$:

[1N=1 frac{kgm}{s^2}]

De este modo:

[F_f=6750N]

resultado numérico

los Fuerza de fricción El $F_f$ que actúa sobre el automóvil durante un giro y evita que derrape es de $6750N$.

Ejemplo

A pesaje de autos $2000kg$, moviéndose a $96.8 dfrac{km}{h}$, recorre una curva circular de Rayo $182,9 millones en un camino rural llano. calcularlo Fuerza de fricción acción sobre el coche al tomar la curva sin resbalar.

Dado como:

Masa del carro $m=2000kg$

Velocidad del auto $v=96.8dfrac{km}{h}$

Radio de curva $r=182.9m$

Fuerza de fricción $F_f=?$

Convertir el velocidad en $dfrac{m}{s}$

[v=96.8frac{km}{h}=dfrac{96.8times1000}{60 times60}dfrac{m}{s} ]

[v=26.89dfrac{m}{s} ]

Ahora, utilizando el concepto de Fuerza de fricción actuando sobre cuerpos que se mueven a lo largo de una trayectoria curva, sabemos que Fuerza de fricción $F_f$ se calcula de la siguiente manera:

[F_f= frac{mv^2}{r}]

Reemplace los valores de datos dados:

[F_f= frac{2000kgtimes{(26.89dfrac{m}{s})}^2}{182.9m}]

[F_f=7906.75dfrac{kgm}{s^2} ]

Como sabemos que unidad SI de Fuerza es newton $N$:

[1N=1 frac{kgm}{s^2}]

De este modo:

[F_f=7906.75N]

Por lo tanto, la Fuerza de fricción El $F_f$ que actúa sobre el automóvil durante un giro y evita que se deslice es de $7906,75N$.

Indique cuántas relaciones molares se pueden escribir para una reacción química que involucra tres sustancias.

1656053334 SOM Questions and Answers

Este problema tiene como objetivo encontrar la relación molar de una reacción química en la que intervienen tres sustancias químicas.

Para comprender mejor el problema, es necesario conocer el mol, peso molar, y proporciones molares dentro estequiométrico reacciones A reacción química estequiométrica es una reacción en la que las cantidades combinadas de los reactivos y los productos son tales que todos los reactivos se devoran y no queda ni un solo mol después de completar la reacción química. los estudio de estequiometria es útil para estimar reacciones químicas como las que ocurren en los procesos de descomposición.

Relación molar se utiliza para analizar la conversión de compuestos en una reacción química, que se deriva de los coeficientes que tienen los compuestos en una ecuación química balanceada. Por lo tanto, se puede decir que la relación molar se utiliza para transformar cantidades de compuestos en una reacción química equilibrada.

Coeficientes de reactivos o productos, en una ecuación química, se puede denominar el número de moles de ese compuesto en particular.

Por ejemplo, esta reacción: $ N_2 + 3H_2$ $ –> $ $2NH_3$ se puede interpretar como:

$1$ mol de nitrógeno $+$ $3$ mol de hidrógeno da $2$ mol de amoníaco.

Respuesta experta

Relación molar permite relacionar los moles de reactivos con los moles de productos usando el coeficientes

Esa fue toda la explicación, ahora llegando a la respuesta real al problema:

Según la pregunta, tres razones molares se puede observar, involucrando tres sustancias. Se basa en el valor constante de su reactivo contra tu producto. También se basa en la relación molar solicitada. Como sabemos, la relación molar es la relación entre las cantidades molares de dos o más sustancias que intervienen en una reacción química.

Por lo tanto, se puede definir aproximando los coeficientes de una ecuación química balanceada, también conocida como relación molar Dónde relación mol a mol.

Por lo tanto, una reacción química que involucre sustancias de $3$ tendrá una relación molar de $3$. Pero según el fórmula de relación molar para una reacción, es decir, $n(n-1)$ donde $n$ es el número de sustancias en una reacción, la relación molar total es:

[ = 3 (3-1) ]

[ = 3 (2) ]

resultado numérico

[ Mole Ratio = 6 ]

Como hay un total de $3$ sustancias, un total de $6$ proporciones molares puede ser escrito.

Ejemplo

¿Cuántas relaciones molares se pueden escribir para una reacción química que involucre sustancias $5$?

Dependiendo de la pregunta, hay cinco razones molares para cinco sustancias, por lo tanto, se puede definir comparando coeficientes de uno ecuación química balanceada.

Por lo tanto, una reacción química que involucre sustancias de $5$ tendrá una relación molar de $5$. Pero de acuerdo con la fórmula de la relación molar para una reacción, es decir, $n(n-1)$, la relación molar total resulta ser:

[ = 5 (5-1) ]

[ = 5 (4) ]

[ Mole Ratio = 20 ]

Como hay un total de $5$ sustancias, un total de $20$ proporciones molares puede ser escrito.

¿En qué punto la curva tiene máxima curvatura? ¿Qué sucede con la curvatura cuando $x$ tiende a infinito $y=lnx$

1656039309 SOM Questions and Answers

El propósito de esta pregunta es encontrar el punto en un curva donde el la curvatura es maxima.

La pregunta se basa en el concepto de cálculos diferenciales que se utiliza para encontrar la valor máximo de curvatura Además, si queremos calcular el valor de curvatura como $(x)$ tiende a infinito, se deducirá encontrando primero el límite de curvatura en $(x)$ que tiende a infinito.

[K=frac{left| f^{primeprime} left(xright)right|} {left[1+left(f^primeleft(xright) right)^2right]^esp{3}{2}}]

Respuesta experta

La función está dada por:

[fleft(xright) = ln{x}]

[f^primeleft(xright) = frac{1}{x}]

[f^{primeprime}left(xright) = -frac{1}{x^2}]

Ahora ponlo en el fórmula de curvaturase tiene:

[kleft(xright) = dfrac{left| f^{primeprime} left(xright)right|} { left[1+left(f^prime left(xright)right)^2 right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = dfrac{ left|-dfrac{1}{x^2} right|} { left[1+{(dfrac{1}{x})}^2right]^ frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2} right]^esp{3}{2}}]

ahora tomando derivado de $ kleft(xright)$, tenemos:

[kleft(xright) = frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1} {x^2}right]^ frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = x^{-2} left[1 + frac{1}{x^2}right]^ frac{-3}{2}]

[k^primeleft(xright) = -2 x^{-3} left[1+frac{1}{x^2}right]^frac{3}{2} + x^{-2}. frac{-3}{2} izquierda[1 +frac{1}{x^2}right]^frac{-5}{2} (-2x^{-3})]

[k^primeleft(xright) = frac{-2}{x^3 left[1+dfrac{1}  {x^2}right]^frac{3}{2}} + frac{3}{x^5 izquierda[1+dfrac{1} {x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 (1+dfrac{1}{x^2})+ 3}{x^5 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 -2+ 3}{x^5   left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 + 1}{x^5 left[1+ dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{1 – 2 x^2 }{x^5 left[1 +dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

Poniendo $ k^primeleft(xright) =0$, obtenemos:

[0 = frac{1 – 2 x^2 }{x^5 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[0 = 1 – 2 x^2 ]

Resolviendo para $x$ tenemos la ecuación:

[ 2 x^2 = 1]

[x^2=frac{1}{2}]

[x=frac{1}{sqrt2}approx 0.7071]

sabemos que el dominio de $ln{x}$ no incluye ninguna raíz negativa, por lo que el máximo el intervalo puede ser:

[left(0,0,7right): K^primeleft(0,1right) approx 0.96]

[left(0,7,inftyright): K^primeleft(1right) approx -0.18]

Podemos notar que $k$ es creciente y entonces descendiendo, entonces será máximo en el infinito:

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+dfrac{1}{infty}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+0right]^frac{3}{2}}}=]

Entonces el curvatura se acerca a $0$.

Los resultados numéricos

$k$ será máximo en el infinito

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+0right]^frac{3}{2}}}=]

Por lo tanto, la curvatura se aproxima a $0$.

Ejemplo

Para la función dada $y = sqrt x$, encuentra el curvatura y Rayo de curvatura en $x=1$ valor.

La función está dada por:

[y = sqrt x]

Primero derivado de la función será:

[y^prime = (sqrt x)^prime]

[y^prime = frac{1}{2sqrt x}]

los segunda derivada de la función dada será:

[y^{primeprime} = (frac{1}{2sqrt x})^prime]

[y^{primeprime} = (frac{1}{2}x^{frac{-1}{2}})^prime]

[y^{primeprime} = frac{-1}{4}x^{frac{-3}{2}}]

[y^{primeprime} = frac{-1}{4sqrt {x^{3}}} ]

Ahora ponlo en el fórmula de curvaturase tiene:

[kleft(xright) = frac{left|f^{primeprime} left(xright)right| }{ left[1+left(f^primeleft(xright)right)^2right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{left|y^{primeprime}right|}{ left[1+ left(y^primeright)^2right]^frac{3}{2} }]

[k left(xright) = frac{left|dfrac{-1}{4sqrt {x^{3}}}right|}{  left[1+left(dfrac{1}{2sqrt x}right)^2right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{dfrac{1}{4sqrt {x^{3}}}}{ left(1+ dfrac{1}{4 x}right)^frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{dfrac{1}{4sqrt {x^{3}}}}{   left(dfrac{4x+1}{4 x}right)^frac{3}{2}}]

[k left(xright) = frac{2} {left(4 x +1right)^frac{3}{2}}]

Ahora, poniendo $x=1$ en el curvatura de la fórmula de la curva:

[kleft(1right) =frac{2} {left(4 (1) +1right)^frac{3}{2}}]

[kleft(1right) =frac{2} {5 sqrt 5}]

sabemos que el radio de curvatura es el recíproco de la curvatura:

[R =frac{1}{K}]

Poner el valor de curvatura y calcule arriba en $x=1$ en la fórmula de radio de curvaturalo que resultará en:

[R = frac{1}{dfrac{2} {5 sqrt 5}}]

[R = frac {5 sqrt 5}{2}]